diff --git a/formelsammlung.tex b/formelsammlung.tex index 57c1161..5ca6b43 100644 --- a/formelsammlung.tex +++ b/formelsammlung.tex @@ -6,6 +6,7 @@ % undendlich dim. raum % was zum henker ist ein operator % impulsoperator +%definition bedingte wahrscheinlichkeiten \chapter{Notationen} \section{Dirac-Notation} diff --git a/kapIV-3.tex b/kapIV-3.tex new file mode 100644 index 0000000..8ba04ab --- /dev/null +++ b/kapIV-3.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +\chapter{Bohr'sche Näherung für Streutheorie} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/IV/03-00-00.pdf} +% \end{figure} +\section{Geometrie} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/IV/03-01-00.pdf} +% \end{figure} +\section{Stat SG} +\equationblock{\Phi\sbk{\vec{r}} = \Phi^\text{in}\sbk{\vec{n}} + \Phi^\text{ex}\sbk{\vec{r}}} +mit +\equationblock{\Phi^\text{ex}\sbk{\vec{r}} \longrightarrow^{\vec{r}\rightarrow\infty} f\sbk{\theta,\Phi} \frac{e^{\i k \vec{r}}}{r}} +und +\equationblock{\Phi^\text{in}\sbk{\vec{r}} = e^{i \vec{k} \vec{r}}} +SG: +\begin{align} + \sbk{-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \vec{\nabla}^2 + V\sbk{\vec{r}}} \Phi\sbk{\vec{r}} &= E \Phi\sbk{\vec{r}} &\left| -\frac{2 \mu}{\hbar^2} \right. \\ + \sbk{\vec{\nabla}^2 - V\sbk{\vec{r}}} \Phi\sbk{\vec{r}} &= -\frac{2 \mu}{\hbar^2} E \Phi\sbk{\vec{r}} &\left; E = \frac{\hbar^2}{2 \mu} k^2 \right. \\ + \rightarrow \sbk{\vec{\nabla}^2 + k^2} \Phi\sbk{\vec{r}} &= V\sbk{\vec{r}} \Phi\sbk{r} +\end{align} + +Green's Funktion Ansatz +\begin{align} + &\sbk{\vec{\nabla}^2 + k^2} G^0\sbk{\vec{r}-\vec{r'}} = \delta\sbk{\vec{r}-\vec{r'}} \\ + &\Phi\sbk{\vec{r}} = \intgru{}{r'} G^\sbk{0}\sbk{\vec{r}-\vec{r'}} V\sbk{\vec{r'}} \Phi\sbk{\vec{r'}} + \underbrace{\Phi^\sbk{0}\sbk{\vec{r}}}_{\text{beliebige Lösung der homogenen Gl.}} +\end{align} +\begin{enumerate} + \item für $V = 0$: \equationblock{\Phi\sbk{\vec{r}} = \Phi^\sbk{0}\sbk{\vec{r}} = e^{\i \vec{k} \vec{r}}} + \item in $\bigOb{V}$: \equationblock{\Phi{\vec{r}} \approx \sbk{\intgru{}{\vec{r}} G^\sbk{0}\sbk{\vec{r}-\vec{r'}} v\sbk{\vec{r}} e^{\i \vec{k} \vec{r}}} + e^{\i \vec{r} \vec{r}}} + \item im Prinzip iterieren: + \begin{align} + \Phi &= \Phi^0 + \G^\sbk{0}v \Phi^0 + G^\sbk{0} v G^\sbk{0} \Phi^\sbk{0} + \ldots + &= \frac{1}{1 - G^\sbk{0} v} \Phi^\sbk{0} &\left( geometrische Reihe \right) + \end{align} + formal exakt, praktische ziemlich nutzlos +\end{enumerate} + +\section{Berechnung der Green'schen Funktion} +\begin{align} + \sbk{\vec{\nabla}^2 + k^2} G\sbk{\vec{u}} &= \delta\sbk{\vec{u}} &\left| \intgru{e^{-\i \vec{q} \vec{u}}}{\vec{u}} \right. \\ + \sbk{-\vec{q}^2 + k^2} G\sbk{q} &= 1 \\ + G\sbk{q} &= \frac{1}{k^2 - q^2} \\ + G\sbk{\vec{ u}} &= \intgru{\frac{1}{\sbk{2 \pi}^2} \frac{1}{k^2 - q^2} e^{\i \vec{q} \vec{u}}}{q} \\ + &= \frac{1}{4 \pi^2} \intgr{-1}{+1}{\intgr{0}{\infty}{q^2 \frac{1}{k^2 - q^2} e^{\i q u \cosb{\theta}}}{q}}{\sbk{\cosb{\theta}}} \\ + &= \frac{1}{4 \pi^2} \intgr{0}{\infty}{\frac{q^2}{\i q u} \sbk{e^{\i q u} - e^{-\i q u}} \frac{1}{k^2 - q^2}}{q} \\ + &= \frac{1}{4 \pi^2} \frac{1}{\i n} \intgrinf{\frac{q e^{\i q n}}{k^2 -q^2}}{q} + &= \frac{1}{4 \pi^2} \frac{1}{\i n} \intgrinf{\frac{q e^{\i q u}}{k^2 - q^2 + \i \epsilon}}{q} \\ +\text{Residuensatz} \Rightarrow &= \frac{1}{4 \pi^2} \frac{1}{\i u} 2 \pi \i \underbrace{Res\sbk{q=k}_{\epsilon \rightarrow 0}}_{-\frac{k}{2 k} e^{\i k u} \\ +G\sbk{u} &= -\frac{1}{4 \pi u} e^{\i k u} +\end{align} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/IV/03-03-00.pdf} +% \end{figure} + +\section{Bohr'sche Näherung} +\equationblock{} + +\section{Streuamplitude und differentieller Wirkungsquerschnitt} + +Bsp.: abgeschirmtes Coulomb-Potential + Yukawa Potential + +\begin{align} + V\sbk{r} &= \frac{l^2}{r} l^{-\frac{r}{r_0}} \\ + V\sbk{q} &= \frac{4 \pi l^2}{q}\intgr{0}{\infty}{\sinb{q r'} l^{-\frac{r}{r_0}}}{r'} \\ + &= 4 \pi l^2 \frac{1}{q^2 + \frac{1}{r_0^2}} \\ + \diffTfrac{r}{\Omega} &= \frac{l^2}{4 \mu^2 \tilde{V}^4 \sin^4\sbk{\frac{\theta}{2}}} &\left \tilde{V} = \frac{\hbar k}{\mu} \left. +\end{align} +Rutherford'sche Streuquerschnitt für das Coulomb-Problem diff --git a/kapV-1.tex b/kapV-1.tex new file mode 100644 index 0000000..5384f51 --- /dev/null +++ b/kapV-1.tex @@ -0,0 +1,163 @@ +\chapter{Reine Zustände} +\section{Postulate} +\begin{itemize} + \item P1: Bei vollständiger Kenntnis (Präparation) wird ein System durch einen normierten Vektor + \equationblock{\ket{\Psi} \in \hilbert} beschrieben + \item P2a: Jeder physikalischen Größe entspricht ein hermitescher Operator + \equationblock{A = \sum a_n \ket{n} \bra{n} \text{(Spektraldarstellung)}} + mit Eigenzuständen $\ket{n}$ und reellen Eigenwerten $a_n$ + \equationblock{A = \sum a_n \ket{n} \bra{n} = \sum_\nu a_\nu P_\nu} + mit $P_\nu = \sum_{n : a_n = a_\nu} \ket{n} \bra{n}$ + \item P2b: Eine Messung von A im Zustand $\ket{\Psi}$ gibt Sicherheit einen der Eigenzustände $a_\nu$ + Die Wahrscheinlichkeit, $a_\mu$ zu messen ist: + \begin{align} + \probb{A \cequiv a_\mu}{\ket{\Psi_0}} &= \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{\Psi_0} \\ + &= \braket{\Psi}{n} \braket{m}{\Psi} \\ + &= \spbk{\braket{m}{\Psi}}^2 \\ + &= \sum_k \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{k} \braket{k}{\Psi_0} \\ + &= \sum_k \braket{k}{\Psi_0} \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{k} \\ + &= \tr\sbk{\ket{\Psi_0} \bra{\Psi_0} P_\mu} \\ + &= \tr\sbk{P_{\Psi_0} P_\mu} + \end{align} + mit $P_{\Psi_{0}} = \ket{\Psi_0} \bra{\Psi_0}$ \\ + Konsequenz: ``Erwarutngswert'' oder Mittelwert über viele Messungen in identisch