diff --git a/kapI-1.tex b/kapI-1.tex index 599a77a..285121b 100644 --- a/kapI-1.tex +++ b/kapI-1.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \chapter{Stern-Gerlach-Experimente} \section{Versuchsaufbau (1921)} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-001.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-01-00.pdf} \caption{Versuchsskizze} \end{figure} @@ -29,16 +29,16 @@ dominiert Wir erwarten, dass $\overrightarrow{\mu}$ unpolarisiert ist mit $\mu_z = abs(\mu) \cos \theta$ mit $\theta$ zufällig $p(\theta) = \frac{2\pi}{4\pi} \sin \theta$ und damit auf dem Schirm: \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-002.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-01-01.pdf} \caption{klassisches Histogramm} \end{figure} Das Ergebnis, insbesondere 3. ist klassisch nicht zu verstehen! \section{Schlüsselexperimente} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-003.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-02-00.pdf} bzw. -\includegraphics{1-004.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-02-01.pdf} \caption{Kurzdarstellung} \end{figure} $SG, n$ sei ein in $\vec{n}$ Richtung orientierter Magnet.\\ @@ -49,36 +49,36 @@ Physikalische Eigenschaft: Spin ($\cequiv$ Auslenkung) in $+\vec{n}$ Richtung \subsection*{Ex. 1} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-005.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-02-02.pdf} \end{figure} Fazit: Wiederholung der gleichen Messung führt auf das identische Ergebnis. \subsection*{Ex. 2} \subsubsection*{a} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-006.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-02-03.pdf} \end{figure} Fazit: Die $x$-Messung hat den $z$-Spin beeinflusst. \subsubsection*{b} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-007.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-02-04.pdf} \end{figure} \subsection*{Ex. 3} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-008.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-02-05.pdf} \end{figure} \section{Superposition VS Messung} Zur Erinnerung: \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-009.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-03-00.pdf} \end{figure} \subsection*{Ex. 4} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-010.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-03-01.pdf} \end{figure} Fazit: Wird $\sigma_x$ nicht gemessen bleibt $\sigma_z$ erhalten. @@ -86,22 +86,22 @@ Fazit: Wird $\sigma_x$ nicht gemessen bleibt $\sigma_z$ erhalten. \subsubsection*{a} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-011.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-03-02.pdf} \end{figure} \subsubsection*{b} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-012.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-03-03.pdf} \end{figure} \subsubsection*{c} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-013.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-03-04.pdf} \end{figure} \subsubsection*{d} \begin{figure}[H] \centering -\includegraphics{1-014.pdf} +\includegraphics{pdf/I/01-03-05.pdf} \end{figure} Wenn der mittlere $SG, x$ immer schwächer wird ($B_x \rightarrow 0$), muss sich das Muster auf dem Schirm wie oben gezeigt verändern.\\ $\Rightarrow$ Intereferenz! diff --git a/kapI-4.tex b/kapI-4.tex index 01f04fb..3d1e0bd 100644 --- a/kapI-4.tex +++ b/kapI-4.