From 1eb76877ea5e9272ddd6e3b108c26f8157b24eda Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Daniel Bahrdt <d.bahrdt@gmx.de>
Date: Thu, 24 Jul 2008 20:55:32 +0200
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=BCbungsblatt=2010?=
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+\chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 10}
+\section{Aufgabe 24: Sphärische symmetrische Kastenpotential}
+\subsection*{a)}
+$l = 0$ einsetzen und ausrechnen regibt:
+
+\begin{math}
+	u_2(z) = \begin{cases}
+	         	z_{j_l}(z) = z^3 \sbk{-\frac{1}{z} \diffT{z}} \sbk{-\frac{1}{z} \diffT{z}} \frac{\sinb{z}}{z} \\
+	         	\ldots
+	         \end{cases}
+\end{math}
+
+Dies führt dann auf:
+\begin{math}
+	u_2(z) = \begin{cases}
+	         	-\sinb{z} - \frac{3 \cosb{z}}{z} + \frac{3 \sinb{z}}{z^2} \\
+	         	\cosb{z} - \frac{3 \sinb{z}}{z} - \frac{3 \cosb{z}}{z^2}
+	         \end{cases}
+\end{math}
+
+Asymptotisches Verhalten:
+für $z \rightarrow 0$
+
+\begin{align}
+				& \lim_{z \rightarrow 0} z j_2(z)
+	(Taylor)	& \lim_{z \rightarrow 0} 3 \frac{1}{z^2} \sbk{z - \frac{1}{3!} z^3 + \bigOb{z^5} - z + \frac{1}{2} z^3 - \bigOb{z^5}}
+	\gdw		& 0
+\end{align}
+
+für $\lim_{z \rightarrow 0} z y_2(z)$ geht es analog.
+
+für $z \rightarrow \infty$
+\begin{align}
+	j_l(z)	&\approx z^l \frac{1}{z^l} \sbk{- \diffT{z}}^l \sinb{z} \\
+			&= \begin{cases}
+			   	\frac{1}{z} \sbk{-1}^{\frac{l}{2}} \\
+			   	\frac{1}{z} \sbk{-1}^{\frac{l+1}{2}}
+			   \end{cases}
+			&= \frac{\sinb{z - l \frac{\pi}{2}}}{z}
+\end{align}
+
+\subsection*{b)}
+$u_l(z) = z j_l(z)$
+$j_l = \frac{\sinb{z - l \frac{\pi}{2}}}{z}$
+
+Für $z=k r = k a$
+$j_l(k a) = \frac{\sinb{k a - l \frac{1}{2}}}{k a} = \deq 0$
+$k a - l \frac{\pi}{2} = \lambda \pi$ mit $\lambda \in \setN$
+$k a = \pi \sbk{\lambda + \frac{l}{2}}$
+Energie $\sbk{l = 1}$
+$E \lambda = \pi^2 \sbk{\lambda + \frac{1}{2}}^2 \frac{\hbar^2}{2 \mu a}$
+\begin{align}%hier sind bestimmt fehler
+	E_0	&= 2,47 \\
+	E_1	&= 22,20 \frac{\hbar^2}{2 \mu a^2}\\
+	E_2	&= 61,60 \\
+	E_3	&= 120,90 \\
+	E_4	&= 199,85 \\
+	E_5	&= 298,55
+\end{align}
+
+\subsection*{c)}
+$\frac{\hbar^2 a^2}{2 \mu} = E - V_0 > 0 z = q r$
+$ \frac{\hbar^2 \kappa^2}{2 p} = -E > 0 z ? \i \kappa r$
+$u_l = c \sinb{z - l \frac{\pi}{2}}$
+\begin{align}
+r > a u_l(\i k r)	&= A \sinb{\i k r - l \frac{\pi}{2}} + B \cosb{\i k r - l \frac{\pi}{2}}
+					&= \frac{A}{2 \i} \sbk{e^{-k r} e^{-\i l \frac{\pi}{2}} - e^{k r} e^{\i l \frac{\pi}{2}}} +
+						\frac{B}{2} \sbk{e^{-k r} e^{-\i l \frac{\pi}{2}} + e^{k r} e^{\i l \frac{\pi}{2}}}
+					&= \frac{B}{2} \sbk{\frac{2 e^{-k r}}{e^{-\i l \frac{\pi}{2}}}}
+					&= B e^{-k r}
+\end{align}
+
+$l = 0$
+$r \leq a u_l = l \sinb{a r}$
+$r > a u_l = B e^{- k r}$
+$\frac{u_l'(a-)}{u_l(a-)} = \frac{u_l'(a+)}{u_l(a+)}$
+$\frac{q \cosb{q a}}{\sinb{q a}} = -k$
+$\cotb{q a} = -\frac{k}{q}$
+$\cotb{\sqrt{\frac{2 N}{2 \hbar} \sbk{E - V_0}} a} = -\sqrt{\frac{-E}{E - V_0}}$
+
+%da kommt nen bild hin: doll, sagte der oliver. und dann aha. mehr aber auch nicht.
