\chapter{Mathematische Sprache/Bühne: Hilbert-Raum (endl. Dim.)}
\section{Definition}
\begin{itemize}
	\item linerarer Vektorraum $\hilbert$ mit Vektoren $\set{\ket{\phi}, \ket{\psi}}$
		\begin{equation}
			c_1 \ket{\phi} + c_2 \ket{\psi} = \ket{c_1 \phi + c_2 \psi} \in \hilbert
		\end{equation}
	\item Inneres (hermitesches) Produkt: $\hilbert \times \hilbert \rightarrow \setC$
		\begin{equation}
			\ket{\phi}, \ket{\psi} \rightarrow \braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*
		\end{equation}
		\begin{enumerate}
			\item linear im 2. Argument:
					$\braket{\phi}{c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2} = c_1 \braket{\phi}{\psi_1} + c_2 \braket{\phi}{\psi_2}$
			\item $\underbrace{\braket{\phi}{\phi}}_{\in \setR} > 0$ falls $\ket{\phi} \neq \ket{0}$
			\item antilinear im 1. Argument:
					$\braket{c \phi}{\psi} = c^* \braket{\phi}{\psi}$
		\end{enumerate}
	\item \underline{ortho}normierte Basis $\set{\ket{n}} = \set{\ket{1}, \ket{2}, ... , \ket{N}}$
		\begin{equation}
			\braket{n}{m} = \delta_{n,m}
		\end{equation}
		Jeder Vektor kann entwickelt werden
		\begin{align}
			\ket{\psi} &= \sum^{N}_{n=1}c_n \ket{n} &\left| \bra{m} \right.\\
			\braket{m}{\psi} &= \sum^N_{n=1}c_n \braket{m}{n} = c_m\\
			\ket{\psi} &= \sum^N_{n=1} \braket{n}{\psi} \ket{n}\\
			\text{mit} \ket{\phi} &= \sum^{N}_{n=1}d_n \ket{n}\\
			\braket{\phi}{\psi} &= \sum^{N}_{n=1}d_n^* \sum^{N}_{m=1}c_m \braket{n}{m} = \sum^{N}_{n=1}d_n^* c_n
		\end{align}
	\item Norm
		\begin{equation}
			\norm{\ket{psi}} \equiv \norm{\phi} \equiv \left( \braket{\phi}{\phi} \right)^\frac{1}{2} = \left( \sum_n c_n^* c_n \right)^\frac{1}{2}
		\end{equation}
	\item Schwarz'sche Ungleichung
		\begin{equation}
			\abs{\braket{\chi}{\phi}}^2 \leq \braket{\chi}{\chi}\braket{\phi}{\phi} = \norm{\chi}^2\norm{\phi}^2
		\end{equation}
		Gleichheit falls $\ket{\chi} = c \ket{\phi}$
\end{itemize}

\section{Lineare Operatoren}
\subsection*{linearer Operator A}
\begin{align}
	A \ket{\phi} &= \ket{A \phi}\\
	\text{mit} A\left(c_1\ket{\phi_1}+c_2\ket{phi2}\right) &= c_1 \ket{A\phi_1} + c_2 \ket{A\phi_2}
\end{align}

\subsection*{``Darstellung'' in Basis}
\begin{align}
	\ket{A\psi} &= \sum_n c_n \ket{An} &\left| \bra{m} \right.\\
	\braket{m}{A\psi} &= \sum_n c_m \braket{m}{An} \equiv \sum_n c_n A_{m,n}c_n
\end{align}
$A_{m,n}$ ... ``Matrixelemente''

\subsection*{Adjungierter Operator $A^\dagger$}
definiert durch
\begin{align}
	\braket{\phi}{A^\dagger \psi} &\equiv \braket{A \phi}{\psi} = \braket{\psi}{A\phi}*\\
	A^\dagger &\equiv \braket{m}{A^\dagger n} = \braket{Am}{n} = \braket{n}{Am}^* = A_{n,m}^*\\
	\left(A^\dagger \right)^\dagger &= A
\end{align}
Produkt $(AB)^\dagger$
\begin{align}
	\braket{\phi}{(AB)^\dagger \psi} = \braket{(AB)\phi}{\psi} &= \braket{B\phi}{A^\dagger \psi}\\
	&= \braket{\phi}{B^\dagger A^\dagger \psi}\\
	\Rightarrow (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger
\end{align}
Definition:
\begin{equation}
	\text{$A$ ist hermitesch} \gdw A^\dagger = A \gdw \underbrace{A_{n,m} = A_{m,n}^*}_\text{Diagonale reel!}
\end{equation}

