qm1-script/kapIII-0.tex

\chapter{Zusammengesetzte Systeme}
\paragraph*{bisher:}
\begin{itemize}
	\item[I]  ein Spin-1/2 (bzw. ein N-Niveau System)
	\item[II] ein Teilchen entlang einer Dimension
\end{itemize}

\paragraph*{Ziel}
zwei und mehr Teilchen in $d=3$; Ortsfreiheitsgrad und Ort kombinieren

\section{Beispiel 2 Teilchen in einer Dimension}
%\begin{figure}[H] \centering
%\includegraphics{pdf/III/00-01-00.pdf}
%\end{figure}
Mit dem Potential
\begin{equation}
	V(x_1, x_2) = V_1(x_1) + V_2(x_2) + V_\text{int}(x_1, x_2)
\end{equation}
auf dem Niveau der Wellenfunktion $\psi(x_1, x_2)$ ist
\begin{equation}
	\rho(x_1, x_2) \equiv \abs{\psi(x_1, x_2)}^2
\end{equation}
die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_1$ und das zweite Teilchen bei $x_2$ zu finden und
\begin{align}
	\rho_1(x_1) &\equiv \intgr{-\infty}{+\infty}{\rho(x_1, x_2)}{x_2}\\
	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x_1, x_2)}^2}{x_2}
\end{align}
die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_2$ zu finden unabhängig davon wo das 2. Teilchen ist.
\begin{itemize}
	\item Normierung
		\begin{equation}
			1 = \intgru{\rho_1(x_1)}{x_1} = \intgru{\intgru{\rho(x_1, x_2)}{x_2}}{x_1}
		\end{equation}
	\item Zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung
		\begin{equation}
			i\hbar \diffPs{t} \psi(x_1, x_2, t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2 m_1} \diffPs{x_1}^2 - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \diffPs{x_2}^2 + V(x_1, x_2) \right) \psi(x_1, x_2, t)
		\end{equation}
\end{itemize}

\section{Hilbertraum als Tensorprodukt}
\subsection{endlich dimensionaler Fall}
\begin{itemize}
	\item System 1: $\hilbert^{(1)}$ mit Basis $\set{\ket{n} \left| n = 1, ..., N \right.}$
	\item System 2: $\hilbert^{(2)}$ mit Basis $\set{\ket{m} \left| m = 1, ..., M \right.}$
\end{itemize}

\paragraph{Beispiel: Benzolring}
\begin{itemize}
	\item System 1:
		\begin{equation}
			\ket{\psi_1} = \sum_{n=1}^6 c_n \ket{n}
		\end{equation}
	\item System 2: (Spin des Elektrons; hier in Z-Richtung)
		\begin{equation}
			\ket{\psi_2} = \sum_{m=1}^M d_m \ket{m} = d_+ \ket{z+} + d_-\ket{z-}
		\end{equation}
\end{itemize}

\paragraph{Gesamtraum}
Der Gesamtraum $\hilbert$ der Dimension $n \cdot m$ sei nun
\begin{equation}
	\hilbert = \left( \hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)} \right)
\end{equation}
mit der Basis
\begin{equation}
	B_\hilbert = \set{\ket{n} \otimes \ket{m} \left| n = 1, ..., N; m = 1, ..., M \right.}
\end{equation}
und im obigen Beispiel: $\set{\ket{1} \otimes \ket{z+}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z+}, \ket{1} \otimes \ket{z-}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z-}}$\\[15pt]
Ein beliebiger Zustand in $\hilbert$ ist dann
\begin{equation}
	\ket{\psi} = \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M d_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m} = \sum_{j=1}^{N \cdot M} a_j \ket{j}
\end{equation}
\underline{Beachte:} nicht jeder $\ket{\psi} \in \hilbert$ lässt sich schreiben als
\begin{equation}
	\ket{\psi} = \underbrace{\ket{\psi_1}}_{\in \hilbert^{(1)}} \otimes \underbrace{\ket{\psi_2}}_{\in \hilbert^{(2)}}
\end{equation}
denn
\begin{align}
	\ket{\psi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z-} \right)\\
	&\neq \ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2} ~ \text{``Verschränkung'' (``entanglement'')}
\end{align}
im Gegensatz zu
\begin{align}
	\ket{\phi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z+} \right)\\
	&= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} + \ket{2} \right) \otimes \ket{z+} \right) ~ \text{``Produktzustand''}
\end{align}
Weiterhin sei das Skalarprodukt wiefolgt definiert:
\begin{align}
	\left( \bra{n'} \otimes \bra{m'} \right) \left( \ket{n} \otimes \ket{m} \right)&= \braket{n'}{n} \braket{m'}{m}\\
	&= \krondelta{n,n'} \krondelta{m,m'}
\end{align}
d.h.
\begin{align}
	\ket{\psi} &= \sum_{n,m} a_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m}\\
	\ket{\phi} &= \sum_{n,m} b_{n',m'} \ket{n'} \otimes \ket{m'}\\[15pt]
	\braket{\phi}{\psi} &= \sum_{n,m} b_{n,m}^* a_{n,m}
\end{align}

\subsection{kontinuierlicher Fall}
\begin{itemize}
	\item Teilchen (System) 1: $\ket{\psi_1} \in \hilbert^1$ mit Basis $\set{\ket{x_1}}$, $\set{\ket{p_1}}$ oder $\set{\ket{n_1}}$
	\item Teilchen (System) 2: $\ket{\psi_2} \in \hilbert^2$ mit Basis $\set{\ket{x_2}}$, $\set{\ket{p_2}}$ oder $\set{\ket{n_2}}$
\end{itemize}

\paragraph{Gesamtraum}
\begin{equation}
	\hilbert = \hilbert^1 \otimes \hilbert^2
\end{equation}
mit Basis
\begin{equation}
	B_\hilbert^{(1)} = \set{\ket{x_1} \otimes \ket{x_2} \equiv \ket{x_1, x_2}}
\end{equation}
oder
\begin{equation}
	B_\hilbert^{(2)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{p} \equiv \ket{x, p}}
\end{equation}
oder
\begin{equation}
	B_\hilbert^{(3)} = \set{\ket{p_1} \otimes \ket{p_2} \equiv \ket{p_1, p_2}}
\end{equation}
oder
\begin{equation}
	B_\hilbert^{(4)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{n} \equiv \ket{x, n}}
\end{equation}
mit $\ket{\psi} \in \hilbert$ und $\psi(x_1, x_2) = \braket{x_1, x_2}{\psi}$
\begin{align}
	\ket{\psi}^{(1)} &= \intgru{\intgru{\psi(x_1, x_2) \ket{x_1, x_2}}{x_2}}{x_1}\\
	\ket{\psi}^{(2)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x, p)\ket{x, p}}{p}}{x}\\
	\ket{\psi}^{(4)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\sum_{n=0}^\infty \psi_n(x) \ket{x, n}}{x}
\end{align}

\section{Operatoren}