[vorlesung] kapitel III.0 WIP

kapIII-0.tex

@@ -0,0 +1,132 @@
+\chapter{Zusammengesetzte Systeme}
+\paragraph*{bisher:}
+\begin{itemize}
+	\item[I]  ein Spin-1/2 (bzw. ein N-Niveau System)
+	\item[II] ein Teilchen entlang einer Dimension
+\end{itemize}
+
+\paragraph*{Ziel}
+zwei und mehr Teilchen in $d=3$; Ortsfreiheitsgrad und Ort kombinieren
+
+\section{Beispiel 2 Teilchen in einer Dimension}
+%\begin{figure}[H] \centering
+%\includegraphics{pdf/III/00-01-00.pdf}
+%\end{figure}
+Mit dem Potential
+\begin{equation}
+	V(x_1, x_2) = V_1(x_1) + V_2(x_2) + V_\text{int}(x_1, x_2)
+\end{equation}
+auf dem Niveau der Wellenfunktion $\psi(x_1, x_2)$ ist
+\begin{equation}
+	\rho(x_1, x_2) \equiv \abs{\psi(x_1, x_2)}^2
+\end{equation}
+die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_1$ und das zweite Teilchen bei $x_2$ zu finden und
+\begin{align}
+	\rho_1(x_1) &\equiv \intgr{-\infty}{+\infty}{\rho(x_1, x_2)}{x_2}\\
+	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x_1, x_2)}^2}{x_2}
+\end{align}
+die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_2$ zu finden unabhängig davon wo das 2. Teilchen ist.
+\begin{itemize}
+	\item Normierung
+		\begin{equation}
+			1 = \intgru{\rho_1(x_1)}{x_1} = \intgru{\intgru{\rho(x_1, x_2)}{x_2}}{x_1}
+		\end{equation}
+	\item Zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung
+		\begin{equation}
+			i\hbar \diffPs{t} \psi(x_1, x_2, t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2 m_1} \diffPs{x_1}^2 - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \diffPs{x_2}^2 + V(x_1, x_2) \right) \psi(x_1, x_2, t)
+		\end{equation}
+\end{itemize}
+
+\section{Hilbertraum als Tensorprodukt}
+\subsection{endlich dimensionaler Fall}
+\begin{itemize}
+	\item System 1: $\hilbert^{(1)}$ mit Basis $\set{\ket{n} \left| n = 1, ..., N \right.}$
+	\item System 2: $\hilbert^{(2)}$ mit Basis $\set{\ket{m} \left| m = 1, ..., M \right.}$
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Beispiel: Benzolring}
+\begin{itemize}
+	\item System 1:
+		\begin{equation}
+			\ket{\psi_1} = \sum_{n=1}^6 c_n \ket{n}
+		\end{equation}
+	\item System 2: (Spin des Elektrons; hier in Z-Richtung)
+		\begin{equation}
+			\ket{\psi_2} = \sum_{m=1}^M d_m \ket{m} = d_+ \ket{z+} + d_-\ket{z-}
+		\end{equation}
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Gesamtraum}
+Der Gesamtraum $\hilbert$ der Dimension $n \cdot m$ sei nun
+\begin{equation}
+	\hilbert = \left( \hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)} \right)
+\end{equation}
+mit der Basis
+\begin{equation}
+	B_\hilbert = \set{\ket{n} \otimes \ket{m} \left| n = 1, ..., N; m = 1, ..., M \right.}
+\end{equation}
+und im obigen Beispiel: $\set{\ket{1} \otimes \ket{z+}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z+}, \ket{1} \otimes \ket{z-}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z-}}$\\[15pt]
+Ein beliebiger Zustand in $\hilbert$ ist dann
+\begin{equation}
+	\ket{\psi} = \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M d_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m} = \sum_{j=1}^{N \cdot M} a_j \ket{j}
