2008-06-23 10:39:00 +00:00
\chapter { Mathematische Sprache/Bühne: Hilbert-Raum (endl. Dim.)}
\section { Definition}
\begin { itemize}
\item linerarer Vektorraum $ \hilbert $ mit Vektoren $ \set { \ket { \phi } , \ket { \psi } } $
\begin { equation}
c_ 1 \ket { \phi } + c_ 2 \ket { \psi } = \ket { c_ 1 \phi + c_ 2 \psi } \in \hilbert
\end { equation}
\item Inneres (hermitesches) Produkt: $ \hilbert \times \hilbert \rightarrow \setC $
\begin { equation}
\ket { \phi } , \ket { \psi } \rightarrow \braket { \phi } { \psi } = \braket { \psi } { \phi } ^ *
\end { equation}
\begin { enumerate}
\item linear im 2. Argument:
$ \braket { \phi } { c _ 1 \psi _ 1 + c _ 2 \psi _ 2 } = c _ 1 \braket { \phi } { \psi _ 1 } + c _ 2 \braket { \phi } { \psi _ 2 } $
\item $ \underbrace { \braket { \phi } { \phi } } _ { \in \setR } > 0 $ falls $ \ket { \phi } \neq \ket { 0 } $
\item antilinear im 1. Argument:
$ \braket { c \phi } { \psi } = c ^ * \braket { \phi } { \psi } $
\end { enumerate}
\item \underline { ortho} normierte Basis $ \set { \ket { n } } = \set { \ket { 1 } , \ket { 2 } , ... , \ket { N } } $
\begin { equation}
\braket { n} { m} = \delta _ { n,m}
\end { equation}
Jeder Vektor kann entwickelt werden
\begin { align}
\ket { \psi } & = \sum ^ { N} _ { n=1} c_ n \ket { n} & \left | \bra { m} \right .\\
\braket { m} { \psi } & = \sum ^ N_ { n=1} c_ n \braket { m} { n} = c_ m\\
\ket { \psi } & = \sum ^ N_ { n=1} \braket { n} { \psi } \ket { n} \\
\text { mit} \ket { \phi } & = \sum ^ { N} _ { n=1} d_ n \ket { n} \\
\braket { \phi } { \psi } & = \sum ^ { N} _ { n=1} d_ n^ * \sum ^ { N} _ { m=1} c_ m \braket { n} { m} = \sum ^ { N} _ { n=1} d_ n^ * c_ n
\end { align}
\item Norm
\begin { equation}
\norm { \ket { psi} } \equiv \norm { \phi } \equiv \left ( \braket { \phi } { \phi } \right )^ \frac { 1} { 2} = \left ( \sum _ n c_ n^ * c_ n \right )^ \frac { 1} { 2}
\end { equation}
\item Schwarz'sche Ungleichung
\begin { equation}
\abs { \braket { \chi } { \phi } } ^ 2 \leq \braket { \chi } { \chi } \braket { \phi } { \phi } = \norm { \chi } ^ 2\norm { \phi } ^ 2
\end { equation}
Gleichheit falls $ \ket { \chi } = c \ket { \phi } $
\end { itemize}
\section { Lineare Operatoren}
\subsection * { linearer Operator A}
\begin { align}
A \ket { \phi } & = \ket { A \phi } \\
\text { mit} A\left (c_ 1\ket { \phi _ 1} +c_ 2\ket { phi2} \right ) & = c_ 1 \ket { A\phi _ 1} + c_ 2 \ket { A\phi _ 2}
\end { align}
\subsection * { ``Darstellung'' in Basis}
\begin { align}
\ket { A\psi } & = \sum _ n c_ n \ket { An} & \left | \bra { m} \right .\\
\braket { m} { A\psi } & = \sum _ n c_ m \braket { m} { An} \equiv \sum _ n c_ n A_ { m,n} c_ n