\section{Dirac-Notation}
\begin{align}
	\ket{A\phi} &= A \ket{\phi}\\
	\bra{A^\dagger \psi} &\stackrel{\text{DN}}{\equiv} \bra{\psi A}\\
	\braket{\psi}{A \phi} &= \braket{A^\dagger \psi}{\phi} \stackrel{\text{DN}}{=} \braket{\psi A}{\phi} \equiv \dirac{\psi}{A}{\phi}
\end{align}
Merke: Operatoren wirken entweder normal nach rechts oder adjungiert nach links.\\[10pt]
Jedem Vektor $\ket{\phi}$ (``ket'') wird ein dualer Vektor $\bra{\phi}$ (``bra'') zugeordnet.\\
\begin{tabular}[2]{c|c}
	ket & bra \\ \hline
	$\ket{\phi}$ & $\bra{\phi}$ \\
	$\ket{c_1 \phi}$ & $c_1^* \bra{\phi}$
\end{tabular}

\subsection*{Darstellung als Spalten- und Zeilenvektoren}
\begin{align}
	\set{\ket{1}, ..., \ket{N}} &\cequiv \set{\inlinematrix{1 \\ 0 \\ : \\ 0}, \inlinematrix{0 \\ 1 \\ : \\ 0}, ...,  \inlinematrix{0 \\ : \\ 0 \\ 1}}\\
	\ket{\phi} &\cequiv \inlinematrix{c_1 \\ : \\ c_N}\\
	\bra{\phi} = \sum_n d_n^* \bra{n} &\cequiv (d_1^*, ..., d_N^*)
\end{align}
\begin{equation}
	\braket{\phi}{\psi} = \sum_n d_n^* c_n
\end{equation}

\subsection*{Operator $A$}
\begin{align}
	A \ket{\phi} &= \sum_n c_n A \ket{n}\\
	\braket{\phi}{A \psi} &= \sum_{n, m} d_m A_{m,n} c_n\\
	&= (d_1^*, ..., d_N^*) \inlinematrix{A_{1,1} & \cdots & A_{1,N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{N,1} & \cdots & A_{N,N}}  \inlinematrix{c_1 \\ : \\ c_N}
\end{align}
Natürlich ist auch
\begin{equation}
	AB \neq BA
\end{equation}
.

\section{Projektionsoperatoren}
Seien $\hilbert_1$ und $\hilbert_2$ orthogonale Unterräume von $\hilbert$.
Jeder ket $\ket{\phi}$ kann ein geuteig zerlegt werden:
\begin{equation}
	\ket{\psi} = \ket{\psi_1} + \ket{\psi_2}
\end{equation}

\subsection*{Definition}
\begin{equation}
	P_1\ket{\psi} \equiv \ket{\psi_1}
\end{equation}
\begin{itemize}
	\item $P_1$ linear $\checkmark$
	\item $P_1$ hermitesch
		\begin{align}
			\braket{\phi}{P_1^\dagger \psi} &= \braket{P_1 \phi}{ \psi}\\
			&= \braket{\psi}{P_1 \phi}^* = \braket{\psi}{\phi_1}^*\\
			&= \braket{\phi_1}{\psi} = \braket{\phi}{\psi_1}\\
			&= \braket{\phi}{P_1 \psi} \checkmark
		\end{align}
\end{itemize}

\subsection*{Projektion auf einen Basisvektor $\ket{n}$}
\begin{equation}
	P_n = \ket{n}\bra{n}
\end{equation}
denn
\begin{align}
	P_n \ket{\psi} &= \ket{n}\braket{n}{\psi}
	&= c_n \ket{n}
\end{align}

\subsection*{Zerlegung der $\one$}
\begin{equation}
	\one = \sum_n \ket{n}\bra{n}
\end{equation}
denn
\begin{align}
	\one \ket{\psi} = \ket{\psi} &= \sum_n \ket{n} \braket{n}{\psi}\\
	&= \sum_n \ket{n} c_n
\end{align}

Als Matrix:
\begin{align}
	P_n &= \ket{n}\bra{n} \cequiv \inlinematrix{0\\ :\\ 1\\ :\\ 0} (0, .., 1, .., 0)\\
	\one &= \sum_n P_n = \inlinematrix{1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 1}
\end{align}

