diff --git a/kapII-3.tex b/kapII-3.tex index 3a69bbf..88f10aa 100644 --- a/kapII-3.tex +++ b/kapII-3.tex @@ -100,3 +100,116 @@ mit j_I &= \frac{\hbar k}{m} &\text{einfallend}\\ j_R &= \frac{\hbar}{m} k \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \equiv R j_I &\text{reflectiert} \end{align} +Strom rechts: $x > 0$ +\begin{align} + j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x} \phi(x > 0) \phi(x > 0)}\\ + &= \frac{\hbar}{m} q C^2\\ + &= \frac{\hbar}{m} q \sbk{\frac{2k}{k + q}}^2 + &\equiv j_T \equiv T j_I +\end{align} +mit dem Reflexionskoeffizient +\begin{equation} + R \equiv \frac{j_R}{j_I} = \left(\frac{k - q}{k + q}\right)^2 +\end{equation} +und dem Transmissionskoeffizient +\begin{equation} + T \equiv \frac{j_T}{j_I} = \frac{q}{k} \left( \frac{2k}{k + q} \right)^2 +\end{equation} +für die gilt: +\begin{equation} + \boxed{R + T = 1} +\end{equation} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-02-01.pdf} +%\end{figure} +Zusammenfassung:\\ +Auch für $E > V_0$ wird ein Teil reflektiert! + +\subparagraph*{Fall 2} $0 < E < V_0$\\ +links: wie oben\\[15pt] +rechts: +\begin{align} + \diffPs{x}^2 \phi(x) &= 2m \frac{V_0 - E}{\hbar^2} \phi(x)\\ + \phi(x) &= C e^{-\kappa x} + D e^{\kappa x} +\end{align} +mit +\begin{equation} + \kappa \equiv \sqrt{\frac{2m (V_0 - E)}{\hbar^2}}; ~ D \stackrel{!}{=} 0 \text{ (explodiert für } x \rightarrow +\infty \text{)} +\end{equation} +Stetigkeit: +\begin{align} + A + B &= C\\[15pt] + \diffPs{x} \phi(x) \cdot i k (A - B) &= -C \kappa\\[15pt] + A &= 1\\ + \rightarrow C &= \frac{2k}{k + i \kappa}\\ + B &= \frac{k - i \kappa}{k + i \kappa} +\end{align} +transmittierter Strom: +\begin{align} + j_T = j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi(x > 0) ~ \phi^*(x > 0)}\\ + &= \frac{\hbar}{m} \im{\frac{(-\kappa) 2 k}{k + i\kappa} \cdot \frac{2k}{k i \kappa} e^{-2 \kappa x}}\\ + &=0\\[15pt] + j_R &= j_I +\end{align} +Wellenfunktion für $x > 0$ +\begin{align} + \phi(x) &= C e^{-\kappa x}\\[15pt] + \rho(x) &= \abs{\phi(x)}^2 = C C^* e^{-2 \kappa x} \neq 0 +\end{align} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf} +%\caption{das Teilchen dringt in die Potentialstufe ein} +%\end{figure} + +\section{Potentialtopf} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-03-00.pdf} +%\caption{gebundene Zustände $0 > E > -\abs{V_0}$} +%\end{figure} +\paragraph*{symmetrische Lösung} +\begin{align} + \abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \cos(q x)\\ + q &= \frac{2m (E + \abs{V_0})}{\hbar^3}\\ + \abs{x} > a: ~ \phi(x) &= B e^{-\kappa \abs{x}}\\ + \kappa^2 &= \frac{2m}{\hbar^2} \abs{E} +\end{align} +Stetigkeit: +\begin{align} + A \cos(q a) &= B e^{-\kappa a} \label{eqn00}\\ + \text{von } \diffPs{x}\phi(0) ~ \rightarrow -A q \sin(q a) &= -\kappa B e^{-\kappa a} \label{eqn01} +\end{align} +teile \ref{eqn01} durch \ref{eqn00}: +\begin{equation} + \tan(q a) = \frac{\kappa}{q} = \frac{\sqrt{\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - (q a)^2}}{q a} +\end{equation} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-03-01.pdf} +%\end{figure} +\begin{itemize} + \item endlich viele diskrete $q$-Werte d.h. $E$-Werte mit Lösung + \item es gibt mindestens eine Lösung +\end{itemize} +für $\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} < \pi^2$ existiert nur eine Lösung +\subparagraph*{Grundzustand $\phi_0$} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-03-02.pdf} +%\end{figure} +\begin{equation} + \phi_0(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} A \cos(q_0) & \abs{x} < a\\ B e^{-\kappa x} & \abs{x} \geq a \end{array} \right. +\end{equation} +$A$, $B$ über Stetigkeit und Normierung berechnen + +\paragraph*{asymmetrische Lösung} +\begin{align} + \abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \sin(q x)\\ + \abs{x} > a: ~ \phi(x) &= \sign(x) e^{-\abs{\kappa} x} +\end{align} +wie oben: +\begin{equation} + \tan(q a) = -\frac{q a}{\sqrt{\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - q a}} +\end{equation} +gibt es nur falls $\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} > \frac{\pi^2}{4}$ +\subparagraph*{Spektrum} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/03-03-03.pdf} +%\end{figure} diff --git a/kapII-4.tex b/kapII-4.tex new file mode 100644 index 0000000..6924156 --- /dev/null +++ b/kapII-4.tex @@ -0,0 +1,191 @@ +\chapter{Symmetrie} +\section{Nichtentartung gebundener Zustände} +\paragraph{Satz} Gebundene Zustände $\left( \phi(x) \xrightarrow{x \rightarrow \pm \infty} 0 \right)$ in einer Dimension sind nicht entartet +\subparagraph{Beweis} durch Wiederspruch: +\begin{align} + -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \phi_1 + V(x) \phi_1 &= E \phi_1 &\left| \phi_2 \right.