+\end{equation}
+\underline{Beachte:} nicht jeder $\ket{\psi} \in \hilbert$ lässt sich schreiben als
+\begin{equation}
+	\ket{\psi} = \underbrace{\ket{\psi_1}}_{\in \hilbert^{(1)}} \otimes \underbrace{\ket{\psi_2}}_{\in \hilbert^{(2)}}
+\end{equation}
+denn
+\begin{align}
+	\ket{\psi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z-} \right)\\
+	&\neq \ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2} ~ \text{``Verschränkung'' (``entanglement'')}
+\end{align}
+im Gegensatz zu
+\begin{align}
+	\ket{\phi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z+} \right)\\
+	&= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} + \ket{2} \right) \otimes \ket{z+} \right) ~ \text{``Produktzustand''}
+\end{align}
+Weiterhin sei das Skalarprodukt wiefolgt definiert:
+\begin{align}
+	\left( \bra{n'} \otimes \bra{m'} \right) \left( \ket{n} \otimes \ket{m} \right)&= \braket{n'}{n} \braket{m'}{m}\\
+	&= \krondelta{n,n'} \krondelta{m,m'}
+\end{align}
+d.h.
+\begin{align}
+	\ket{\psi} &= \sum_{n,m} a_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m}\\
+	\ket{\phi} &= \sum_{n,m} b_{n',m'} \ket{n'} \otimes \ket{m'}\\[15pt]
+	\braket{\phi}{\psi} &= \sum_{n,m} b_{n,m}^* a_{n,m}
+\end{align}
+
+\subsection{kontinuierlicher Fall}
+\begin{itemize}
+	\item Teilchen (System) 1: $\ket{\psi_1} \in \hilbert^1$ mit Basis $\set{\ket{x_1}}$, $\set{\ket{p_1}}$ oder $\set{\ket{n_1}}$
+	\item Teilchen (System) 2: $\ket{\psi_2} \in \hilbert^2$ mit Basis $\set{\ket{x_2}}$, $\set{\ket{p_2}}$ oder $\set{\ket{n_2}}$
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Gesamtraum}
+\begin{equation}
+	\hilbert = \hilbert^1 \otimes \hilbert^2
+\end{equation}
+mit Basis
+\begin{equation}
+	B_\hilbert^{(1)} = \set{\ket{x_1} \otimes \ket{x_2} \equiv \ket{x_1, x_2}}
+\end{equation}
+oder
+\begin{equation}
+	B_\hilbert^{(2)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{p} \equiv \ket{x, p}}
+\end{equation}
+oder
+\begin{equation}
+	B_\hilbert^{(3)} = \set{\ket{p_1} \otimes \ket{p_2} \equiv \ket{p_1, p_2}}
+\end{equation}
+oder
+\begin{equation}
+	B_\hilbert^{(4)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{n} \equiv \ket{x, n}}
+\end{equation}
+mit $\ket{\psi} \in \hilbert$ und $\psi(x_1, x_2) = \braket{x_1, x_2}{\psi}$
+\begin{align}
+	\ket{\psi}^{(1)} &= \intgru{\intgru{\psi(x_1, x_2) \ket{x_1, x_2}}{x_2}}{x_1}\\
+	\ket{\psi}^{(2)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x, p)\ket{x, p}}{p}}{x}\\
+	\ket{\psi}^{(4)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\sum_{n=0}^\infty \psi_n(x) \ket{x, n}}{x}
+\end{align}
+
+\section{Operatoren}

theo2.tex

@@ -6,6 +6,7 @@
 \usepackage{amsfonts}
 \usepackage{amssymb}
 \usepackage{multirow}
+\usepackage{float}
 \usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref} % muss immer als letztes eingebunden werden
 
 \include{math}
@@ -37,6 +38,10 @@
 \include{kapII-4}
 \include{kapII-5}
 
+\part{Quantale Systeme in d=2 und d=3}
+\label{III}
+\include{kapIII-0}
+
 % \part{Übungsmitschrieb}
 % \label{UE}
 % \include{ueb1}