From 2556ab8fcbb93f4d7517e4e7846d0241ab8bacde Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Mon, 30 Jun 2008 15:03:47 +0200 Subject: [PATCH 1/5] [vorlesung] Kapitel II.0 fertig (bis auf Bilder) --- kapII-0.tex | 154 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 154 insertions(+) diff --git a/kapII-0.tex b/kapII-0.tex index bea8a20..15a6def 100644 --- a/kapII-0.tex +++ b/kapII-0.tex @@ -41,3 +41,157 @@ Die möglichen $E$-Werte sind die Eigenwerte des $H$-Operators. Diese Form der P \end{equation} \item H-Operator ist durch das Analogon zur klassischen Hamiltonfunktion gegeben \end{enumerate} + +\section{Beispiel 1: $\infty$-Potentialtopf} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/00-02-00.pdf} +%\end{figure} +\begin{equation} + V(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \infty &\text{für } \abs{x} > a\\ 0 &\text{für } \abs{x} < a \end{array} \right. +\end{equation} + +\paragraph*{klassisch} +$x(t_0), p(t_0) = \sqrt{2m E}$ +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/00-02-01.pdf} +%\end{figure} + +\paragraph*{quantal} +\subparagraph*{Schritt 1} Stationäre Zustände +\begin{equation} + \left( -\frac{\hbar^2}{2m}~\partial_x^2 + V(x) \right) \phi(x) \stackrel{!}{=} E \phi(x) +\end{equation} +mit $V(x) = 0$ für $\abs{x} < a$.\\ +Randbedingung: $\phi(\pm a) = 0$ +\begin{equation} + \diffPs{x}^2 \phi(x) = -\frac{2 m E}{\hbar} \phi(x) +\end{equation} +Lösung: +\begin{enumerate} + \item symmetrisch + \begin{equation} + \phi(x) = A \cos(kx); ~ k \equiv \sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^2}} + \end{equation}\\ + Rand: + \begin{equation} + \phi(\pm a) = A \cos k a) \stackrel{!}{=} 0 + \end{equation}\\ + daraus folgt (mit $n = 0, 2, 4, 6, ...$) + \begin{equation} + k_n a = \frac{\pi}{2} ( 1 + n ) + \end{equation} + und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann + \begin{equation} + E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2 + \end{equation} + \item antisymmetrisch + \begin{equation} + \phi(x) = A \sin(k x) + \end{equation} + Rand: + \begin{equation} + \phi(\pm a) = \pm A \sin(k a) \stackrel{!}{=} 0 + \end{equation} + daraus folgt mit $n = 1, 3, 5, 7, 9, ...$ + \begin{equation} + k_n a = \frac{\pi}{2} (1 + n)\\ + \end{equation} + und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann + \begin{equation} + E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2 + \end{equation} +\end{enumerate} +\subparagraph*{Fazit} +\begin{enumerate} + \item Energieeigenwerte sind quantisiert. + %\begin{figure}[h] + %\includegraphics{pdf/II/00-02-02.pdf} + %\end{figure} + \item Eigenfunktionen $\phi_n(x)$ bilden ein vollständig normiertes Basissystem. + \begin{equation} + \phi_n = \frac{1}{\sqrt{a}} \left\lbrace \begin{array}{ll} \cos(k_n x) & n\text{ grade}\\ \sin(k_n x) & \text{sont.} \end{array} \right. + \end{equation} + \begin{align} + \intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_m(x) \phi_n(x)}{x} &= \delta_{m,n}\\ + \sum_{n=0}^{\infty} \phi_n(x) \phi_n(x') &= \delta(x - x') + \end{align} + d.h. jede Funktion $\psi(x)$ kann entwickelt werden in dieser Basis $\psi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \phi_n(x)$. + %\begin{figure}[h] + %\includegraphics{pdf/II/00-02-03.pdf} + %\caption{Skizze der Eigenfunktionen} + %\end{figure} +\end{enumerate} +\paragraph{Schritt 2} Dynamik\\ +Sei nun $\psi(x, t)$ beliebig gegeben durch +\begin{equation} + \psi(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(t) \phi_n(x) +\end{equation} +eingesetzt in die Schrödinger Gleichung +\begin{align} + i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \left( \diffPs{t} c_n(t) \right) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \right) c_{n'}(t) \phi_{n'}(x)\\ + i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \diffPs{t} c_n(t) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} c_{n'}(t) E_{n'} \phi_{n'}(x) &\left| \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x)}{x} \right.