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\chapter{Reine Zustände}
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\section{Postulate}
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\begin{itemize}
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\item P1: Bei vollständiger Kenntnis (Präparation) wird ein System durch einen normierten Vektor
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\equationblock{\ket{\Psi} \in \hilbert} beschrieben
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\item P2a: Jeder physikalischen Größe entspricht ein hermitescher Operator
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\equationblock{A = \sum a_n \ket{n} \bra{n} \text{(Spektraldarstellung)}}
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mit Eigenzuständen $\ket{n}$ und reellen Eigenwerten $a_n$
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\equationblock{A = \sum a_n \ket{n} \bra{n} = \sum_\nu a_\nu P_\nu}
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mit $P_\nu = \sum_{n : a_n = a_\nu} \ket{n} \bra{n}$
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\item P2b: Eine Messung von A im Zustand $\ket{\Psi}$ gibt Sicherheit einen der Eigenzustände $a_\nu$
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Die Wahrscheinlichkeit, $a_\mu$ zu messen ist:
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\begin{align}
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\probb{A \cequiv a_\mu}{\ket{\Psi_0}} &= \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{\Psi_0} \\
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&= \braket{\Psi}{n} \braket{m}{\Psi} \\
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&= \spbk{\braket{m}{\Psi}}^2 \\
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&= \sum_k \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{k} \braket{k}{\Psi_0} \\
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&= \sum_k \braket{k}{\Psi_0} \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{k} \\
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&= \tr\sbk{\ket{\Psi_0} \bra{\Psi_0} P_\mu} \\
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&= \tr\sbk{P_{\Psi_0} P_\mu}
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\end{align}
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mit $P_{\Psi_{0}} = \ket{\Psi_0} \bra{\Psi_0}$ \\
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Konsequenz: ``Erwarutngswert'' oder Mittelwert über viele Messungen in identisch präparierten Zustand $\ket{\Psi_0}$
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\begin{align}
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\expval{A_{\Psi_0}} &= \sum_\nu a_\nu \probb{A \cequiv a_\nu}{\ket{\Psi_0}} \\
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&= \sum_\nu a_\nu \dirac{\Psi_0}{P_\nu}{\Psi_0} \\
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&= \dirac{\Psi_0}{A}{\Psi_0}
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\end{align}
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\item P2c: Unmittelbar nach der Messung des Messwertes $a_\mu$ ist das System im Zustand
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\equationblock{\ket{\Psi} = \frac{O_\mu \ket{\Psi_0}}{\norm{P_\mu} \ket{\Psi_0}} \stackrel{a_\mu nicht entartet}{} \ket{m}}
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\item P3: Nach einer Messung oder Präparation entwickelt sich der Zustand nach der Schrödingergleichung:
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\equationblock{\i \hbar \diffPs{t} \ket{\Psi_0\sbk{t}} = H\sbk{t} \ket{\Psi\sbk{t}}}
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mit dem (hermiteschen) Hamiltonoperator $H\sbk{t}$
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\end{itemize}
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\section{Einfaches Beispiel mit Spin $\frac{1}{2}$}
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% \begin{figure}[H] \centering
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% \includegraphics{pdf/V/01-02-00.pdf}
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% \end{figure}
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\begin{itemize}
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\item P1: $\hilbert = \setC^2$ \\
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Basis: $\ket{z+}$, $\ket{z-}$ \\
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allgemeiner Zustand: $\ket{\Psi} = c_1 \ket{z+} + c_2 \ket{z-}$ mit $\spbk{c_1}^2 + \spbk{^2} = 1$
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\item P2a: Mögliche physikalische Größen: Messung durch SG in $\vec{n}$ Richtung:
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% \begin{figure}[H] \centering
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% \includegraphics{pdf/V/01-02-01.pdf}
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% \end{figure}
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mögliche Messwerte: Eigenwerte von $V_n = \pm 1$ \\
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Eigenvektoren $\ket{n+} = \inlinematrixu{\cosb{\frac{\Theta}{2}} \\ e^{\i \Phi} \sinb{\frac{\Theta}{2}}}$
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$n = \inlinematrixu{\sinb{\Theta}\cosb{\Phi} \\ \sinb{\Theta}\sinb{\Phi} \\ \cosb{\Theta}}$