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \section{Hilbertraum und $\sigma_z$-Darstellung} \begin{itemize} - \item immer nur $\pm 1$ als Messwert %TODO $\rightarrow$ $\hilbert = 2$ + \item immer nur $\pm 1$ als Messwert $\rightarrow$ $\dim(\hilbert) = 2$ \item wähle als Basis $\set{\ket{1}, \ket{2}} = \set{\ket{z+}, \ket{z-}} = \set{\inlinematrix{1\\ 0}, \inlinematrix{0\\ 1}}$ die Eigenvektoren des zu ``Spin in z-Richtung'', $\sigma_z$, gehörenden Operatoren: \begin{align} \sigma_z \ket{z+} &= (+1) \ket{z+}\\ @@ -18,8 +18,8 @@ \end{itemize} \subsection*{Ex. 1} -\begin{figure}[h] - \includegraphics{4-001.pdf} +\begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/I/04-01-00.pdf} \end{figure} \begin{align} \prob{\left. \sigma_z \cequiv +1 \right| \ket{\psi_0} = \ket{z+}} &= \abs{\braket{z+}{\psi_0}}^2\\ @@ -69,8 +69,8 @@ Welcher Operator $\sigma_z$ entspricht der physikalischen Größe Spin in n-Rich \end{equation} \subsection*{Ex. 2a} -\begin{figure}[h] - \includegraphics{4-002.pdf} +\begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/I/04-02-00.pdf} \end{figure} \begin{align} \prob{\left. \sigma_x \cequiv +1 \right| \ket{\psi_0} = \ket{z+}} \stackrel{Ex}{=} \frac{1}{2} &=\stackrel{P2b}{=} \abs{\braket{x+}{z+}}^2\\ @@ -93,8 +93,8 @@ analog zu Ex. 2a: \end{equation} \subsection*{Ex. 2c} -\begin{figure}[h] - \includegraphics{4-003.pdf} +\begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/I/04-02-01.pdf} \end{figure} \begin{align} \prob{\left. \sigma \cequiv +1 \right| \ket{x+}} \stackrel{Ex}{=} \frac{1}{2} &\stackrel{P2b}{=} \abs{\braket{y+}{x+}}^2\\ @@ -134,8 +134,8 @@ Konvention: $\alpha_x = 0;$ $\alpha_x = \frac{\pi}{2}$ \end{align} \section*{Allgemeine Form von $\sigma_n$} -\begin{figure}[h] - \includegraphics{4-004.pdf} +\begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/I/04-05-00.pdf} \end{figure} \begin{equation} \vec{n} = \inlinematrix{n_x\\ n_y\\ n_z} = \inlinematrix{\sin \theta \cos \phi\\ \sin \theta \sin \phi\\ \cos \theta} @@ -174,8 +174,8 @@ Konkret: \end{align} \subsection*{zu Ex 4} -\begin{figure}[h] - \includegraphics{4-005.pdf} +\begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/I/04-05-01.pdf} \end{figure} In den 2. SG,z: \begin{align} diff --git a/kapI-5.tex b/kapI-5.tex index 670bd7a..c3a02bd 100644 --- a/kapI-5.tex +++ b/kapI-5.tex @@ -80,8 +80,8 @@ $\rightarrow$ unabhängig von $t$! \begin{equation} \ket{\psi(t_0)} = \ket{x+} = \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{1 \\ 1} \end{equation} -\begin{figure}[h] - \includegraphics{5-001.pdf} +\begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/I/05-02-00.pdf} \end{figure} \begin{equation} \prob{\left. \sigma_x \cequiv +1 \right| \ket{\psi(t)}} = \frac{1}{4} 4 \cos^2 \frac{\omega}{2} (t-t_0) @@ -96,8 +96,8 @@ d.h. der Mittelwert präzediert um die z-Achse. \begin{equation} \vec{B}(t) = B_z \vec{e}_z + B_1 \left( \cos(\omega t) \vec{e}_x \sin(\omega t) \vec{e}_y \right) \end{equation} -\begin{figure}[h] - \includegraphics{5-002.pdf} +\begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/I/05-03-00.pdf} \end{figure} \begin{equation} H(t) = \frac{\hbar \omega_0}{2} \sigma_z + \frac{\hbar \omega_1}{2} \left( \cos(\omega t) \sigma_x \sin(\omega t) \sigma_y \right) @@ -129,19 +129,19 @@ mit $\Omega^2 = (\omega - \omega_0)^2 + \omega_1^2$ vollständig gelöst (bis au &= \abs{c_-(t)}^2\\ &= \left( \frac{\omega_1}{\Omega} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\Omega}{2}t\right) \end{align} -\begin{figure}[h] - \includegraphics{5-003.pdf} +\begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/I/05-03-01.pdf} \end{figure} \subparagraph{Resonanzfall} $\omega_1 = \Omega$ d.h. $\omega = \omega_0$, d.h. $B_1$-Feld zirkuliert mit der in 5.2 berechneten Präzessionsfrequenz. \begin{itemize} \item Im Resonenzfall flippt der Spin mit Sicherheit auch für kleine $B_1$ - \item Rabi (1939, Nobel '44) misst meangetisches Moment des Protons durch\\ -% \begin{figure}[h] - \includegraphics{5-004.pdf}\\ - \includegraphics{5-005.pdf} -% \end{figure} + \item Rabi (1939, Nobel '44) misst meangetisches Moment des Protons durch + \begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/I/05-03-02.pdf}\\ + \includegraphics{pdf/I/05-03-03.pdf} + \end{figure} \item wichtige Anwendung: \underline{\underline{NMR}} (Idee: Magnetfeld hängt von der lokalen Umgebung ab.) \end{itemize} diff --git a/kapII-0.tex b/kapII-0.tex index 15a6def..ef9a4cf 100644 --- a/kapII-0.tex +++ b/kapII-0.tex @@ -43,18 +43,18 @@ Die möglichen $E$-Werte sind die Eigenwerte des $H$-Operators. Diese Form der P \end{enumerate} \section{Beispiel 1: $\infty$-Potentialtopf} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/00-02-00.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/00-02-00.pdf} +\end{figure} \begin{equation} V(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \infty &\text{für } \abs{x} > a\\ 0 &\text{für } \abs{x} < a \end{array} \right. \end{equation} \paragraph*{klassisch} $x(t_0), p(t_0) = \sqrt{2m E}$ -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/00-02-01.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/00-02-01.pdf} +\end{figure} \paragraph*{quantal} \subparagraph*{Schritt 1} Stationäre Zustände @@ -104,9 +104,9 @@ Lösung: \subparagraph*{Fazit} \begin{enumerate} \item Energieeigenwerte sind quantisiert. - %\begin{figure}[h] - %\includegraphics{pdf/II/00-02-02.pdf} - %\end{figure} + \begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/II/00-02-02.pdf} + \end{figure} \item Eigenfunktionen $\phi_n(x)$ bilden ein vollständig normiertes Basissystem. \begin{equation} \phi_n = \frac{1}{\sqrt{a}} \left\lbrace \begin{array}{ll} \cos(k_n x) & n\text{ grade}\\ \sin(k_n x) & \text{sont.} \end{array} \right. @@ -116,11 +116,11 @@ Lösung: \sum_{n=0}^{\infty} \phi_n(x) \phi_n(x') &= \delta(x - x') \end{align} d.h. jede Funktion $\psi(x)$ kann entwickelt werden in dieser Basis $\psi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \phi_n(x)$. - %\begin{figure}[h] - %\includegraphics{pdf/II/00-02-03.pdf} - %\caption{Skizze der Eigenfunktionen} - %\end{figure} \end{enumerate} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/00-02-03.pdf} +\caption{Skizze der Eigenfunktionen} +\end{figure} \paragraph{Schritt 2} Dynamik\\ Sei nun $\psi(x, t)$ beliebig gegeben durch \begin{equation} @@ -147,9 +147,9 @@ und damit \end{align} ($U(x,t;x',t_0)$ ... Zeitentwicklungsoperator in Ortsdarstellung) \section{Beispiel 2: $\delta$-Potentialtopf} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/00-03-00.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/00-03-00.pdf} +\end{figure} Mit \begin{equation} V(x) = -\alpha \delta(x) @@ -186,9 +186,9 @@ Aus der Stetigkeit von $\phi$ folgt: \rightarrow E &= -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{2m}{\hbar} \right)^2 \alpha^2 \end{align} $\rightarrow$ Ein gebundener Zustand. -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/00-03-01.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/00-03-01.pdf} +\end{figure} \subparagraph*{Normierung} \begin{equation} \phi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{K}} e^{-K \abs{x}} diff --git a/kapII-2.tex b/kapII-2.tex index df9340a..e4aa1cb 100644 --- a/kapII-2.tex +++ b/kapII-2.tex @@ -55,12 +55,8 @@ $\ket{\psi(t_0)}$ gegeben als $\psi(x,t_0) = \braket{x}{\psi(t_0)}$. Gesucht: $\ \end{align} $\rightarrow$ Matrixelemente des Zeitentwicklungsoperators in Ortsdarstellung -\subsection*{Analogie: Diffusion} -Sei $c(x, t)$ die Dichte der blauen Tinte. -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{8-001.pdf} -%\caption{$c(x,t_0)$} -%\end{figure} +\paragraph*{Analogie: Diffusion} +Sei $c(x, t)$ die Dichte der blauen Tinte (siehe Abbildung \ref{diffusionImg}).