\end { align}
$ A _ { m,n } $ ... ``Matrixelemente''
\subsection * { Adjungierter Operator $ A ^ \dagger $ }
definiert durch
\begin { align}
\braket { \phi } { A^ \dagger \psi } & \equiv \braket { A \phi } { \psi } = \braket { \psi } { A\phi } *\\
A^ \dagger & \equiv \braket { m} { A^ \dagger n} = \braket { Am} { n} = \braket { n} { Am} ^ * = A_ { n,m} ^ *\\
\left (A^ \dagger \right )^ \dagger & = A
\end { align}
Produkt $ ( AB ) ^ \dagger $
\begin { align}
\braket { \phi } { (AB)^ \dagger \psi } = \braket { (AB)\phi } { \psi } & = \braket { B\phi } { A^ \dagger \psi } \\
& = \braket { \phi } { B^ \dagger A^ \dagger \psi } \\
\Rightarrow (AB)^ \dagger = B^ \dagger A^ \dagger
\end { align}
Definition:
\begin { equation}
\text { $ A $ ist hermitesch} \gdw A^ \dagger = A \gdw \underbrace { A_ { n,m} = A_ { m,n} ^ *} _ \text { Diagonale reel!}
\end { equation}
\section { Dirac-Notation}
\begin { align}
\ket { A\phi } & = A \ket { \phi } \\
\bra { A^ \dagger \psi } & \stackrel { \text { DN} } { \equiv } \bra { \psi A} \\
\braket { \psi } { A \phi } & = \braket { A^ \dagger \psi } { \phi } \stackrel { \text { DN} } { =} \braket { \psi A} { \phi } \equiv \dirac { \psi } { A} { \phi }
\end { align}
Merke: Operatoren wirken entweder normal nach rechts oder adjungiert nach links.\\ [10pt]
Jedem Vektor $ \ket { \phi } $ (``ket'') wird ein dualer Vektor $ \bra { \phi } $ (``bra'') zugeordnet.\\
\begin { tabular} [2]{ c|c}
ket & bra \\ \hline
$ \ket { \phi } $ & $ \bra { \phi } $ \\
$ \ket { c _ 1 \phi } $ & $ c _ 1 ^ * \bra { \phi } $
\end { tabular}
\subsection * { Darstellung als Spalten- und Zeilenvektoren}
\begin { align}
\set { \ket { 1} , ..., \ket { N} } & \cequiv \set { \inlinematrix { 1 \\ 0 \\ : \\ 0} , \inlinematrix { 0 \\ 1 \\ : \\ 0} , ..., \inlinematrix { 0 \\ : \\ 0 \\ 1} } \\
\ket { \phi } & \cequiv \inlinematrix { c_ 1 \\ : \\ c_ N} \\
\bra { \phi } = \sum _ n d_ n^ * \bra { n} & \cequiv (d_ 1^ *, ..., d_ N^ *)
\end { align}
\begin { equation}
\braket { \phi } { \psi } = \sum _ n d_ n^ * c_ n
\end { equation}
\subsection * { Operator $ A $ }
\begin { align}
A \ket { \phi } & = \sum _ n c_ n A \ket { n} \\
\braket { \phi } { A \psi } & = \sum _ { n, m} d_ m A_ { m,n} c_ n\\
& = (d_ 1^ *, ..., d_ N^ *) \inlinematrix { A_ { 1,1} & \cdots & A_ { 1,N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_ { N,1} & \cdots & A_ { N,N} } \inlinematrix { c_ 1 \\ : \\ c_ N}
\end { align}
Natürlich ist auch
\begin { equation}
AB \neq BA
\end { equation}
.
\section { Projektionsoperatoren}
Seien $ \hilbert _ 1 $ und $ \hilbert _ 2 $ orthogonale Unterräume von $ \hilbert $ .