\\ + i\hbar \diffPs{t} c_n(t) &= E_n c_m(t) +\end{align} +dann ist +\begin{equation} + c_m(t) = e^{-\frac{i}{\hbar} E_m t}e_m(0) +\end{equation} +mit +\begin{equation} + c_m(0) = \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x) \psi(x,t)}{x} +\end{equation} +und damit +\begin{align} + \psi(x,t) &= \intgru{\sum_n \phi_n(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \phi_n(x') \psi(x,t)}}{x}\\ + &\equiv \intgru{U(x,t;x',t_0) \psi(x',t_0)}{x'} +\end{align} +($U(x,t;x',t_0)$ ... Zeitentwicklungsoperator in Ortsdarstellung) +\section{Beispiel 2: $\delta$-Potentialtopf} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/00-03-00.pdf} +%\end{figure} +Mit +\begin{equation} + V(x) = -\alpha \delta(x) +\end{equation} +ergeben sich die Stationären Zustände: +\begin{align} + \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} -\alpha \delta(x) \right] \phi(x) &= E \phi(x) &\left| \intgr{-\varepsilon}{+\varepsilon}{}{x} \right.\\ + -\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \phi'(0+\varepsilon) - \phi'(0-\varepsilon) \right] - \alpha \phi(0) &= \underbrace{2 \varepsilon E \phi(0)}_{\rightarrow 0} +\end{align} +$\phi'(x)$ springt bei der Null, wobei $\phi$ selbst stetig ist. + +\paragraph*{Fall 1} $E < 0$\\ +$x > 0$: +\begin{align} + \diffPs{x}^2 \phi(x) &= K^2 \phi(x) &K^2 \equiv \frac{\abs{E} 2m}{\hbar^2}\\[15pt] + \phi(x) &= A e^{\pm K x} +\end{align} +$+K$-Lösung nicht normierbar, also: +\begin{equation} + \phi(x) = A_+ e^{-K x} +\end{equation}\\[15pt] +$x > 0$: +\begin{equation} + \phi(x) = A_- e^{-K \abs{x}} +\end{equation} +Aus der Stetigkeit von $\phi$ folgt: +\begin{equation} + A_+ = A_- = A +\end{equation} +\subparagraph*{Sprungbedingung} +\begin{align} + \frac{- \hbar^2}{2m} \left( \right) - \alpha A &= 0\\ + K &= \frac{m \alpha}{\hbar^2}\\ + \rightarrow E &= -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{2m}{\hbar} \right)^2 \alpha^2 +\end{align} +$\rightarrow$ Ein gebundener Zustand. +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/00-03-01.pdf} +%\end{figure} +\subparagraph*{Normierung} +\begin{equation} + \phi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{K}} e^{-K \abs{x}} +\end{equation} + +\paragraph*{Fall 2} $E > 0$: Streuzustände (nicht normierbar) From cc6c5ed819f93a1e66238e096b147eb62c5f7352 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Mon, 30 Jun 2008 15:05:44 +0200 Subject: [PATCH 2/5] =?UTF-8?q?[vorlesung]=20II.2=20Formatierung=20f=C3=BC?= =?UTF-8?q?r=20Randbemerkung=20nun=20zweizeilig?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- kapII-2.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/kapII-2.tex b/kapII-2.tex index 657ffc0..df9340a 100644 --- a/kapII-2.tex +++ b/kapII-2.tex @@ -121,7 +121,7 @@ Heisenberg: für Gauss'sches Wellenpacket ist Gleichheit erreicht. \paragraph*{Dynamik} \begin{align} - \psi(x,t) &= \intgr{-\infty}{+infty}{U(x,t; x',t_0)}{x'} &\left| t_0 = 0; ~ U(x,t; x',t_0) = \dirac{x}{U(t,t_0}{x'} \right.\\ + \psi(x,t) &= \intgr{-\infty}{+infty}{U(x,t; x',t_0)}{x'} &\left| \begin{array}{l} t_0 = 0;\\ U(x,t; x',t_0) = \dirac{x}{U(t,t_0}{x'} \end{array} \right.\\ &= \left( \sqrt{\pi} \left( \Delta + \frac{i \hbar t}{m \Delta} \right) \right)^{-\frac{1}{2}} e^\frac{-\left(x - \frac{p_0 t}{m} \right)^2}{2 \Delta^2 \left( 1 + i \hbar \frac{t}{m \Delta^2} \right)} e^{\frac{i p_0}{\hbar} \left( x - \frac{p_0 t}{m} \right)} \end{align} \begin{equation} From 15c02510da34c797f74b6f0904052e574ab43d88 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Mon, 30 Jun 2008 15:06:14 +0200 Subject: [PATCH 3/5] =?UTF-8?q?[vorlesung]=20WIP=20f=C3=BCr=20Kapitel=20II?= =?UTF-8?q?.3?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- kapII-3.tex | 77 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 76 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/kapII-3.tex b/kapII-3.tex index 2d091f0..3a69bbf 100644 --- a/kapII-3.tex +++ b/kapII-3.tex @@ -24,4 +24,79 @@ der Wahscheinlichkeitsstromdichte (``Kontinuitätsgleichung''; gilt für jede Er % &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{p}{} \end{align} -\section{Streuung an der Potentialstufe} \ No newline at end of file +\section{Streuung an der Potentialstufe} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf} +%\end{figure} +\paragraph*{klassisch} +\subparagraph*{Fall 