qm1-script/ueb7.tex

%\includegraphics{excs/qm1_blatt07_SS08.pdf}
%\pagebreak

\chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 7}
\section{Aufgabe 17: Unendlich hoher Potentialtop (Ergänzungen)}
\subsection*{a)}

\begin{math}
	\Phi_n(p) = \intgrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \cdot \Phi(x) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}}{x}
\end{math}

Für n = ungerade:

\begin{align}
	\Phi_n(p)	&= \intgrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \cos(\frac{(n+1) \cdot \pi x}{2 a}) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}}{x} \\ \\
				&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \sbk {
					\frac{1}{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}-\frac{p}{\hbar}} \cdot \sin \sbk{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}-\frac{p}{\hbar} \cdot u} +
					\frac{1}{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}+\frac{p}{\hbar}} \cdot \sin \sbk{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}+\frac{p}{\hbar} \cdot u}}
	\Phi_n(p)	&=
					\begin{cases}
						\frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}}	\cdot \frac{\i^n \cdot 4 \cdot a \hbar^2 \cdot (n+1) \cdot \pi}{\hbar^2 (n+1)^2 \pi - 4 a^2 p^2} \cdot \cos\sbk{\frac{pa}{\hbar}}
						\i^{n+2}						\cdot \frac{\i^n \cdot 4 \cdot a \hbar^2 \cdot (n+1) \cdot \pi}{\hbar^2 (n+1)^2 \pi - 4 a^2 p^2} \cdot \sin\sbk{\frac{pa}{\hbar}}
					\end{cases}
\end{align}

	
\subsection*{b)}
\subsection*{c)}


\section{Aufgabe 18: Tunneleffekt}
\includegraphics{grafiken/U_A18_1.pdf}
\subsection*{a)}

I
\begin{math}
	-\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \Phi(x) = E \Phi(x) \\
	\Phi(x) =A e^{\i k x} + B e^{-\i k x} \\
	k = \sqrt{\frac{2 E M}{\hbar^2}}
\end{math}

II $E < V_0$
\begin{math}
	\Phi(x) = C e^a + D e^{-qx} \\ % ist das nen q hier?
	q = \sqrt{\frac{-2m(E-V_0)}{\hbar^2}}
\end{math}

III
\begin{math}
	\Phi(x) = \tilde{E} e^{\i k x} + F e^{-\i k x}
\end{math}

\subsection*{b)}
\begin{math}
	F = 0
	\Phi_I(0) = \Phi_{II}(0) \\
	A+B = C+D \\
	\diffT{x} \Phi_I(0) = \diffT{x} \Phi_{II}(0) \\ % anschlussbedingungen korrekt
	\i k A - \i k B = q C - q D \\
	\inlinematrix{1 & 1 \\\i k & -\i k} \inlinematrix{A & B} = \inlinematrix{1 & 1 \\ q & -q} \inlinematrix{C & D} \\
	\Phi_{II}(a) = \Phi_{III}(a) \\
	C e^{a \cdot a} + D e^{-a \cdot a} = \tilde{E} e^{\i k a} \\
	\diffT{x} \Phi_{II}(a) = \diffT{x} \Phi_{III}(a) \\
	q C e^{a \cdot a} - q D e^{-a \cdot a} = \i k \tilde{E} e^{\i k a} \
	\inlinematrix{e^{a \cdot a} & e^{-a \cdot a} \\ q e^{a \cdot a} & q e^{-a \cdot a}} \inlinematrix{C & D} = \inlinematrix{\tilde{E} e^{\i k a} \\ \i k \tilde{E} e^{\i k a}}
\end{math}

mit den \hyperlink{fs_mtrx_inv_2d}{Inversen} von: (1) und (2) % geschweifte klammern unter matrix 1 und 2 setzen

\begin{math}
	%mit maxima berechnet
	\inlinematrix{C & D} = \inlinematrix{\frac{{e}^{{a}^{2}}}{{e}^{2 {a}^{2}}-1} & -\frac{1}{\left( {e}^{3\,{a}^{2}}-{e}^{{a}^{2}}\right) q} \\ -\frac{{e}^{{a}^{2}}}{{e}^{2{a}^{2}}-1} & \frac{{e}^{{a}^{2}}}{\left( {e}^{2 {a}^{2}}-1\right) q}} \inlinematrix{\tilde{E} e^{\i k a} \\ \i k \tilde{E} e^{\i k a}} \\
	\inlinematrix{A & B} = \inlinematrix{\frac{1}{2} & -\frac{\i}{2k}\\ \frac{1}{2} & \frac{\i}{2k}} \inlinematrix{1 & 1 \\ q & -q} \inlinematrix{C & D}
\end{math}

\subsection*{c)}
$\inlinematrix{C & D}$ eingesetzt ergibt:
\begin{align}
	\tilde{E}	&= \frac{2 k a}{e^{ika} \sbk{(q^2 - k^2) \cdot \i sinh(q \cdot a) - 2 k q cosh(qa)}} \\ % ist das richtig?
	A			&= 1 \\
	T			&= \sbk{\frac{E}{A}}^2 \\
	R			&= 1 - T &= \sbk{\frac{B}{A}}^2 \\
	T			&= \frac{1}{\sbk{\frac{a^2 - k^2}{2 q k}} \cdot 2 sinh^2(q a) + cosh^2(q a)}
\end{align}



\section{Aufgabe 19: Doppeltes Delta-Potential}
$V(x) = - \frac{\hbar^2}{m} \kappa_0 \sbk{\delta\sbk{x -a} + \delta\sbk{x + a}}$
$E<0$
$\sbk{-\frac{\hbar^2}{2 m} \diffPs{x}^2 - \frac{\hbar^2}{m} \kappa_0 \sbk{\delta\sbk{x - a} + \delta\sbk{x + a}}} \Phi(x) = E \Phi(x)$
$\Phi'_I(-a) - \Phi'_{II}(-a) = - 2 \kappa_0 \Phi_I(-a)$
Mit $k^2 = \frac{-2 m E}{\hbar^2}$
Für I:
\begin{align}
	\psi_I			&= A e^{k x} \\
	\psi_{II}		&= B e^{-k x} + c e^{k x} \\
	\psi_{III}		&= D e^{-k x} \\
	\abs{A}			&= \abs{D} \\
	A				&= \pm D \\
	B				&= \pm C \\
	0				&= B e^{2 k a} - C + A \sbk{1 - 2 \frac{k_0}{k}} \\
	0				&= C e^{2 k a} - B + D \sbk{1 - 2 \frac{k_0}{k}} \\
	\frac{k_0}{k} \sbk{e^{- 2 k a} \pm 1}	&= \pm 1 \\
	e^{-2 k a}								&= \frac{k}{k_0} - 1 \\
	e^{-2 k a}								&= -\frac{k}{k_0} + 1 \\
\end{align}

%grafik einfügen

\begin{align}
	\kappa_0		&= 1 \\
	\kappa_1		&= 1,11 \\
	\kappa_2		&= 0,80 \\
	E				&= -\frac{k^2 \hbar^2}{2 m}
\end{align}


\subsection*{a)}

\subsection*{b)}
$k_0 a \gg 1$ $\Rightarrow$ $\kappa \approx \kappa_0$
$k_\pm = k_0 \sbk{1 \pm e^{-2 \kappa_0 a}}$
\subsection*{c)}
$a \rightarrow 0$
\begin{align}
	\kappa_+	&\approx \kappa_0 \sbk{1 + 1 - 2k + a} \\
				&\approx 2 \kappa_0
\end{align}