\\ Diffusionsgleichung: \begin{equation} \partial_t c(x, t) = D \partial_x^2 c(x, t) @@ -74,11 +70,17 @@ QM: i\hbar \partial_t \psi(x,t) &= -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 \psi(x,t)\\ \partial_t \psi(x,t) &= i \frac{\hbar}{2m} \partial_x^2 \psi(x,t) \end{align} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/02-02-00.pdf} +\caption{$c(x,t_0)$} +\label{diffusionImg} +\end{figure} + \section{Gauss'sches Wellenpacket} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{8-002.pdf} -%\caption{$\abs{\psi^2(x)}$ lokalisiert um die Null mit Breite $~\Delta$} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/02-03-00.pdf} +\caption{$\abs{\psi^2(x)}$ lokalisiert um die Null mit Breite $~\Delta$} +\end{figure} \begin{equation} \psi(x',0) = \frac{1}{(\pi \Delta^2)^{\frac{1}{4}}} \end{equation} @@ -103,10 +105,9 @@ Also ergibt sich für $\rho(p)$ \begin{equation} \rho(p) = \frac{\Delta}{\pi^\frac{1}{2} \hbar} e^\frac{-(p - p_0)^2}{\hbar^2 \Delta^{-2}} \end{equation} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{8-002.pdf} -%\caption{$\abs{\psi^2(x)}$ lokalisiert um die Null mit Breite $~\Delta$} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/02-03-01.pdf} +\end{figure} \paragraph*{Dispersion, Unschärfe} \begin{align} (\Delta x)_\ket{\psi(0)} &= \sqrt{ - ^2} = \sqrt{\dirac{\psi(0)}{\hat{x}^2}{\psi(0)}}\\ @@ -127,10 +128,9 @@ für Gauss'sches Wellenpacket ist Gleichheit erreicht. \begin{equation} \rho(x,t) = \abs{\psi(x,t)}^2 \end{equation} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{8-002.pdf} -%\caption{$\abs{\psi^2(x)}$ lokalisiert um die Null mit Breite $~\Delta$} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/02-03-02.pdf} +\end{figure} \begin{equation} \Delta(t) = \Delta^{(0)} \sqrt{1 + \frac{\hbar^2 t^2}{m^2 \Delta^4}} \end{equation} diff --git a/kapII-3.tex b/kapII-3.tex index 88f10aa..a8d4d4a 100644 --- a/kapII-3.tex +++ b/kapII-3.tex @@ -25,9 +25,9 @@ der Wahscheinlichkeitsstromdichte (``Kontinuitätsgleichung''; gilt für jede Er \end{align} \section{Streuung an der Potentialstufe} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf} +\end{figure} \paragraph*{klassisch} \subparagraph*{Fall 1} $E > V_0$ \begin{align} @@ -104,7 +104,7 @@ Strom rechts: $x > 0$ \begin{align} j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x} \phi(x > 0) \phi(x > 0)}\\ &= \frac{\hbar}{m} q C^2\\ - &= \frac{\hbar}{m} q \sbk{\frac{2k}{k + q}}^2 + &= \frac{\hbar}{m} q \sbk{\frac{2k}{k + q}}^2\\ &\equiv j_T \equiv T j_I \end{align} mit dem Reflexionskoeffizient @@ -119,9 +119,9 @@ für die gilt: \begin{equation} \boxed{R + T = 1} \end{equation} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/03-02-01.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/03-02-01.pdf} +\end{figure} Zusammenfassung:\\ Auch für $E > V_0$ wird ein Teil reflektiert! @@ -156,16 +156,16 @@ Wellenfunktion für $x > 0$ \phi(x) &= C e^{-\kappa x}\\[15pt] \rho(x) &= \abs{\phi(x)}^2 = C C^* e^{-2 \kappa x} \neq 0 \end{align} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf} -%\caption{das Teilchen dringt in die Potentialstufe ein} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/03-02-02.pdf} +\caption{das Teilchen dringt in die Potentialstufe ein} +\end{figure} \section{Potentialtopf} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/03-03-00.pdf} -%\caption{gebundene Zustände $0 > E > -\abs{V_0}$} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/03-03-00.pdf} +\caption{gebundene Zustände $0 > E > -\abs{V_0}$} +\end{figure} \paragraph*{symmetrische Lösung} \begin{align} \abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \cos(q x)\\ @@ -182,18 +182,18 @@ teile \ref{eqn01} durch \ref{eqn00}: \begin{equation} \tan(q a) = \frac{\kappa}{q} = \frac{\sqrt{\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - (q a)^2}}{q a} \end{equation} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/03-03-01.