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\item P2b: $\probb{\Sigma_n \cequiv +1}{\ket{\Psi_0}} = \spbk{\braket{n+}{\Psi_0}}^2$
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\item P2c: Nach der Messung von +1 mit Sicherheit im Zustand $\ket{n+}$ \\
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Besipiel für den Erwartungswert:
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\begin{align}
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\expval{\Sigma_n}_\ket{\Psi_0} &= \\
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\dirac{\Psi_0}{\Sigma_n}{\Psi_0} &=
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\inlinematrixu{c_1^\ast & c_2} \inlinematrixu{n_z & n_x - \i n_y \\ n_x + \i n_y & -n_z} \inlinematrixu{c_1 \\ c_2}
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\end{align}
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\item P3: Dynamik im Magnetfeld:
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\equationblock{H\sbk{t} = - \vec{mu} \vec{B}\sbk{t} = g \mu_b \frac{1}{2} \vec{\Sigma} \cdot \vec{B}\sbk{t}}
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Beispiel: $\vec{B}\sbk{t} ) B_z \vec{e_z} \rightarrow H = \frac{\hbar \omega}{2} \Sigma_z$
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mit $\omega = g \mu_b \frac{B}{\hbar}$
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$\text{SG(P3)} = \i \hbar \diffPs{t} \ket{\Psi} = \hbar \frac{\hbar}{2} \Sigma_z \ket{\Psi}$
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$\Psi\sbk{t} = e^{-\frac{\i}{\hbar} H t} \ket{\Psi_0} =$ \\
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$c_1\sbk{0} e^{-\frac{\i \omega t}{2}} \ket{z+} + c_2\sbk{0} e^{+\frac{\i \omega t}{2}} \ket{z-}$
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\end{itemize}
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\chapter{Gemische: Statistischer Operator}
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\section{Motivation: Ein Spiel}
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% \begin{figure}[H] \centering
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% \includegraphics{pdf/V/02-01-00.pdf}
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% \end{figure}
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Alice sendet Bob mit Wahrscheinlichkeit $p_+ = \frac{1}{2}$ den Zustand $\ket{z+}$ und mit $p_- = \frac{1}{2}$ den Zustand $\ket{z-}$
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Bob weiss nicht ob Alice $\ket{z+}$ oder $\ket{z-}$ geschicket hat. Bob darf aber ein beliebiges Stern-Gerlach-Experiment durchführen.
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Frage: Wie soll Bob seinen Einganszustand beschreiben?
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\begin{enumerate}
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\item Bobs Experiment(e) zeigen: \\
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$\expval{\Sigma_z} = \expval{\Sigma_x} = \expval{\Sigma_x} = \expval{\Sigma_n}$ \\
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Es gibt kein $\ket{\Psi_0}$ mit $\expval{\Sigma_n}_\ket{\Psi} = 0 \forall n$ \\
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Bobs Kenntnis ist unvollständig (Eingangspräparation)
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\item Bobs Input besteht aus einem \textbf{klassischen} Ensemble (Gesamtheit), in dem mit \textbf{klassischer} Wahrscheinlichkeit $p_+ = \frac{1}{2}$ der Zustand $\ket{z+}$ und mit \textbf{klassischer} Wahrscheinlichkeit $p_- = \frac{1}{2}$ der Zustand $\ket{z-}$ enthalten ist.
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\end{enumerate}
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\section{Definition des statistischen Operators (Dichtematrix; engl. density matrix)}
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Sei $\rho$ ein Operator $\hilbert \rightarrow \hilbert$:
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\begin{enumerate}
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\item $\rho = \rho^\dagger$
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\item $\tr\sbk{\rho} = 1$
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\item $\dirac{\psi}{\rho}{\psi} \geq 0 \forall \ket{\psi} \in \hilbert$
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\end{enumerate}
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bzw. in irgend einer Basis $\sgbk{\ket{n}}$
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\begin{enumerate}
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\item $\rho_{nn} = \dirac{n}{\rho}{m} \rho^\ast_{mn}$
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\item $\sum_n \rho_{nn} = 1$
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\item $\sum_{n,m} c_n^\ast \rho_{nm} c_m \geq \forall c_n$ mit $\sum_n \spbk{c_n}^2$
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\end{enumerate}
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\section{Gemisch}
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Definition: Ein quantales enthält mit Wahrscheinlichkeit $p_i$ den reinen Zustand $\ket{\psi_i}$ $\sbk{i = 1\ldots M}$ $M$ beliebig, im Allgemeinen ist $M \neq \dim \hilbert$.