\section{Unitäre Operatoren}
\subsection*{Definition}
\begin{equation}
	\text{$U$ unitär} \gdw UU^\dagger = U^\dagger U = \one \gdw U^\dagger = U^{-1}
\end{equation}

\subsection*{Satz}
\begin{equation}
	\text{$U$ unitär} \gdw \norm{U \phi} = \norm{\phi}
\end{equation}
\paragraph{Beweis:}
\begin{align}
	\norm{\phi + c \chi}^2 &= \braket{\phi + c \chi}{\phi + c \chi} = \braket{\phi}{\phi} + 2 \re{c \braket{\phi}{\chi}} + cc^* \braket{\chi}{\chi} \\
	\norm{U (\phi + c \chi)}^2 &= \braket{U \phi}{U \phi} + 2 \re{c \braket{U \phi}{U \chi}} + cc^* \braket{U \chi}{U \chi}
\end{align}

\paragraph{``$\Leftarrow$'':}
\begin{align}
	\re{c \braket{\phi}{\chi}} &= \re{c \braket{U \phi}{U \chi}}\\
	c = 1 \re{\braket{\phi}{\chi}} &= \re{\braket{U \phi}{U \chi}}\\
	c = i \im{\braket{\phi}{\chi}} &= \im{\braket{U \phi}{U \chi}}\\
	\rightarrow \braket{\phi}{\chi} &= \braket{U \phi}{U \chi}\\
	&= \dirac{\phi}{U^\dagger U}{\chi}
\end{align}
mit $U^\dagger U = \one$

\paragraph{``$\Rightarrow$'':}
\begin{equation}
	\norm{U \phi}^2 = \braket{U \phi}{U \phi} = \dirac{\phi}{U^\dagger U}{\phi} = \braket{\phi}{\phi} = \norm{\phi}^2
\end{equation}

\paragraph{Bemerkung:}
Unitäre Operatoren vermitteln Basiswechsel:\\
gegeben $\set{\ket{n}}$, definiere
\begin{equation}
	\set{\ket{n'}} \equiv \set{U \ket{n}}
\end{equation}
denn:
\begin{align}
	\braket{m'}{n'} &= \braket{Um}{Un} = \dirac{m}{U^\dagger U}{n} = \braket{m}{n}\\
	&= \delta_{m,n}
\end{align}
\begin{enumerate}
	\item $\ket{\psi} = \sum_n c_n \ket{n} = \sum_{n'} c_{n'} \ket{n'}$\\
		mit $c_{n'} = \braket{n'}{\psi} = \braket{Un}{\psi}$
	\item Matrixelemente $A'_{m,n} \equiv \dirac{m'}{A}{n'} = \sum_{k,l} U_{m,k}^\dagger A_{k,l} U_{l,m}$
\end{enumerate}

\section{Spektralzerlegung von hermitschen Operatoren}
\subsection*{Satz}
\begin{align}
	\text{A hermitesch} \Rightarrow &\text{(1) Eigenwerte $a_n$ sind reell}\\
	&\text{(2) Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthognal}
\end{align}
\paragraph{Beweis}
\begin{equation}
	A \ket{a_n} = a_n \ket{a_n}
\end{equation}
\subparagraph{zu (1)}
\begin{align}
	A \ket{a_n} &= a_n \ket{a_n} &\left| \bra{a_n} \right.\\
	\braket{a_n A}{a_n} &= a_n \braket{a_n}{a_n}
\end{align}
\begin{align}
	\braket{a_n A}{a_n} &= \braket{a_n (a_n)}{a_n} = a_n^* \braket{a_n}{a_n}
\end{align}
\begin{math}
	\Rightarrow a_n = a_n^* \text{ \QED}
\end{math}
\subparagraph{zu (2)}
\begin{align}
	A \ket{a_m} &= a_m \ket{a_n}\\
	A \ket{a_m} &= a_m \ket{a_m}
\end{align}
\begin{align}
	\dirac{a_n}{A}{a_m} &= a_m \braket{a_n}{a_m}\\
	&= a_n \braket{a_n}{a_m}
\end{align}
\begin{math}
	a_m \neq a_n \Rightarrow \braket{a_n}{a_m} = 0 \text{ \QED}
\end{math}

\subsection*{Zwei Fälle}
\begin{enumerate}
	\item alle $a_n$ unterschiedlich
		$\rightarrow \set{\ket{a_n}}$ bildet Basis
	\item nicht alle $a_n$ unterschiedlich
		Dann gibt es immer eine untäre Transformation $U$ mit
		\begin{equation}
			U^{-1}AU = \inlinematrix{a_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_N}
		\end{equation}
		$\rightarrow$ orthogonle Basis konstruiert.
\end{enumerate}

