From 2556ab8fcbb93f4d7517e4e7846d0241ab8bacde Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Mon, 30 Jun 2008 15:03:47 +0200 Subject: [PATCH] [vorlesung] Kapitel II.0 fertig (bis auf Bilder) --- kapII-0.tex | 154 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 154 insertions(+) diff --git a/kapII-0.tex b/kapII-0.tex index bea8a20..15a6def 100644 --- a/kapII-0.tex +++ b/kapII-0.tex @@ -41,3 +41,157 @@ Die möglichen $E$-Werte sind die Eigenwerte des $H$-Operators. Diese Form der P \end{equation} \item H-Operator ist durch das Analogon zur klassischen Hamiltonfunktion gegeben \end{enumerate} + +\section{Beispiel 1: $\infty$-Potentialtopf} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/00-02-00.pdf} +%\end{figure} +\begin{equation} + V(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \infty &\text{für } \abs{x} > a\\ 0 &\text{für } \abs{x} < a \end{array} \right. +\end{equation} + +\paragraph*{klassisch} +$x(t_0), p(t_0) = \sqrt{2m E}$ +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/00-02-01.pdf} +%\end{figure} + +\paragraph*{quantal} +\subparagraph*{Schritt 1} Stationäre Zustände +\begin{equation} + \left( -\frac{\hbar^2}{2m}~\partial_x^2 + V(x) \right) \phi(x) \stackrel{!}{=} E \phi(x) +\end{equation} +mit $V(x) = 0$ für $\abs{x} < a$.\\ +Randbedingung: $\phi(\pm a) = 0$ +\begin{equation} + \diffPs{x}^2 \phi(x) = -\frac{2 m E}{\hbar} \phi(x) +\end{equation} +Lösung: +\begin{enumerate} + \item symmetrisch + \begin{equation} + \phi(x) = A \cos(kx); ~ k \equiv \sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^2}} + \end{equation}\\ + Rand: + \begin{equation} + \phi(\pm a) = A \cos k a) \stackrel{!}{=} 0 + \end{equation}\\ + daraus folgt (mit $n = 0, 2, 4, 6, ...$) + \begin{equation} + k_n a = \frac{\pi}{2} ( 1 + n ) + \end{equation} + und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann + \begin{equation} + E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2 + \end{equation} + \item antisymmetrisch + \begin{equation} + \phi(x) = A \sin(k x) + \end{equation} + Rand: + \begin{equation} + \phi(\pm a) = \pm A \sin(k a) \stackrel{!}{=} 0 + \end{equation} + daraus folgt mit $n = 1, 3, 5, 7, 9, ...$ + \begin{equation} + k_n a = \frac{\pi}{2} (1 + n)\\ + \end{equation} + und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann + \begin{equation} + E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2 + \end{equation} +\end{enumerate} +\subparagraph*{Fazit} +\begin{enumerate} + \item Energieeigenwerte sind quantisiert. + %\begin{figure}[h] + %\includegraphics{pdf/II/00-02-02.pdf} + %\end{figure} + \item Eigenfunktionen $\phi_n(x)$ bilden ein vollständig normiertes Basissystem. + \begin{equation} + \phi_n = \frac{1}{\sqrt{a}} \left\lbrace \begin{array}{ll} \cos(k_n x) & n\text{ grade}\\ \sin(k_n x) & \text{sont.} \end{array} \right. + \end{equation} + \begin{align} + \intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_m(x) \phi_n(x)}{x} &= \delta_{m,n}\\ + \sum_{n=0}^{\infty} \phi_n(x) \phi_n(x') &= \delta(x - x') + \end{align} + d.h. jede Funktion $\psi(x)$ kann entwickelt werden in dieser Basis $\psi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \phi_n(x)$. + %\begin{figure}[h] + %\includegraphics{pdf/II/00-02-03.pdf} + %\caption{Skizze der Eigenfunktionen} + %\end{figure} +\end{enumerate} +\paragraph{Schritt 2} Dynamik\\ +Sei nun $\psi(x, t)$ beliebig gegeben durch +\begin{equation} + \psi(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(t) \phi_n(x) +\end{equation} +eingesetzt in die Schrödinger Gleichung +\begin{align} + i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \left( \diffPs{t} c_n(t) \right) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \right) c_{n'}(t) \phi_{n'}(x)\\ + i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \diffPs{t} c_n(t) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} c_{n'}(t) E_{n'} \phi_{n'}(x) &\left| \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x)}{x} \right.\\ + i\hbar \diffPs{t} c_n(t) &= E_n c_m(t) +\end{align} +dann ist +\begin{equation} + c_m(t) = e^{-\frac{i}{\hbar} E_m t}e_m(0) +\end{equation} +mit +\begin{equation} + c_m(0) = \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x) \psi(x,t)}{x} +\end{equation} +und damit +\begin{align} + \psi(x,t) &= \intgru{\sum_n \phi_n(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \phi_n(x') \psi(x,t)}}{x}\\ + &\equiv \intgru{U(x,t;x',t_0) \psi(x',t_0)}{x'} +\end{align} +($U(x,t;x',t_0)$ ... Zeitentwicklungsoperator in Ortsdarstellung) +\section{Beispiel 2: $\delta$-Potentialtopf} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/00-03-00.pdf} +%\end{figure} +Mit +\begin{equation} + V(x) = -\alpha \delta(x) +\end{equation} +ergeben sich die Stationären Zustände: +\begin{align} + \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} -\alpha \delta(x) \right] \phi(x) &= E \phi(x) &\left| \intgr{-\varepsilon}{+\varepsilon}{}{x} \right.\\ + -\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \phi'(0+\varepsilon) - \phi'(0-\varepsilon) \right] - \alpha \phi(0) &= \underbrace{2 \varepsilon E \phi(0)}_{\rightarrow 0} +\end{align} +$\phi'(x)$ springt bei der Null, wobei $\phi$ selbst stetig ist. + +\paragraph*{Fall 1} $E < 0$\\ +$x > 0$: +\begin{align} + \diffPs{x}^2 \phi(x) &= K^2 \phi(x) &K^2 \equiv \frac{\abs{E} 2m}{\hbar^2}\\[15pt] + \phi(x) &= A e^{\pm K x} +\end{align} +$+K$-Lösung nicht normierbar, also: +\begin{equation} + \phi(x) = A_+ e^{-K x} +\end{equation}\\[15pt] +$x > 0$: +\begin{equation} + \phi(x) = A_- e^{-K \abs{x}} +\end{equation} +Aus der Stetigkeit von $\phi$ folgt: +\begin{equation} + A_+ = A_- = A +\end{equation} +\subparagraph*{Sprungbedingung} +\begin{align} + \frac{- \hbar^2}{2m} \left( \right) - \alpha A &= 0\\ + K &= \frac{m \alpha}{\hbar^2}\\ + \rightarrow E &= -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{2m}{\hbar} \right)^2 \alpha^2 +\end{align} +$\rightarrow$ Ein gebundener Zustand. +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/00-03-01.pdf} +%\end{figure} +\subparagraph*{Normierung} +\begin{equation} + \phi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{K}} e^{-K \abs{x}} +\end{equation} + +\paragraph*{Fall 2} $E > 0$: Streuzustände (nicht normierbar)