Jeder ket $ \ket { \phi } $ kann ein geuteig zerlegt werden:
\begin { equation}
\ket { \psi } = \ket { \psi _ 1} + \ket { \psi _ 2}
\end { equation}
\subsection * { Definition}
\begin { equation}
P_ 1\ket { \psi } \equiv \ket { \psi _ 1}
\end { equation}
\begin { itemize}
\item $ P _ 1 $ linear $ \checkmark $
\item $ P _ 1 $ hermitesch
\begin { align}
\braket { \phi } { P_ 1^ \dagger \psi } & = \braket { P_ 1 \phi } { \psi } \\
& = \braket { \psi } { P_ 1 \phi } ^ * = \braket { \psi } { \phi _ 1} ^ *\\
& = \braket { \phi _ 1} { \psi } = \braket { \phi } { \psi _ 1} \\
& = \braket { \phi } { P_ 1 \psi } \checkmark
\end { align}
\end { itemize}
\subsection * { Projektion auf einen Basisvektor $ \ket { n } $ }
\begin { equation}
P_ n = \ket { n} \bra { n}
\end { equation}
denn
\begin { align}
P_ n \ket { \psi } & = \ket { n} \braket { n} { \psi }
& = c_ n \ket { n}
\end { align}
\subsection * { Zerlegung der $ \one $ }
\begin { equation}
\one = \sum _ n \ket { n} \bra { n}
\end { equation}
denn
\begin { align}
\one \ket { \psi } = \ket { \psi } & = \sum _ n \ket { n} \braket { n} { \psi } \\
& = \sum _ n \ket { n} c_ n
\end { align}
Als Matrix:
\begin { align}
P_ n & = \ket { n} \bra { n} \cequiv \inlinematrix { 0\\ :\\ 1\\ :\\ 0} (0, .., 1, .., 0)\\
\one & = \sum _ n P_ n = \inlinematrix { 1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 1}
\end { align}
\section { Unitäre Operatoren}
\subsection * { Definition}
\begin { equation}
\text { $ U $ unitär} \gdw UU^ \dagger = U^ \dagger U = \one \gdw U^ \dagger = U^ { -1}
\end { equation}
\subsection * { Satz}
\begin { equation}
\text { $ U $ unitär} \gdw \norm { U \phi } = \norm { \phi }
\end { equation}
\paragraph { Beweis:}
\begin { align}
\norm { \phi + c \chi } ^ 2 & = \braket { \phi + c \chi } { \phi + c \chi } = \braket { \phi } { \phi } + 2 \re { c \braket { \phi } { \chi } } + cc^ * \braket { \chi } { \chi } \\
\norm { U (\phi + c \chi )} ^ 2 & = \braket { U \phi } { U \phi } + 2 \re { c \braket { U \phi } { U \chi } } + cc^ * \braket { U \chi } { U \chi }
\end { align}
\paragraph { ``$ \Leftarrow $ '':}
\begin { align}
\re { c \braket { \phi } { \chi } } & = \re { c \braket { U \phi } { U \chi } } \\
c = 1 \re { \braket { \phi } { \chi } } & = \re { \braket { U \phi } { U \chi } } \\
c = i \im { \braket { \phi } { \chi } } & = \im { \braket { U \phi } { U \chi } } \\
\rightarrow \braket { \phi } { \chi } & = \braket { U \phi } { U \chi } \\
& = \dirac { \phi } { U^ \dagger U} { \chi }
\end { align}
