From 5a523d269602cfaf937b7f341c7df9f0318eb688 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Mon, 1 Aug 2011 15:18:21 +0200 Subject: [PATCH] file cleanup --- kapIV-2.tex.backup | 192 --------------------------------------------- 1 file changed, 192 deletions(-) delete mode 100644 kapIV-2.tex.backup diff --git a/kapIV-2.tex.backup b/kapIV-2.tex.backup deleted file mode 100644 index 7e94d27..0000000 --- a/kapIV-2.tex.backup +++ /dev/null @@ -1,192 +0,0 @@ -\chapter{Zeitabhängige Störungstheorie} -Für $H = H_0 + \lambda_1$ mit $H_0$ exakt lösbar und $\lambda \ll 1$, lässt sich das Problem perturativ angeben. -\section{Nichtentarteter Fall} -gegeben: -\begin{equation} - \left(H_0 - E_\alpha \right) \ket{\alpha} = 0 ~ \left[ H_0 \ket{\alpha} = E_\alpha \ket{\alpha} \right] -\end{equation} -suche: -\begin{equation} - \left( H - E_a \right) \ket{a} = 0 \label{stern00} -\end{equation} -mit $\ket{a} \rightarrow \ket{\alpha}$ (für $x \rightarrow 0$) eindeutig, da nicht entartet. -\paragraph{Strategie} Wir entwickeln nach $\lambda$ -\begin{equation} - \ket{a} = c_\alpha \ket{\alpha} + \sum_{\beta \neq \alpha} d_\beta \ket{\beta} \text{ und } d_\beta = O(\lambda) -\end{equation} -Norm: -\begin{align} - \abs{c_\alpha}^2 + \sum_{\beta \neq \alpha} \abs{d_\beta}^2 &= 1\\ - \rightarrow c_\alpha &= 1 - O(\lambda^2) -\end{align} -einsetzen in (\ref{stern00}): -\begin{align} - 0 &= \left( H - E_\alpha \right) \ket{\alpha}\\ - 0 &= \left( H_0 - \lambda H_1 - E_\alpha \right) \left( c_\alpha \ket{\alpha} + \sum_{\beta \neq \alpha} d_\beta \ket{\beta} \right) &\left| \bra{\gamma} ~ \gamma \neq \alpha \right.\\ - &= c_\alpha \lambda \dirac{\gamma}{H_1}{\alpha} + \sum_{\beta \neq \alpha} d_\beta \left( E_\beta \krondelta{\beta,\gamma} + \lambda \dirac{\gamma}{H_1}{\beta} - E_a \krondelta{\beta,\gamma} \right)\\ - 0 &= \underbrace{c_\alpha}_{1-O(\lambda^2)} \lambda \dirac{\gamma}{H_1}{\alpha} + d_\gamma \left( E_\gamma - E_a \right) + \underbrace{\lambda \sum_{\beta \neq \alpha} d_\beta \dirac{\gamma}{H_1}{\beta}}_{O(\lambda^2)} -\end{align} -in niedrigster Ordnung erhält man: -\begin{align} - \rightarrow d_\gamma &= \lambda \frac{\dirac{\gamma}{H_1}{\alpha}}{\underbrace{E_a}_{E_\alpha - O(\lambda)} - E_\gamma} + O(\lambda^2)\\ - \rightarrow d_\beta &= \lambda \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta}\\ - \ket{a} = \ket{\alpha} + \lambda \sum_{\beta \neq \alpha} \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta} \ket{\beta} + O(\lambda^2) -\end{align} -gut falls: -\begin{equation} - \lambda \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta} \ll 1 ~ \forall \beta \neq \alpha -\end{equation} -Energieverschiebung: -\begin{align} - 0 &= \left( H - E_\alpha \right) \ket{a} &\left| \ket{\alpha} \right.\\ - 0 &= \bra{\alpha} \left( H_0 + \lambda_1 H_1 - E_a \right) \left( \ket{\alpha} + \lambda \sum_{\beta \neq \alpha} \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta} \ket{\beta} + O(\lambda^2) \right)\\ - E_a &= E_ \alpha + \lambda \dirac{\alpha}{H_1}{\alpha} + \lambda^2 \sum_{\beta \neq \alpha} \frac{\dirac{\alpha}{H_1}{\beta} \dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta} + O(\lambda^3) -\end{align} -\paragraph{Fazit} -\begin{enumerate} - \item In der führenden Ordnung ist die Energieverschiebung das Matrixelement der Störung im ungestörten Zustand. - \item Falls $\dirac{\alpha}{H_1}{\alpha}$ aus Symmetriegründen verschwindet, dann tragen alle Zustände zu nichtverschwindenden Korrekturen bei! -\end{enumerate} -\paragraph{Beispiel} -\begin{align} - H &= \frac{p^2}{2m} + \frac{m}{2} \omega^2 x^2 + \lambda \underbrace{x^4}_{H_1}\\ - H_0 \ket{n} &= \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \ket{n} -\end{align} -Grundzustandsverschiebung -\begin{equation} - E_0 = \hbar \omega \frac{1}{2} + \lambda \dirac{0}{x^4}{0} -\end{equation} -entsprechend -\begin{equation} - E_0 = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) + \lambda \dirac{n}{x^4}{n} -\end{equation} -%\begin{figure}[H] \centering -%\includegraphics{pdf/III/02-01-00.pdf} -%\end{figure} -Konsequenz? -\begin{itemize} - \item für $\lambda$ negativ $\abs{\lambda} \ll 1$ - %\begin{figure}[H] \centering - %\includegraphics{pdf/III/02-01-01.pdf} - %\caption{gestrichelte Kurve entspricht $\frac{m}{2} \omega x^2 \abs{\lambda} x^4$} - %\end{figure} - \item für $\lambda$ positiv - %\begin{figure}[H] \centering - %\includegraphics{pdf/III/02-01-02.pdf} - %\end{figure} -\end{itemize} -volle Rechnung zeigt: -\begin{equation} - E_n(\lambda) = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) + A^{(1)}_n (\lambda) + A^{(2)}_n (\lambda) -\end{equation} -mit -\begin{equation} - A^{(1)}_n (\lambda) = O(\lambda) ~ ; ~ A^{(2)}_n (\lambda) = O \left(e^{-\frac{1}{\lambda}} \right) -\end{equation} - -\section{Entarteter Fall} -\begin{itemize} - \item Obige Formel wegen Energienenner nicht anwendbar bei Entartung. - \item sehr relevant: Aufhebeung der Entartung durch Störung -\end{itemize} -%\begin{figure}[H] \centering -%\includegraphics{pdf/III/02-02-00.pdf} -%\end{figure} -\paragraph{Ansatz} -\begin{align} - \ket{a} &= \sum_{\alpha \in D} c_\alpha \ket{\alpha} + \sum_{\mu \notin D} d_\mu \ket{\mu}\\[10pt] - 0 &= \left( H - E_a \right) \ket{a}\\ - \rightarrow 0 &= \left( H_0 + \lambda H_1 - E_a \right) \left( \sum_{\mu \notin D} d_\mu \ket{\mu} \right) -\end{align} -\paragraph*{Projektion auf $\bra{\nu} \notin D$} -\begin{align} - 0 &= \lambda \sum_\alpha c_\alpha \dirac{\nu}{H_1}{\alpha} d_\nu \left( E_\nu - E_a \right) + \lambda \sum_{\mu \notin D} d_\mu \dirac{\nu}{H_1}{\mu}\\ - \rightarrow d_\nu &= \lambda \frac{\sum_\alpha c_a \dirac{\nu}{H_1}{\alpha}}{\underbrace{E_a}_{E_\alpha} - E_\nu} + o(\lambda^2) -\end{align} -\paragraph*{Projektion auf $\bra{\beta} \in D$} -\begin{align} - 0 &= \sum_\alpha c_\alpha \left( E_\alpha - E_a \right) \krondelta{\alpha,\beta} + \lambda \sum_\alpha c_\alpha \dirac{\beta}{H_1}{\alpha} + \lambda \sum_\mu d_\mu \dirac{\beta}{H_1}{\alpha}\\ - 0 &= \sum_\alpha c_\alpha \left( \left( E_a - E_\alpha \right) \krondelta{\alpha,\beta} + \underbrace{\lambda \dirac{\beta}{H_1}{\alpha} + \lambda^2 \sum_{\mu \notin D} \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\mu} \dirac{\mu}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha E_\mu}}_{\equiv \dirac{\beta}{H_\text{eff}}{\alpha}} \right) + O(\lambda^3) -\end{align} -$\forall \beta = 1, ..., N$ mit $N$ die Dimension von $D$\\ -d.h. LGS für die $c_\alpha$ hat nichttriviale Lösung falls -\begin{equation} - \detb{E_\alpha \krondelta{\alpha,\beta} + \dirac{\beta}{H_\text{eff}}{\alpha} - E_\alpha \krondelta{\alpha,\beta}} = 0 -\end{equation} -d.h. wir müssen $H_0 + H_\text{eff}$ im Unterraum $D$ diagonalisieren -\paragraph{Fazit} -\begin{enumerate} - \item in Ordnung $\lambda$ reicht es $H_1$ im entarteten Unterraum zu diagonalisieren - \item falls $H_1$ die Entartung nicht aufhebt, muss der $\lambda^2$-Term mitgenommen werden -\end{enumerate} - -\section{Beispiel: Stark-Effekt} -H-Atom: -\begin{equation} - H_0 \ket{n,l,m} = E_n \ket{n,l,m} -\end{equation} -mit -\begin{equation} - E_n = \frac{l^2}{2 a_0} \frac{1}{n^2} \text{; Entartung } g(n) = n^2 -\end{equation} -Störung: $H_1$ sei E'feld -\begin{equation} - H_1 = e \abs{E} \hat{z} \text{ für } \lambda = 1 -\end{equation} -\paragraph{Erster Grundzustand} -\begin{equation} - \ket{1,0,0} \rightarrow \braket{r,\theta,\varphi}{1,0,0} = \Phi_{1,0,0}(\vec{r}) = \frac{U_{1,0}}{r}Y_{0,0} = \frac{1}{\sqrt{\pi} a_0^\frac{3}{2}}e^{-\frac{r}{a_0}} -\end{equation} -\begin{itemize} - \item in Ordnung $\lambda$ d.h. in $O(\abs{E})$: - \begin{equation} - \dirac{1,0,0}{H_1}{1,0,0} = \intgru{\Phi^*_{1,0,0} (\vec{r}) \cdor e \abs{E} z \Phi_{1,0,0}(\vec{r})}{r^3} = 0 - \end{equation} - \item in Ordnung $\abs{E}^2$: - \begin{align} - E_a = E_\alpha + ... &= E_1 + \sum_{\beta,\alpha} \frac{\abs{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}^2}{E_\beta - E_\alpha}\\ - &= \left( E_1 \sum_{n=2}^\infty \sum_{l=0}^{n-1} \sum_{m=-l}^{+l} \frac{\abs{\dirac{n,l,m}{H_1}{1,0,0}}^2}{E_1 - E_n} + \int \text{Kontinuum} \right) + O(E^3) - \end{align} - mit - \begin{align} - \dirac{n,l,m}{\hat{z}}{1,0,0} &= \intgr{0}{-\infty}{r \intgr{-1}{+1}{\intgr{0}{2\pi}{\frac{U_{n,r}(r)}{r} Y^*_{l,m}(\theta,\varphi) r \underbrace{\cos\theta}_{Y_{1,0} \frac{1}{\sqrt{\pi} a_0^\frac{3}{2}}e^{-\frac{r}{a_0}}}}{\varphi}}{(\cos\theta)}}{r}\\ - &= \krondelta{m,0} \krondelta{l,1} \frac{1}{\sqrt{3}} \int U_{n,1}(r) r U_{1,0}(r) - \end{align} -\end{itemize} -am meisten trägt $n=2$ bei -\begin{align} - \dirac{2,1,0}{\hat{z}}{1,0,0} &= \frac{a_0}{\sqrt{3}} \intgr{0}{\infty}{\frac{r^2 e^{-\frac{r}{2}}}{2 \sqrt{6}} r \left( 2r e^{-r} \right)}{r}\\ - &= \frac{2^7 \sqrt{2}}{3^5} a_0 -\end{align} -und damit ist -\begin{equation} - E_{1,0,0} = E_1 - 1,48 a_0^3 \abs{E}^2 -\end{equation} -und für alle weiteren $n$ -\begin{equation} - E_{1,0,0} \rightarrow E_1 - \frac{9}{4} a_0^3 \abs{E}^2 -\end{equation} -\paragraph{linerarer Stark-Effekt für n=2} -\begin{align} - \braket{r,\theta,\varphi}{2,0,0} &= \Phi_{2,0,0}(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 a_0^3}} \left(1 - \frac{r}{2a_0} \right) e^{-\frac{r}{2a_0}} Y_{0,0}\\ - \braket{r,\theta,\varphi}{2,1,m} &= \Phi_{2,1,m} (\vec{r}) = \frac{1}{24 a_0^3} \frac{r}{a_0} e^{-\frac{r}{2a_0}} Y_{l,m} -\end{align} -im entartetetn Unterraum $\setCond{\bra{\alpha}}{\alpha = 1,2,3,4}$ mit -\begin{equation} - \bra{1} = \bra{1,0,0} ;~ \bra{2} = \bra{2,1,0} ;~ \bra{3} = \bra{2,1,1} ;~ \bra{4} = \bra{2,1,-1} -\end{equation} -diagonalisieren: $\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}$ -\begin{enumerate} - \item Diagonalelemente - \begin{equation} - \dirac{\alpha}{H_1}{\alpha} \tilde \intgru{\cos\theta\abs{\Phi_{n,l,m}}^2}{(\cos\theta)} \equiv 0 - \end{equation} - \item Nichtdiagonalelemente - \begin{equation} - \dirac{n',l',m'}{\hat{z}}{n,l,m} \tilde \intgru{e^{i(m-m')\phi}}{\phi} \tilde \krondelta{m,m'} - \end{equation} - mit - \begin{equation} - \dirac{1}{H_1}{2} = \dirac{2}{H_1}{1} = \dirac{2,0,0}{e\abs{E}z}{×} - \end{equation} -\end{enumerate}