formelsammlung: kommutator, levicivita, reihenentwicklungen

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 \chapter{Lineare Algebra}
 \section{Allgemeines}
-\subsection*{Definitionen}
+\subsection{Definitionen}
+
+\subsubsection*{Kommutator:}
+	\begin{equation} [A,B] = AB - BA \end{equation}
+	Der Kommutator von g und h ist genau dann gleich dem neutralen Element, wenn g und h kommutieren. \\
+	Sei $a$, $b$ und $c$ Elemente einer assoziativen Algebra und $\lambda$ ein Skalar (Element des Grundkörpers).
+	\begin{enumerate}
+		\item Alternierend (antisymmetrisch):
+			\begin{equation} [a,b]=-[b,a] \end{equation}
+		\item Linear:
+			\begin{equation} [\lambda a+b,c]=\lambda [a,c] + [b,c] \end{equation}
+		\item Jacobi-Identität:
+			\begin{equation} [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0 \end{equation}
+		\item Leibnizregel(Produktregel):
+			\begin{equation} [a,bc] = [a,b]c+b[a,c] \end{equation}
+	\end{enumerate}
+	Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra $A$ mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra, die teilweise mit $A^-$ bezeichnet wird. \\
+	Eigenschaft 4 bedeutet, daß die Abbildung $b\mapsto [a,b]$ eine Derivation ist.
+
 \subsubsection*{Levi-Civita-Symbol:}
 	\begin{math}
 	\varepsilon_{12\dots n} = 1 \\
-	\varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\
+	\varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\
 	\varepsilon_{ij\dots u\dots u\dots} = 0 \\
-	
 	\levicivita{i,j,k} =
-	\begin{cases}
-		+1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
-		-1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
-		0,  & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}
-	\end{cases}
-	
+	\begin{cases}
+		+1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
+		-1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
+		0,  & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}
+	\end{cases} \\
 	(\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \levicivita{ijk} a_j b_k \\
 	\vec{a} \times \vec{b} = \levicivita{ijk} a_j b_k \vec{e_i} = \levicivita{ijk} a_i b_j \vec{e_k} \\
-	
-	\det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}
-	
+	\det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}	
 	\end{math}
 \subsubsection*{Kronecker-Delta}
-	$\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\s
+	$\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\
 	Die $n\times n$-Einheitsmatrix kann als $(\krondelta{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben werden.
 
+\subsubsection*{Reihenentwicklungen}
+	\begin{align}
+		exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^n}{n!}} \\
+		sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
+		cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
+	\end{align}
+
 \section{Matrix-Operationen}
 \subsection*{Inversion}
 \begin{math}