+
+\section{Aufgabe 25: Der zweidimensionale harmonische Oszillator}
+\subsection*{a)}
+\begin{align}
+	H			&= -\frac{\hbar^2}{2 m} \sbk{\diffPs{x}^2 + \diffPs{y}^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 \sbk{x^2 + y^2} \\
+				&= \frac{1}{2} \underbrace{sbk{-\diffPs{x} + x^2}}_{H_1} + \frac{1}{2} \underbrace{\sbk{-\diffPs{y}^2 + y^2}}_{H_2} \\
+	\psi(x,y)	&= \psi_x(x) \cdot \psi_y(y) \\
+				&= c(u_1) \cdot c(u_2) \cdot H_{n_1}(x) \cdot H_{n_2}(y) \cdot e^{-\frac{x^2 + y^3}{2}} \\
+	c(n)		&= \sbk{\frac{1}{2^n n! \sqrt{\pi}}}^{\frac{1}{2}}
+\end{align}
+
+\subsection*{b)}
+\begin{align}
+	\ket{2,0}		&= \frac{1}{\sqrt{2}} \sbk{a_1^\dagger}^2 \ket{0,0} \\
+	\braket{x}{2}	&= \dirac{x}{\sbk{\frac{a_1^\dagger}{\sqrt{2}}}^2}{0} \\
+					&= \dirac{x}{\frac{1}{\sqrt{8}} \sbk{\hat{x} - \i \hat{p}}^2}{0} \\
+					&= \frac{1}{\sqrt{8}} \sbk{x - \diffPs{x}}^2 \underbrace{\psi_0(x)}_{\frac{1}{\pi} \frac{1}{4} e^{-\frac{x^2}{2}}} %fehler? 4 oder n oder k oder was?
+					&= \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt[4]{\pi}} \sbk{2 x^2 - 1} e^{-\frac{x^2}{2}}
+	\braket{x,y}{2,0}	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sbk{2 x^2 - 1} e^{-\sbk{\frac{x^2}{2} + y^2}} \\ %fehler!
+	H_2(x)			&= 4 x^2 - 2 \\
+	\braket{x,y}{n_1,n_2}	&= \braket{x}{n_1} \cdot \braket{y}{n_2} \\ %mkehr fehler
+	\braket{x}{n_1}	&= \dirac{x}{\frac{\sbk{a^\dagger}^{n_1}}{\sqrt{n_1!}}}{0} \\
+					&= \frac{1}{\sqrt{2^{n_1} n_1!}} \dirac{x}{\sbk{\hat{x} - \i \hat {p}}^{n_1}}{0} \\
+					&= \frac{1}{\sqrt{2^{n_1} n_1!}} \sbk{x - \diffPs{x}}^{n_1} \psi_0(x) \\
+					&= \frac{1}{\sqrt{2^m n_1! \sqrt{n_1}}} \cdot \sbk{-1}^m e^{\frac{x^2}{2}} \sbk{\diffPs{x}}^{n_1} e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{x^2}{2}}
+\end{align}
+
+
+\subsection*{c)}
+\begin{align}
+	\braket{x,y}{2,0}_{n_+,n_-}	&= \frac{1}{\sqrt{2}} \sbk{a_r^\dagger}^2 \ket{0,0} \\
+								&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sbk{x^2 - y^2 + 2 \i x y} e^{- \frac{x^2 + y^2}{2}}
+\end{align}
+
+\subsection*{d)}
+\begin{math}
+	\braket{x,y}{2,0}_{N,m} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sbk{x^2 - y^2} \cdot e^{-\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2}}
+\end{math}
+