qm1-script/kapII-0.tex

\chapter{Wellenmechanik in Ortsdarstellung: Grundregeln und Beispiel}
\section{Konkrete Form der Postulate}
\paragraph*{(P1)} Bei vollst. Kenntnis kann ein 1-dimensionales quantales System zu jedem Zeitpunkt durch eine komplexe Wellenfunktion $\psi(x,t_0)$ (mit $\intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x,t_0)}^2}{x} = 1$) repräsentiert werden.
\paragraph{(P2)} Die Warscheinlichkeit das System zur Zeit $t_0$
\begin{itemize}
	\item am Ort $x$ zu messen ist
		\begin{equation}
			\rho(x) = \abs{\psi(x,t_0)}^2
		\end{equation}
	\item mit dem Impuls $p$ zu messen ist
		\begin{equation}
			\rho(p) = \abs{\psi(p,t_0)}^2
		\end{equation}
		mit
		\begin{equation}
			\psi(p,t_0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \intgr{-\infty}{+\infty}{e^{-\frac{i p x}{\hbar}} \psi(x,t_0)}{x}
		\end{equation}
\end{itemize}
Konsequenz für die Erwartungswerte:
\begin{align}
	<x>(t_0) &\equiv \intgr{-\infty}{+\infty}{x~\rho(x,t)}{x}\\
	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi^*(x,t_0) \cdot x \psi(x,t_0)}{x}\\[15pt]
	<p>(t_0) &= \intgr{-\infty}{+\infty}{p~\rho(p,t_0)}{p}\\
	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\intgr{-\infty}{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^\frac{i p x}{\hbar} \psi^*(x,t_0)}{x}~p~\intgr{-\infty}{+\infty}{e^{-\frac{i x' p}{\hbar}} \psi(x',t_0)}{x'}}{p}\\
	&= \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \intgru{\psi^*(x,t_0) e^\frac{i p x}{\hbar}}{p} \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \psi(x,t) (i \hbar \partial_{x'})e^\frac{-i x' p}{\hbar}}{x'}}{x}\\
	&= \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar} \intgru{\intgru{\psi^*(x,t_0) e^\frac{i p x}{\hbar} e^\frac{-i p x'}{\hbar} (-i \hbar) \partial_{x'} \psi(x',t0)}{x'}}{p}}}{x}\\
	&= \intgru{\psi^*(x,t_0) (-i \hbar~\partial_x) \psi(x,t_0)}{x}
\end{align}
\paragraph{(P3)} Die Dynamik folgt der Schrödinger Gleichung
\begin{equation}
	i \hbar \partial_t \psi(x,t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x) \right) \psi(x,t)
\end{equation}
Für stationäre Zustände gilt (Ansatz $\psi(x,t) = e^{-\frac{i}{\hbar} E t} \phi(x)$)
\begin{equation}
	\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x)
\end{equation}
Die möglichen $E$-Werte sind die Eigenwerte des $H$-Operators. Diese Form der Postulate kann aud den allgemeinen Postulaten (I - 3.) hergeleitet werden unter den Zusatzannahmen:
\begin{enumerate}
	\item \begin{equation}
			\diffT{t}<x>(t) = <p>(t) m^{-1}
		\end{equation}
	\item H-Operator ist durch das Analogon zur klassischen Hamiltonfunktion gegeben
\end{enumerate}