Sei $g(n)$ die Entartung von Eigenwert $a_n$. Im Unterraum gibt es also $g(n)$ Eigenvektoren:

$\ket{n,r}$ mit $r=1, ..., g(n)$
\begin{equation}
	A \ket{n,r} = a_n \ket{n,r}
\end{equation}

\paragraph{Projektion auf diesen Unterraum}
\begin{equation}
	P_n = \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\bra{n,r}
\end{equation}
\begin{equation}
	\sum_n P_n = \sum_n \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\bra{n,r} = \one
\end{equation}

\begin{align}
	A \ket{\psi} = A \one \ket{\psi} &= A \sum_n \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\braket{n,r}{\psi}\\
	&= \sum_n a_n \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\braket{n,r}{\psi}
\end{align}
\begin{align}
	A &= \sum_n a_n \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\bra{n,r}\\
	&= \sum_n a_n \ket{n}\bra{n} = \sum_n a_n \ket{a_n}\bra{a_n} & \text{(nicht entartet)}
\end{align}

\section{Vollständiger Satz kommutierender Operatoren}
\subsection*{Definition}
\begin{equation}
	\text{$A,B$ kommutieren} \gdw AB -BA = [A,B] = 0
\end{equation}

\subsection*{Satz}
\begin{equation}
	\text{$A$, $B$ hermitesch und $[A,B] = 0$} \Rightarrow \text{es existiert eine gemeinsame Eigenbasis}
\end{equation}

\paragraph{Beweis}
\begin{align}
	A \ket{n,r} &= a_n \ket{n,r} & B_\rightarrow\\
	BA \ket{n,r} &= a_n B \ket{n,r}\\
	A (B \ket{n,r}) &= a_n (B \ket{n,r})
\end{align}
$\rightarrow$ $B \ket{n,r}$ liegt im Untrraum zu $a_n$
\begin{description}
	\item[Fall (1)] $a_n$ nicht entartet ($\ket{n,r} \equiv \ket{n}$)
		\begin{equation}
			B \ket{n} = b_n \ket{n}
		\end{equation}
	\item[Fall (2)] $a_n$ entartet
		\begin{equation}
			\bra{m,s} \cdot B \cdot \ket{n,r} = B_{s,r}^{(n)}
		\end{equation}
		\begin{equation}
			B \cequiv \inlinematrix{\boxed{B^{(1)}} & & 0 \\ & \boxed{B^{(2)}} & & \\ & & \boxed{B} & \\ 0 & & & \boxed{B^{(4)}}} \rightarrow \text{kann diagonalisiert werden in jedem Kästchen}
		\end{equation}
		Falls $B^{(n)}$ entartet, gibt es einen dritten Opertor $C$ mit $[A,C] = [B,C] = 0$.
\end{description}

\subsection*{Definition}
Das Ensemble $set{A^1, ..., A^M}$ wechselseitig kommutierender Operatoren, deren Eigenwerte $(a_{n_1}^1, ..., a_{n_N}^M)$ mit zugehörigen Eigenvektoren $\set{\ket{a_{n_1}^1, ..., a_{n_N}^M}}$ mit
\begin{equation}
	A^k \ket{a_{n_1}^1, ..., a_{n_N}^M} = a_{n_k}^k \ket{a_{n_1}^1, ..., a_{n_N}^M}
\end{equation}
eine eindeutige Basis definieren einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren (VSKO, CSCO).

\section{Operatorfunktionen}
Sei $A$ Operator, definiere $f(A)$
\begin{enumerate}
	\item über die Potenzreihe
		\begin{equation}
			f(A) = \sum_{n=0}^{\inf} \frac{1}{n!} f^{(n)}(n) A^n
		\end{equation}
		$\lboxed{\text{Bsp: } e^A = \sum_{n=0}^{\inf} \frac{1}{n!} A^n}$
	\item für hermitesche
		\begin{align}
			f(A) &= \sum_{n=1}^N f(a_n) \ket{a_n}\bra{a_n} & \text{(nicht entartet)}\\
			&= \sum_n \sum_{r=1}^{g(n)} f(a_n) \ket{n,r}\bra{n,r}
		\end{align}
		beachte: $e^A \cdot e^B \neq e^{A+B}$
\end{enumerate}
