[vorlesung] WIP für Kapitel II.3

kapII-3.tex

@@ -24,4 +24,79 @@ der Wahscheinlichkeitsstromdichte (``Kontinuitätsgleichung''; gilt für jede Er
 % 	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{p}{}
 \end{align}
 
-\section{Streuung an der Potentialstufe}
+\section{Streuung an der Potentialstufe}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf}
+%\end{figure}
+\paragraph*{klassisch}
+\subparagraph*{Fall 1} $E > V_0$
+\begin{align}
+	x < 0:~ & p(x < 0) = \sqrt{2m E}\\
+	x > 0:~ & p(x > 0) = \sqrt{2m (E - V_0)}
+\end{align}
+Teilchen passiert die Potentialstufe, verliert Impuls
+\subparagraph*{Fall 2} $E < V_0$
+\begin{equation}
+	p(x < 0) = \sqrt{2m E}
+\end{equation}
+Teilchen wird reflektiert
+
+\paragraph*{quantal}
+\subparagraph*{Fall 1} $E > 0$\\
+stationäre SG:
+\begin{equation}
+	\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2  V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x)
+\end{equation}
+links: $x < 0$
+\begin{equation}
+	\diffPs{x}^2 \phi(x) = -k^2 \phi(x)
+\end{equation}
+mit
+\begin{equation}
+	k = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}
+\end{equation}
+Lösung:
+\begin{equation}
+	\phi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x}
+\end{equation}
+rechts: $x > 0$
+\begin{equation}
+	\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 + V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x)
+\end{equation}
+Lösung:
+\begin{equation}
+	\phi(x) = C e^{i q x} + D e^{-i q x}
+\end{equation}
+mit
+\begin{equation}
+	q = \sqrt{\frac{2m (E - V_0)}{\hbar^2}}
+\end{equation}
+Randbedinung bei $x = 0$
+\begin{align}
+	\phi(-\varepsilon) &= \phi(+\varepsilon)\\
+	\diffPs{x} \phi(-\varepsilon) &= \diffPs{x} \phi(+\varepsilon)\\
+	\rightarrow A + B &= C + D\\
+	i k (A - B) &= i q (C - D)\\[15pt]
+	\inlinematrix{1 & 1 \\ i k & -i k} \inlinematrix{A \\ B} &= \inlinematrix{1 & 1 \\ i q & -i q} \inlinematrix{C \\ D}\\
+	\inlinematrix{A \\ B} &= \frac{1}{2k} \inlinematrix{k+q & k-q \\ k-q & k+q} \inlinematrix{C \\ D}
+\end{align}
+$\rightarrow$ Randbedingung einer von links laufenden Welle\\
+$\Rightarrow$ keine Komponente einer von rechts einlaufenden Welle für $x > 0$ erlaubt!\\
+$\Rightarrow$ $D \equiv 0$\\
+o.B.d.A.: $A = 1$
+\begin{align}
+	A &= \frac{k + q}{2k} C ~ \rightarrow C = \frac{2k}{k+q}\\
+	B &= \frac{k - q}{2k} C ~ \rightarrow B = \frac{k - q}{k + q}
+\end{align}
+Strom links: $x < 0$
+\begin{align}
+	j(x < 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi ~ \phi^*}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} \im{i k \left(A e^{i k x} - B e^{-i k x} \right) \left(A^* e^{- i k x} + B^* e^{i k x}\right)}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} \im{ik \left( A A^* - B B^*\right) + ik \left( A B^* e^{2 i k x} - A^* B e^{-2 i k x} \right)}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} k \left( 1 - \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \right) \equiv j_I - j_R
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+	j_I &= \frac{\hbar k}{m} &\text{einfallend}\\
+	j_R &= \frac{\hbar}{m} k \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \equiv R j_I &\text{reflectiert}
+\end{align}