mit $ U ^ \dagger U = \one $
\paragraph { ``$ \Rightarrow $ '':}
\begin { equation}
\norm { U \phi } ^ 2 = \braket { U \phi } { U \phi } = \dirac { \phi } { U^ \dagger U} { \phi } = \braket { \phi } { \phi } = \norm { \phi } ^ 2
\end { equation}
\paragraph { Bemerkung:}
Unitäre Operatoren vermitteln Basiswechsel:\\
gegeben $ \set { \ket { n } } $ , definiere
\begin { equation}
\set { \ket { n'} } \equiv \set { U \ket { n} }
\end { equation}
denn:
\begin { align}
\braket { m'} { n'} & = \braket { Um} { Un} = \dirac { m} { U^ \dagger U} { n} = \braket { m} { n} \\
& = \delta _ { m,n}
\end { align}
\begin { enumerate}
\item $ \ket { \psi } = \sum _ n c _ n \ket { n } = \sum _ { n' } c _ { n' } \ket { n' } $ \\
mit $ c _ { n' } = \braket { n' } { \psi } = \braket { Un } { \psi } $
\item Matrixelemente $ A' _ { m,n } \equiv \dirac { m' } { A } { n' } = \sum _ { k,l } U _ { m,k } ^ \dagger A _ { k,l } U _ { l,m } $
\end { enumerate}
2008-07-10 09:49:00 +00:00
\section { Spektralzerlegung von hermitschen Operatoren}
2008-06-23 10:39:00 +00:00
\subsection * { Satz}
\begin { align}
\text { A hermitesch} \Rightarrow & \text { (1) Eigenwerte $ a _ n $ sind reell} \\
& \text { (2) Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthognal}
\end { align}
\paragraph { Beweis}
\begin { equation}
A \ket { a_ n} = a_ n \ket { a_ n}
\end { equation}
\subparagraph { zu (1)}
\begin { align}
A \ket { a_ n} & = a_ n \ket { a_ n} & \left | \bra { a_ n} \right .\\
\braket { a_ n A} { a_ n} & = a_ n \braket { a_ n} { a_ n}
\end { align}
\begin { align}
\braket { a_ n A} { a_ n} & = \braket { a_ n (a_ n)} { a_ n} = a_ n^ * \braket { a_ n} { a_ n}
\end { align}
\begin { math}
\Rightarrow a_ n = a_ n^ * \text { \QED }
\end { math}
\subparagraph { zu (2)}
\begin { align}
A \ket { a_ m} & = a_ m \ket { a_ n} \\
A \ket { a_ m} & = a_ m \ket { a_ m}
\end { align}
\begin { align}
\dirac { a_ n} { A} { a_ m} & = a_ m \braket { a_ n} { a_ m} \\
& = a_ n \braket { a_ n} { a_ m}
\end { align}
\begin { math}
a_ m \neq a_ n \Rightarrow \braket { a_ n} { a_ m} = 0 \text { \QED }
\end { math}
\subsection * { Zwei Fälle}
\begin { enumerate}
\item alle $ a _ n $ unterschiedlich
$ \rightarrow \set { \ket { a _ n } } $ bildet Basis
\item nicht alle $ a _ n $ unterschiedlich
Dann gibt es immer eine untäre Transformation $ U $ mit
\begin { equation}
U^ { -1} AU = \inlinematrix { a_ 1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_ N}
\end { equation}
$ \rightarrow $ orthogonle Basis konstruiert.