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/03-03-01.pdf} +\end{figure} \begin{itemize} \item endlich viele diskrete $q$-Werte d.h. $E$-Werte mit Lösung \item es gibt mindestens eine Lösung \end{itemize} für $\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} < \pi^2$ existiert nur eine Lösung \subparagraph*{Grundzustand $\phi_0$} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/03-03-02.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/03-03-02.pdf} +\end{figure} \begin{equation} \phi_0(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} A \cos(q_0) & \abs{x} < a\\ B e^{-\kappa x} & \abs{x} \geq a \end{array} \right. \end{equation} @@ -210,6 +210,6 @@ wie oben: \end{equation} gibt es nur falls $\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} > \frac{\pi^2}{4}$ \subparagraph*{Spektrum} -%\begin{figure}[h] -%\includegraphics{pdf/II/03-03-03.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/II/03-03-03.pdf} +\end{figure} diff --git a/kapII-4.tex b/kapII-4.tex index 6924156..eed3ebb 100644 --- a/kapII-4.tex +++ b/kapII-4.tex @@ -34,7 +34,7 @@ Definiere den Paritätsoperator $\Pi$ als: \begin{equation} \Pi \ket{x} \equiv \ket{-x} ~\left[~ \neq -\ket{x} ~\right] \end{equation} -%\begin{figure}[h] +%\begin{figure}[H] \centering %\includegraphics{pdf/II/04-02-00.pdf} %\caption{Beispiel für $\Pi$} %\end{figure} @@ -94,7 +94,7 @@ Was ist $[H, \Pi]$ ? \section{Translationsoperator periodisches Potential\\und Bloch Theorem} \paragraph{Definition} Translationoperator -%\begin{figure}[h] +%\begin{figure}[H] \centering %\includegraphics{pdf/II/04-03-00.pdf} %\end{figure} \begin{align} @@ -118,7 +118,7 @@ mit $\phi(x)$, der Eigenfunktion zu x_a \equiv e^{-i \kappa a} \end{equation} (mit $\kappa$ beliebig reell) -%\begin{figure}[h] +%\begin{figure}[H] \centering %\includegraphics{pdf/II/04-03-01.pdf} %\caption{Periodisches Potential} %\end{figure} @@ -146,7 +146,7 @@ d.h. SG im Intervall $[0, a]$ lösen mit Randbedingung: \end{equation} \section{Bandstruktur im Beispiel ``Dirac-Kamm''} -%\begin{figure}[h] +%\begin{figure}[H] \centering %\includegraphics{pdf/II/04-04-00.pdf} %\end{figure} \begin{equation} @@ -178,7 +178,7 @@ Lösung falls $\det M = 0$ mit \begin{equation} \cos(\kappa A) = \cos(k a) + \frac{m \alpha a}{\hbar^2} \frac{\sin(k a)}{k a} \end{equation} -%\begin{figure}[h] +%\begin{figure}[H] \centering %\includegraphics{pdf/II/04-04-01.pdf} %\end{figure} in $z$ ist erlaubt: diff --git a/kapII-5.tex b/kapII-5.tex index f9afd39..879a6be 100644 --- a/kapII-5.tex +++ b/kapII-5.tex @@ -68,7 +68,7 @@ eingesetzt in $H$: \begin{equation} 0 \leq \norm{\aDs \ket{\nu}}^2 = \braket{\nu}{\aCr \aDs \nu} = \nu \underbrace{\braket{\nu}{\nu}}_{\geq 0} \end{equation} - %\begin{figure}[h] + %\begin{figure}[H] \centering %\includegraphics{pdf/II/05-01-00.pdf} %\end{figure} Die obige Ungleichung wäre nach mehrfacher Anwendung von $\aDs \ket{\nu}$ verletzt wenn anfänglich $\nu$ keine ganze positive Zahl ist. @@ -90,7 +90,7 @@ Daraus ergibt sich das Spektrum von $\nOp$: \begin{equation} \nOp \ket{n} = n \ket{n} \text{ mit } n \in \setZ^+_0 \end{equation} -%\begin{figure}[h] +%\begin{figure}[H] \centering %\includegraphics{pdf/II/05-01-01.pdf} %\end{figure} und das Spektrum von $H$: @@ -232,7 +232,7 @@ Normierung: \begin{equation} \intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_0(x) \phi_0^*(x)}{x} \stackrel{!}{=} 1 ~ \rightarrow ~ c = \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} \end{equation} -%\begin{figure}[h] +%\begin{figure}[H] \centering %\includegraphics{pdf/II/05-02-00.pdf} %\end{figure} \paragraph*{Angeregte Zustände}