diff --git a/kapII-3.tex b/kapII-3.tex index 3a69bbf..88f10aa 100644 --- a/kapII-3.tex +++ b/kapII-3.tex @@ -100,3 +100,116 @@ mit j_I &= \frac{\hbar k}{m} &\text{einfallend}\\ j_R &= \frac{\hbar}{m} k \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \equiv R j_I &\text{reflectiert} \end{align} +Strom rechts: $x > 0$ +\begin{align} + j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x} \phi(x > 0) \phi(x > 0)}\\ + &= \frac{\hbar}{m} q C^2\\ + &= \frac{\hbar}{m} q \sbk{\frac{2k}{k + q}}^2 + &\equiv j_T \equiv T j_I +\end{align} +mit dem Reflexionskoeffizient +\begin{equation} + R \equiv \frac{j_R}{j_I} = \left(\frac{k - q}{k + q}\right)^2 +\end{equation} +und dem Transmissionskoeffizient +\begin{equation} + T \equiv \frac{j_T}{j_I} = \frac{q}{k} \left( \frac{2k}{k + q} \right)^2 +\end{equation} +für die gilt: +\begin{equation} + \boxed{R + T = 1} +\end{equation} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-02-01.pdf} +%\end{figure} +Zusammenfassung:\\ +Auch für $E > V_0$ wird ein Teil reflektiert! + +\subparagraph*{Fall 2} $0 < E < V_0$\\ +links: wie oben\\[15pt] +rechts: +\begin{align} + \diffPs{x}^2 \phi(x) &= 2m \frac{V_0 - E}{\hbar^2} \phi(x)\\ + \phi(x) &= C e^{-\kappa x} + D e^{\kappa x} +\end{align} +mit +\begin{equation} + \kappa \equiv \sqrt{\frac{2m (V_0 - E)}{\hbar^2}}; ~ D \stackrel{!}{=} 0 \text{ (explodiert für } x \rightarrow +\infty \text{)} +\end{equation} +Stetigkeit: +\begin{align} + A + B &= C\\[15pt] + \diffPs{x} \phi(x) \cdot i k (A - B) &= -C \kappa\\[15pt] + A &= 1\\ + \rightarrow C &= \frac{2k}{k + i \kappa}\\ + B &= \frac{k - i \kappa}{k + i \kappa} +\end{align} +transmittierter Strom: +\begin{align} + j_T = j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi(x > 0) ~ \phi^*(x > 0)}\\ + &= \frac{\hbar}{m} \im{\frac{(-\kappa) 2 k}{k + i\kappa} \cdot \frac{2k}{k i \kappa} e^{-2 \kappa x}}\\ + &=0\\[15pt] + j_R &= j_I +\end{align} +Wellenfunktion für $x > 0$ +\begin{align} + \phi(x) &= C e^{-\kappa x}\\[15pt] + \rho(x) &= \abs{\phi(x)}^2 = C C^* e^{-2 \kappa x} \neq 0 +\end{align} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf} +%\caption{das Teilchen dringt in die Potentialstufe ein} +%\end{figure} + +\section{Potentialtopf} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-03-00.pdf} +%\caption{gebundene Zustände $0 > E > -\abs{V_0}$} +%\end{figure} +\paragraph*{symmetrische Lösung} +\begin{align} + \abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \cos(q x)\\ + q &= \frac{2m (E + \abs{V_0})}{\hbar^3}\\ + \abs{x} > a: ~ \phi(x) &= B e^{-\kappa \abs{x}}\\ + \kappa^2 &= \frac{2m}{\hbar^2} \abs{E} +\end{align} +Stetigkeit: +\begin{align} + A \cos(q a) &= B e^{-\kappa a} \label{eqn00}\\ + \text{von } \diffPs{x}\phi(0) ~ \rightarrow -A q \sin(q a) &= -\kappa B e^{-\kappa a} \label{eqn01} +\end{align} +teile \ref{eqn01} durch \ref{eqn00}: +\begin{equation} + \tan(q a) = \frac{\kappa}{q} = \frac{\sqrt{\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - (q a)^2}}{q a} +\end{equation} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-03-01.pdf} +%\end{figure} +\begin{itemize} + \item endlich viele diskrete $q$-Werte d.h. $E$-Werte mit Lösung + \item es gibt mindestens eine Lösung +\end{itemize} +für $\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} < \pi^2$ existiert nur eine Lösung +\subparagraph*{Grundzustand $\phi_0$} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-03-02.pdf} +%\end{figure} +\begin{equation} + \phi_0(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} A \cos(q_0) & \abs{x} < a\\ B e^{-\kappa x} & \abs{x} \geq a \end{array} \right. +\end{equation} +$A$, $B$ über Stetigkeit und Normierung berechnen + +\paragraph*{asymmetrische Lösung} +\begin{align} + \abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \sin(q x)\\ + \abs{x} > a: ~ \phi(x) &= \sign(x) e^{-\abs{\kappa} x} +\end{align} +wie oben: +\begin{equation} + \tan(q a) = -\frac{q a}{\sqrt{\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - q a}} +\end{equation} +gibt es nur falls $\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} > \frac{\pi^2}{4}$ +\subparagraph*{Spektrum} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-03-03.pdf} +%\end{figure}