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formelsammlung: fourierreihen

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Daniel Bahrdt 2008-07-08 12:29:52 +02:00
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47
formelsammlung.tex
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@ -1,6 +1,10 @@
\chapter{Notationen}
\section{Dirac-Notation}
\chapter{Lineare Algebra}
\section{Allgemeines}
\subsection{Definitionen}
\section{Gruppentheorie}
\subsection{Abbildungen}
\subsubsection*{Kommutator:}
\begin{equation} [A,B] = AB - BA \end{equation}
@ -19,6 +23,7 @@
Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra $A$ mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra, die teilweise mit $A^-$ bezeichnet wird. \\
Eigenschaft 4 bedeutet, daß die Abbildung $b\mapsto [a,b]$ eine Derivation ist.
\subsubsection*{Levi-Civita-Symbol:}
\begin{math}
\varepsilon_{12\dots n} = 1 \\
@ -45,9 +50,41 @@
cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\end{align}
\section{Matrix-Operationen}
\subsection*{Inversion}
\section{\hypertarget{trans_ft}{Fourier-Transformation}}
\subsection*{Fourier-Reihe}
\subsubsection*{Definitionen:}
\subsubsection*{Eigenschaften:}
\subsection*{Fourier-Reihe (kontinuierlich):}
\subsubsection*{Definitionen:}
\subsubsection*{Eigenschaften:}
\subsection*{kontinuierliche Fourier-Transformation:}
Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformation, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen.
Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet.
\subsubsection*{Definition:}
\begin{equation}
\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{f(t) e^{-\i \omega t}}{t}
\end{equation}
Rücktransformation (Fouriersynthese)
\begin{equation}
\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{F(\omega) e^{\i \omega t}}{\omega}
\end{equation}
Hierbei ist $F(\omega)$ das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Frequenz $\omega$ aus den reelle Zahlen angibt.
\subsubsection*{Eigenschaften:}
\section{Lineare Algebra}
\subsection{Operatoren}
\subsubsection*{hermitesche Operatoren}
\subsubsection*{unitäre Operatoren}
\subsection*{Matrizen-Operationen}
\subsubsection*{Spur}
\subsubsection*{Determinatante}
\subsubsection*{\hypertarget{fs_linalg_mtrx_inv}{Inversion}}
\begin{math}
\hypertarget{fs_mtrx_inv_2d}{A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}}
A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}
\end{math}