präparierten Zustand $\ket{\Psi_0}$ + \begin{align} + \expval{A_{\Psi_0}} &= \sum_\nu a_\nu \probb{A \cequiv a_\nu}{\ket{\Psi_0}} \\ + &= \sum_\nu a_\nu \dirac{\Psi_0}{P_\nu}{\Psi_0} \\ + &= \dirac{\Psi_0}{A}{\Psi_0} + \end{align} + \item P2c: Unmittelbar nach der Messung des Messwertes $a_\mu$ ist das System im Zustand + \equationblock{\ket{\Psi} = \frac{O_\mu \ket{\Psi_0}}{\norm{P_\mu} \ket{\Psi_0}} \stackrel{a_\mu nicht entartet}{} \ket{m}} + \item P3: Nach einer Messung oder Präparation entwickelt sich der Zustand nach der Schrödingergleichung: + \equationblock{\i \hbar \diffPs{t} \ket{\Psi_0\sbk{t}} = H\sbk{t} \ket{\Psi\sbk{t}}} + mit dem (hermiteschen) Hamiltonoperator $H\sbk{t}$ +\end{itemize} + +\section{Einfaches Beispiel mit Spin $\frac{1}{2}$} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/V/01-02-00.pdf} +% \end{figure} +\begin{itemize} + \item P1: $\hilbert = \setC^2$ \\ + Basis: $\ket{z+}$, $\ket{z-}$ \\ + allgemeiner Zustand: $\ket{\Psi} = c_1 \ket{z+} + c_2 \ket{z-}$ mit $\spbk{c_1}^2 + \spbk{^2} = 1$ + \item P2a: Mögliche physikalische Größen: Messung durch SG in $\vec{n}$ Richtung: + % \begin{figure}[H] \centering + % \includegraphics{pdf/V/01-02-01.pdf} + % \end{figure} + mögliche Messwerte: Eigenwerte von $V_n = \pm 1$ \\ + Eigenvektoren $\ket{n+} = \inlinematrixu{\cosb{\frac{\Theta}{2}} \\ e^{\i \Phi} \sinb{\frac{\Theta}{2}}}$ + $n = \inlinematrixu{\sinb{\Theta}\cosb{\Phi} \\ \sinb{\Theta}\sinb{\Phi} \\ \cosb{\Theta}}$ + \item P2b: $\probb{\Sigma_n \cequiv +1}{\ket{\Psi_0}} = \spbk{\braket{n+}{\Psi_0}}^2$ + \item P2c: Nach der Messung von +1 mit Sicherheit im Zustand $\ket{n+}$ \\ + Besipiel für den Erwartungswert: + \begin{align} + \expval{\Sigma_n}_\ket{\Psi_0} &= \\ + \dirac{\Psi_0}{\Sigma_n}{\Psi_0} &= + \inlinematrixu{c_1^\ast & c_2} \inlinematrixu{n_z & n_x - \i n_y \\ n_x + \i n_y & -n_z} \inlinematrixu{c_1 \\ c_2} + \end{align} + \item P3: Dynamik im Magnetfeld: + \equationblock{H\sbk{t} = - \vec{mu} \vec{B}\sbk{t} = g \mu_b \frac{1}{2} \vec{\Sigma} \cdot \vec{B}\sbk{t}} + Beispiel: $\vec{B}\sbk{t} ) B_z \vec{e_z} \rightarrow H = \frac{\hbar \omega}{2} \Sigma_z$ + mit $\omega = g \mu_b \frac{B}{\hbar}$ + $\text{SG(P3)} = \i \hbar \diffPs{t} \ket{\Psi} = \hbar \frac{\hbar}{2} \Sigma_z \ket{\Psi}$ + $\Psi\sbk{t} = e^{-\frac{\i}{\hbar} H t} \ket{\Psi_0} =$ \\ + $c_1\sbk{0} e^{-\frac{\i \omega t}{2}} \ket{z+} + c_2\sbk{0} e^{+\frac{\i \omega t}{2}} \ket{z-}$ +\end{itemize} + +\chapter{Gemische: Statistischer Operator} +\section{Motivation: Ein Spiel} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/V/02-01-00.pdf} +% \end{figure} + +Alice sendet Bob mit Wahrscheinlichkeit $p_+ = \frac{1}{2}$ den Zustand $\ket{z+}$ und mit $p_- = \frac{1}{2}$ den Zustand $\ket{z-}$ + +Bob weiss nicht ob Alice $\ket{z+}$ oder $\ket{z-}$ geschicket hat. Bob darf aber ein beliebiges Stern-Gerlach-Experiment durchführen. + +Frage: Wie soll Bob seinen Einganszustand beschreiben? +\begin{enumerate} + \item Bobs Experiment(e) zeigen: \\ + $\expval{\Sigma_z} = \expval{\Sigma_x} = \expval{\Sigma_x} = \expval{\Sigma_n}$ \\ + Es gibt kein $\ket{\Psi_0}$ mit $\expval{\Sigma_n}_\ket{\Psi} = 0 \forall n$ \\ + Bobs Kenntnis ist unvollständig (Eingangspräparation) + \item Bobs Input besteht aus einem \textbf{klassischen} Ensemble (Gesamtheit), in dem mit \textbf{klassischer} Wahrscheinlichkeit $p_+ = \frac{1}{2}$ der Zustand $\ket{z+}$ und mit \textbf{klassischer} Wahrscheinlichkeit $p_- = \frac{1}{2}$ der Zustand $\ket{z-}$ enthalten ist. +\end{enumerate} + +\section{Definition des statistischen Operators (Dichtematrix; engl. density matrix)} +Sei $\rho$ ein Operator $\hilbert \rightarrow \hilbert$: +\begin{enumerate} + \item $\rho = \rho^\dagger$ + \item $\tr\sbk{\rho} = 1$ + \item $\dirac{\psi}{\rho}{\psi} \geq 0 \forall \ket{\psi} \in \hilbert$ +\end{enumerate} +bzw. in irgend einer Basis $\sgbk{\ket{n}}$ +\begin{enumerate} + \item $\rho_{nn} = \dirac{n}{\rho}{m} \rho^\ast_{mn}$ + \item $\sum_n \rho_{nn} = 1$ + \item $\sum_{n,m} c_n^\ast \rho_{nm} c_m \geq \forall c_n$ mit $\sum_n \spbk{c_n}^2$ +\end{enumerate} + +\section{Gemisch} +Definition: Ein quantales enthält mit Wahrscheinlichkeit $p_i$ den reinen Zustand $\ket{\psi_i}$ $\sbk{i = 1\ldots M}$ $M$ beliebig, im Allgemeinen ist $M \neq \dim \hilbert$. +\begin{enumerate} + \item $\sum_i^M p_i = 1$ + \item $\braket{\psi_i}{\psi_j} \neq \delta_{ij}$ erlaubt +\end{enumerate} +Dieses quantale Gemisch wird durch den statistischen Operator $\rho = \sum_{i=1}^M p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i} = \sum_{i=1}^M p_i P_{\psi_i}$. + +Alice präpariert $\ket{z+}$ und $\ket{z-}$ Zustand, sie würfelt und wählt dann mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ $\ket{z+}$ und mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ $\ket{z-}$, die sie zu Bob schickt. +Frage: Wie soll Bob den Eingangszustand beschreiben? + +Bobs mögliche Messwerte $\sigma_n$ sind immer noch $\pm1$. +\begin{align} + \prob{\sigma_z \cequiv +1} &= p_{z+} &= \frac{1}{2} \\ + \prob{\sigma_z \cequiv -1} &= p_{z-} &= \frac{1}{2} \\ + \prob{\sigma_n \cequiv +1} &= p_{z+} &= p_{z-} \probb{\sigma_z \cequiv +1}{\ket{z+}} + p_{z-} \probb{\sigma_z \cequiv -1}{\ket{z+}} +\end{align} + +Bsp: $\vec{n} = \vec{e_x}$ +\begin{align} + \prob{\sigma_x \cequiv 1} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \\ + \prob{\sigma_x \cequiv -1} &= &= \frac{1}{2} +\end{align} +$\Rightarrow \ssbk{\sigma_x} = 0$ +Check: +\begin{enumerate} + \item $\rho^\dagger = \sum_i p_i \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = \rho$ + \item \begin{align} + \tr\sbk{\rho} &= \sum_i \dirac{n}{\sum_{i=1}^M P_i}{\psi_i} \braket{\psi_i}{n} \\ + &= \sum_{i=1}^M P_i \spbk{\underbrace{\braket{n}{\psi_i}}_{=1}}^2 = 1 + \end{align} + \item \begin{align} + \dirac{\psi}{\rho}{\psi} &= \dirac{\psi}{\sum_{i=1}^M P_i}{\psi_i} \braket{\psi_i}{\psi} \\ + &= \sum_{i=1}^M P_i \ssbk{\underbrace{\braket{\psi_i}{\psi}}_{\geq 0}}^2 + \end{align} +\end{enumerate} +Bemerkung: +\begin{enumerate} + \item Als Spezialfall enthält der Begriff Gemisch auch den reinen Zustand. $M=1$ gibt $\rho= \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = P_{\ket{\psi_1}}$ + \item für einen reinen Zustand gilt: $\rho^2 = \rho$ +\end{enumerate} +Beweis: $\rho^2 = \rho \cdot \rho = \ket{\psi_1} \braket{\psi_1}{\psi_1} \bra{\psi_1} = \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = \rho$ + +Beispiel: +Alice präpariert mit Wahrscheinlichkeit $p_1$ den Zustand $\ket{z+}$ und mit $p_2$ den Zustand $\ket{x+}$ $\sbk{p_1 + p_2 = 1}$ +\begin{align} + \rho &= p_1 \ket{z+} \bra{z+} + p_2 \ket{x+} \bra{x+} \\ + &= p_1 \inlinematrixu{1 \\ 0} \inlinematrixu{1 & 0} + p_2 \inlinematrixu{\frac{\sqrt{2 }}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2}} \inlinematrixu{\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}} \\ + &= p_1 \inlinematrixu{1 & 0 \\ 0 & 0} + p_2 \inlinematrixu{\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}} \\ + &= \inlinematrixu{p_1 + \frac{p_2}{2} & \frac{p_2}{2} \\ \frac{p_2}{2} & \frac{p_2}{2}} +\end{align} +$\rho^2 = \rho \gdw p_1=1 \text{xor} p_1=0$ + +Bemerkung: +Die Darstellungen eines Gemisches eines + + + + + + + + diff --git a/math.tex b/math.tex index 3f6893a..27d71c2 100644 --- a/math.tex +++ b/math.tex @@ -26,6 +26,7 @@ \newcommand{\im}[1]{{\text{Im}\left( #1 \right)}} \newcommand{\tr}{{\text{tr}}} \newcommand{\sign}{{\text{sign}}} +% \newcommand{\dim}{\text{dim}} \newcommand{\QED}{\begin{large}\textbf{\checkmark}\end{large}} \newcommand{\cequiv}{\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{=}} %ContextEQUIvalent @@ -44,6 +45,8 @@ \newcommand{\sbk}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\sqbk}[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand{\ssbk}[1]{\left< #1 \right>} +\newcommand{\spbk}[1]{{\left| #1 \right|}} +\newcommand{\sgbk}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\detb}[1]{\det\sqbk{#1}} \newcommand{\cosb}[1]{\cos\sbk{#1}} \newcommand{\sinb}[1]{\sin\sbk{#1}} diff --git a/theo2.tex b/theo2.tex index 0fe85df..af040c4 100644 --- a/theo2.tex +++ b/theo2.tex @@ -48,6 +48,7 @@ \include{kapIII-3} \include{kapIII-4} + \part{Näherungsmethoden} \label{IV} \include{kapIV-1} @@ -67,6 +68,11 @@ \include{ueb10} \include{ueb11} +\part{Wiederholung} +\label{V} +\include{kapV-1} + + \part{Formelsammlung} \label{FS} \include{formelsammlung}