1} $E > V_0$ +\begin{align} + x < 0:~ & p(x < 0) = \sqrt{2m E}\\ + x > 0:~ & p(x > 0) = \sqrt{2m (E - V_0)} +\end{align} +Teilchen passiert die Potentialstufe, verliert Impuls +\subparagraph*{Fall 2} $E < V_0$ +\begin{equation} + p(x < 0) = \sqrt{2m E} +\end{equation} +Teilchen wird reflektiert + +\paragraph*{quantal} +\subparagraph*{Fall 1} $E > 0$\\ +stationäre SG: +\begin{equation} + \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x) +\end{equation} +links: $x < 0$ +\begin{equation} + \diffPs{x}^2 \phi(x) = -k^2 \phi(x) +\end{equation} +mit +\begin{equation} + k = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}} +\end{equation} +Lösung: +\begin{equation} + \phi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x} +\end{equation} +rechts: $x > 0$ +\begin{equation} + \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 + V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x) +\end{equation} +Lösung: +\begin{equation} + \phi(x) = C e^{i q x} + D e^{-i q x} +\end{equation} +mit +\begin{equation} + q = \sqrt{\frac{2m (E - V_0)}{\hbar^2}} +\end{equation} +Randbedinung bei $x = 0$ +\begin{align} + \phi(-\varepsilon) &= \phi(+\varepsilon)\\ + \diffPs{x} \phi(-\varepsilon) &= \diffPs{x} \phi(+\varepsilon)\\ + \rightarrow A + B &= C + D\\ + i k (A - B) &= i q (C - D)\\[15pt] + \inlinematrix{1 & 1 \\ i k & -i k} \inlinematrix{A \\ B} &= \inlinematrix{1 & 1 \\ i q & -i q} \inlinematrix{C \\ D}\\ + \inlinematrix{A \\ B} &= \frac{1}{2k} \inlinematrix{k+q & k-q \\ k-q & k+q} \inlinematrix{C \\ D} +\end{align} +$\rightarrow$ Randbedingung einer von links laufenden Welle\\ +$\Rightarrow$ keine Komponente einer von rechts einlaufenden Welle für $x > 0$ erlaubt!\\ +$\Rightarrow$ $D \equiv 0$\\ +o.B.d.A.: $A = 1$ +\begin{align} + A &= \frac{k + q}{2k} C ~ \rightarrow C = \frac{2k}{k+q}\\ + B &= \frac{k - q}{2k} C ~ \rightarrow B = \frac{k - q}{k + q} +\end{align} +Strom links: $x < 0$ +\begin{align} + j(x < 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi ~ \phi^*}\\ + &= \frac{\hbar}{m} \im{i k \left(A e^{i k x} - B e^{-i k x} \right) \left(A^* e^{- i k x} + B^* e^{i k x}\right)}\\ + &= \frac{\hbar}{m} \im{ik \left( A A^* - B B^*\right) + ik \left( A B^* e^{2 i k x} - A^* B e^{-2 i k x} \right)}\\ + &= \frac{\hbar}{m} k \left( 1 - \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \right) \equiv j_I - j_R +\end{align} +mit +\begin{align} + j_I &= \frac{\hbar k}{m} &\text{einfallend}\\ + j_R &= \frac{\hbar}{m} k \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \equiv R j_I &\text{reflectiert} +\end{align} From c141716ddbcb55b2183877f5d62f49dc9ff622f3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Mon, 30 Jun 2008 15:27:01 +0200 Subject: [PATCH 4/5] \bbracket -> \sbk --- math.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/math.tex b/math.tex index bc28c08..3793ba1 100644 --- a/math.tex +++ b/math.tex @@ -31,7 +31,7 @@ \newcommand{\intgr}[4]{\int_{#1}^{#2} #3 ~\text{d}#4} \newcommand{\intgru}[2]{\int #1 ~\text{d}#2} -\newcommand{\bbracket}[1]{\left #1 \right} +\newcommand{\sbk}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\levicivita}[1]{\varEpsilon_{#1}} \newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{+1}} \ No newline at end of file From 286b3ba8fdfb5b8f5823d183c7d4d630bd569c45 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Mon, 30 Jun 2008 15:27:29 +0200 Subject: [PATCH 5/5] [uebungen] tippfehler gefixt --- ueb6.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/ueb6.tex b/ueb6.tex index 6f015ea..3ed3797 100644 --- a/ueb6.tex +++ b/ueb6.tex @@ -73,7 +73,7 @@ Da $\inlinematrix{l \\ o \\ m} S_x \inlinematrix{n \\ o \\ p} = 0}$ folgt $S_x = \end{align} (1) \begin{align} - \braket{\chi_k}{\phi_0} &= \frac{1}{\sqrt{6}} \sum{n=0}{5}{exp(-\i n \delta_{keine ahnung}\bracket{\phi_n}{\phi_0}} \\ \\ + \braket{\chi_k}{\phi_0} &= \frac{1}{\sqrt{6}} \sum{n=0}{5}{exp(-\i n \delta_{keine ahnung}\braket{\phi_n}{\phi_0}} \\ \\ &= \frac{1}{\sqrt{6}} e^{-\i 0 \delta_{keine ahnung}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{6}} \end{align}