teilweise erklärung der brakte-notation

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 \chapter{Notationen}
 \section{Dirac-Notation}
+In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums V auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket $\ket{v}.$
+Jedem Ket $\ket{v}$ entspricht ein Bra $\bra{v}$, das dem Dualraum $\text{V}^*$ angehört, also eine lineare Abbildung von V in den zugrundeliegenden Körper K bezeichnet. Allerdings kann nicht jedes Bra aus dem algebraischen Dualraum mit einem Ket identifiziert werden. Das Ergebnis der Operation eines Bras $\bra{v}$ auf ein Ket $\ket{w}$ wird $\braket{v}{w}$ geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.
+
+\subsection*{Eigenschaften}
+$c_1$, $c_2$, $\in \setC$; $c^*$ ist die komplex-konjugierte Zahl zu $c$, $A$, $B$ sind lineare Operatoren
+
+\subsubsection*{Linearität}
+\equationblock{\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle} \\
+
+Mit der Addition und skalaren Multiplikation von linearen Funktionalen im Dual-Raum gilt:
+\equationblock{\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle}
+
+\subsubsection*{Assoziativität}
+Given any expression involving complex numbers, bras, kets, inner products, outer products, and/or linear operators (but not addition), written in bra-ket notation, the parenthetical groupings do not matter (i.e., the [[associative property]] holds). For example:
+$< \psi| (A |\phi>) = (< \psi|A)|\phi>$
+$(A|\psi>)<\phi| = A(|\psi> < \phi|$
+and so forth. The expressions can thus be written, unambiguously, with no parentheses whatsoever. Note that the associative property does ''not'' hold for expressions that include non-linear operators, such as the antilinear time reversal operator in physics.
+
+\subsubsection*{Adjungierte}
+\begin{itemize}
+	\item Die Adjungierte eines Bra ist der entsprechne Ket (und umgekehrt)
+			\equationblock{\bra{X^\dagger} = \ket{X}}
+	\item Die Adjungierte einer komplexen Zahl ist ihre komplex-konjugierte Zahl
+			\equationblock{c^\dagger = c^\ast}
+	\item Die Adjungierte einer Adjungierten von X ist X (wobei X alles mögliche sein kann)
+			\equationblock{\sbk{X^dagger}^\dagger = X}
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Beispiele}
+\begin{itemize}
+	\item Kets:
+		\equationblock{\left(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle\right)^\dagger = c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|.}
+	\item Inner Product (übersetzen)
+		\equationblock{< \phi | \psi >^* = < \psi|\phi>}
+	\item Matrix-Elemente:
+		\equationblock{< \phi| A | \psi >^* = < \psi | A^\dagger |\phi >}
+		\equationblock{< \phi| A^\dagger B^\dagger | \psi >^* = < \psi | BA |\phi >}
+	\item Outer Product:
+		\equationblock{\left((c_1|\phi_1>< \psi_1|) + (c_2|\phi_2><\psi_2|)\right)^\dagger = (c_1^* |\psi_1>< \phi_1|) + (c_2^*|\psi_2><\phi_2|)}
+\end{itemize}
 
 \chapter{Lineare Algebra}
 \section{Gruppentheorie}
@@ -65,11 +105,11 @@ Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformat
 Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet.
 \subsubsection*{Definition:}
 \begin{equation}
-	\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{f(t) e^{-\i \omega t}}{t}
+	\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \intgrinf{f(t) e^{-\i \omega t}}{t}
 \end{equation}
 Rücktransformation (Fouriersynthese)
 \begin{equation}
-	\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{F(\omega) e^{\i \omega t}}{\omega}
+	\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \intgrinf{F(\omega) e^{\i \omega t}}{\omega}
 \end{equation}
 Hierbei ist $F(\omega)$ das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Frequenz $\omega$ aus den reelle Zahlen angibt.