\end { enumerate}
Sei $ g ( n ) $ die Entartung von Eigenwert $ a _ n $ . Im Unterraum gibt es also $ g ( n ) $ Eigenvektoren:
$ \ket { n,r } $ mit $ r = 1 , ..., g ( n ) $
\begin { equation}
A \ket { n,r} = a_ n \ket { n,r}
\end { equation}
\paragraph { Projektion auf diesen Unterraum}
\begin { equation}
P_ n = \sum _ { r=1} ^ { g(n)} \ket { n,r} \bra { n,r}
\end { equation}
\begin { equation}
\sum _ n P_ n = \sum _ n \sum _ { r=1} ^ { g(n)} \ket { n,r} \bra { n,r} = \one
\end { equation}
\begin { align}
A \ket { \psi } = A \one \ket { \psi } & = A \sum _ n \sum _ { r=1} ^ { g(n)} \ket { n,r} \braket { n,r} { \psi } \\
& = \sum _ n a_ n \sum _ { r=1} ^ { g(n)} \ket { n,r} \braket { n,r} { \psi }
\end { align}
\begin { align}
A & = \sum _ n a_ n \sum _ { r=1} ^ { g(n)} \ket { n,r} \bra { n,r} \\
& = \sum _ n a_ n \ket { n} \bra { n} = \sum _ n a_ n \ket { a_ n} \bra { a_ n} & \text { (nicht entartet)}
\end { align}
\section { Vollständiger Satz kommutierender Operatoren}
\subsection * { Definition}
\begin { equation}
\text { $ A,B $ kommutieren} \gdw AB -BA = [A,B] = 0
\end { equation}
\subsection * { Satz}
\begin { equation}
\text { $ A $ , $ B $ hermitesch und $ [ A,B ] = 0 $ } \Rightarrow \text { es existiert eine gemeinsame Eigenbasis}
\end { equation}
\paragraph { Beweis}
\begin { align}
A \ket { n,r} & = a_ n \ket { n,r} & B_ \rightarrow \\
BA \ket { n,r} & = a_ n B \ket { n,r} \\
A (B \ket { n,r} ) & = a_ n (B \ket { n,r} )
\end { align}
$ \rightarrow $ $ B \ket { n,r } $ liegt im Untrraum zu $ a _ n $
\begin { description}
\item [Fall (1)] $ a _ n $ nicht entartet ($ \ket { n,r } \equiv \ket { n } $ )
\begin { equation}
B \ket { n} = b_ n \ket { n}
\end { equation}
\item [Fall (2)] $ a _ n $ entartet
\begin { equation}
\bra { m,s} \cdot B \cdot \ket { n,r} = B_ { s,r} ^ { (n)}
\end { equation}
\begin { equation}
B \cequiv \inlinematrix { \boxed { B^ { (1)} } & & 0 \\ & \boxed { B^ { (2)} } & & \\ & & \boxed { B} & \\ 0 & & & \boxed { B^ { (4)} } } \rightarrow \text { kann diagonalisiert werden in jedem Kästchen}
\end { equation}
Falls $ B ^ { ( n ) } $ entartet, gibt es einen dritten Opertor $ C $ mit $ [ A,C ] = [ B,C ] = 0 $ .
\end { description}
\subsection * { Definition}
Das Ensemble $ set { A ^ 1 , ..., A ^ M } $ wechselseitig kommutierender Operatoren, deren Eigenwerte $ ( a _ { n _ 1 } ^ 1 , ..., a _ { n _ N } ^ M ) $ mit zugehörigen Eigenvektoren $ \set { \ket { a _ { n _ 1 } ^ 1 , ..., a _ { n _ N } ^ M } } $ mit
\begin { equation}
A^ k \ket { a_ { n_ 1} ^ 1, ..., a_ { n_ N} ^ M} = a_ { n_ k} ^ k \ket { a_ { n_ 1} ^ 1, ..., a_ { n_ N} ^ M}
\end { equation}
eine eindeutige Basis definieren einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren (VSKO, CSCO).
\section { Operatorfunktionen}
Sei $ A $ Operator, definiere $ f ( A ) $
\begin { enumerate}
\item über die Potenzreihe
\begin { equation}
f(A) = \sum _ { n=0} ^ { \inf } \frac { 1} { n!} f^ { (n)} (n) A^ n
\end { equation}
$ \lboxed { \text { Bsp: } e ^ A = \sum _ { n = 0 } ^ { \inf } \frac { 1 } { n ! } A ^ n } $
\item für hermitesche
\begin { align}
f(A) & = \sum _ { n=1} ^ N f(a_ n) \ket { a_ n} \bra { a_ n} & \text { (nicht entartet)} \\
& = \sum _ n \sum _ { r=1} ^ { g(n)} f(a_ n) \ket { n,r} \bra { n,r}
\end { align}
beachte: $ e ^ A \cdot e ^ B \neq e ^ { A + B } $
\end { enumerate}