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\begin{enumerate}
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\item $\sum_i^M p_i = 1$
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\item $\braket{\psi_i}{\psi_j} \neq \delta_{ij}$ erlaubt
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\end{enumerate}
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Dieses quantale Gemisch wird durch den statistischen Operator $\rho = \sum_{i=1}^M p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i} = \sum_{i=1}^M p_i P_{\psi_i}$.
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Alice präpariert $\ket{z+}$ und $\ket{z-}$ Zustand, sie würfelt und wählt dann mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ $\ket{z+}$ und mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ $\ket{z-}$, die sie zu Bob schickt.
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Frage: Wie soll Bob den Eingangszustand beschreiben?
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Bobs mögliche Messwerte $\sigma_n$ sind immer noch $\pm1$.
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\begin{align}
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\prob{\sigma_z \cequiv +1} &= p_{z+} &= \frac{1}{2} \\
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\prob{\sigma_z \cequiv -1} &= p_{z-} &= \frac{1}{2} \\
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\prob{\sigma_n \cequiv +1} &= p_{z+} &= p_{z-} \probb{\sigma_z \cequiv +1}{\ket{z+}} + p_{z-} \probb{\sigma_z \cequiv -1}{\ket{z+}}
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\end{align}
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Bsp: $\vec{n} = \vec{e_x}$
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\begin{align}
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\prob{\sigma_x \cequiv 1} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \\
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\prob{\sigma_x \cequiv -1} &= &= \frac{1}{2}
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\end{align}
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$\Rightarrow \ssbk{\sigma_x} = 0$
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Check:
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\begin{enumerate}
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\item $\rho^\dagger = \sum_i p_i \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = \rho$
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\item \begin{align}
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\tr\sbk{\rho} &= \sum_i \dirac{n}{\sum_{i=1}^M P_i}{\psi_i} \braket{\psi_i}{n} \\
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&= \sum_{i=1}^M P_i \spbk{\underbrace{\braket{n}{\psi_i}}_{=1}}^2 = 1
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\end{align}
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\item \begin{align}
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\dirac{\psi}{\rho}{\psi} &= \dirac{\psi}{\sum_{i=1}^M P_i}{\psi_i} \braket{\psi_i}{\psi} \\
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&= \sum_{i=1}^M P_i \ssbk{\underbrace{\braket{\psi_i}{\psi}}_{\geq 0}}^2
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\end{align}
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\end{enumerate}
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Bemerkung:
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\begin{enumerate}
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\item Als Spezialfall enthält der Begriff Gemisch auch den reinen Zustand. $M=1$ gibt $\rho= \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = P_{\ket{\psi_1}}$
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\item für einen reinen Zustand gilt: $\rho^2 = \rho$
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\end{enumerate}
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Beweis: $\rho^2 = \rho \cdot \rho = \ket{\psi_1} \braket{\psi_1}{\psi_1} \bra{\psi_1} = \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = \rho$
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Beispiel:
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Alice präpariert mit Wahrscheinlichkeit $p_1$ den Zustand $\ket{z+}$ und mit $p_2$ den Zustand $\ket{x+}$ $\sbk{p_1 + p_2 = 1}$
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\begin{align}
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\rho &= p_1 \ket{z+} \bra{z+} + p_2 \ket{x+} \bra{x+} \\
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&= p_1 \inlinematrixu{1 \\ 0} \inlinematrixu{1 & 0} + p_2 \inlinematrixu{\frac{\sqrt{2 }}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2}} \inlinematrixu{\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}} \\
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&= p_1 \inlinematrixu{1 & 0 \\ 0 & 0} + p_2 \inlinematrixu{\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}} \\
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&= \inlinematrixu{p_1 + \frac{p_2}{2} & \frac{p_2}{2} \\ \frac{p_2}{2} & \frac{p_2}{2}}
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\end{align}
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$\rho^2 = \rho \gdw p_1=1 \text{xor} p_1=0$
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Bemerkung:
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Die Darstellungen eines Gemisches eines
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