\\ + -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \phi_2 + V(x) \phi_1 &= E \phi_2 &\left| \phi_1 \right.\\[15pt] + \rightarrow \diffPs{x}^2(\phi_1) \phi_2 + \phi_1 \diffPs{x}^2(\phi_2) &= 0\\ + \diffPs{x}\left( \diffPs{x}(\phi_1) \phi_2 - \phi_1 \diffPs{x}(\phi_2) \right)\\ + \rightarrow \diffPs{x}(\phi_1) \phi_2 - \phi_1 \diffPs{x}(\phi_2) &= \const + &= 0 ~ \left(\text{betrachte } x = \pm \infty \right)\\ + \rightarrow \frac{\diffPs{x}(\phi_1)}{\phi_1} &= \frac{\diffPs{x}(\phi_2)}{\phi_2}\\[15pt] + \rightarrow \phi_1(x) &= \const \cdot \phi_2(x) +\end{align} +\begin{flushright} + $\square$ +\end{flushright} +\section{Parität} +\paragraph{Satz} Falls $V(x) = V(-x)$ können die Eigenfunktionen von $H$ als symmetrisch oder antisymmetrisch gewählt werden. +\subparagraph{Beweis} Sei $\phi(x)$ Lösung der SG. Betrachte $\tilde{\phi}(x) \equiv \phi(-x)$: +\begin{align} + -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2(\phi(x)) + V(x) \tilde{\phi(x)} &= -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2(\tilde{\phi}(x)) + V(-x) \tilde{\phi}(x)\\[15pt] + \rightarrow \frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2(\phi(x)) + V(-x) \phi(-x) &= E \phi(-x)\\ + &= E \tilde{\phi}(x) +\end{align} +Also löst +\begin{equation} + \phi_{S,a}(x) \equiv \phi(x) \pm \phi(-x) +\end{equation} +die SG zu $E$. + +\subparagraph{Alternativer Zugang über Paritätsoperator} +Definiere den Paritätsoperator $\Pi$ als: +\begin{equation} + \Pi \ket{x} \equiv \ket{-x} ~\left[~ \neq -\ket{x} ~\right] +\end{equation} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/04-02-00.pdf} +%\caption{Beispiel für $\Pi$} +%\end{figure} + +\begin{align} + \Pi \ket{\psi} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\Pi \ket{x} \braket{x}{\psi}}{x}\\ + &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\ket{-x} \psi(x)}{x} &(-x = y)\\ + &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\ket{y} \psi(-y)}{(-y)}\\ + &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\ket{y} \psi(-y)}{y} &\left| ~\bra{x} \right.\\ + \rightarrow \dirac{x}{\Pi}{\psi} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\braket{x}{y} \psi(-y)}{y}\\ + \braket{x}{\Pi \psi} &= \psi(-x)\\ + \left( \Pi \psi \right)(x) &= \psi(-x) +\end{align} +Wirkung auf Impulse: +\begin{align} + \dirac{x}{\Pi}{p} &= p(-x)\\ + &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i p}{\hbar} (-x)}\\ + &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i}{\hbar} (-p) x}\\ + &= \braket{x}{-p}\\[15pt] + \Pi \ket{p} &= \ket{-p} +\end{align} +Eigenschaften von $\Pi$: +\begin{align} + \Pi^2 \ket{x} &= \Pi \ket{-x} = \ket{x}\\ + \rightarrow \Pi^2 &= \one\\ + \rightarrow \Pi^{-1} &= \Pi + \rightarrow \text{Eigenwerte} &= \pm 1 +\end{align} +Eigenfunktionen zu $+1$: +\begin{equation} + \Pi \ket{\psi} = +\ket{\psi} +\end{equation} +in Ortsdarstellung +\begin{align} + \braket{x \Pi}{\psi} &= + \braket{x}{\psi} + \psi(-x) &= \psi(x) +\end{align} +$\Pi$ ist hermitesch und unitär.\\[15pt] +Falls $[H, \Pi] = 0$, gibt es eine gemeinsame Eigenbasis; d.h. Eigenfunktionen von $H$ können als symmetrisch bzw. antisymmetrisch gewählt werden.\\[15pt] +Was ist $[H, \Pi]$ ? +\begin{enumerate} + \item $[V(\hat{x}), \Pi]$ + \begin{align} + \dirac{x}{V(\hat{x})\Pi - V(\hat(x)}{x'} &= (V(x) - V(x')) \underbrace{\dirac{x}{\Pi}{x}}_{\braket{x}{-x'} = \delta(-x' - x)}\\ + &= (V(x) - V(x')) \delta(x' + x)\\ + &= \left\lbrace\begin{array}{ll} 0 & \text{falls } x' \neq -x \\ \underbrace{(V(x) - V(x'))}_{= 0 \text{ falls } V(x) = V(-x)}\delta(0) & \text{falls } x' = -x \end{array}\right. + \end{align} + \item $[\hat{p}^2, \Pi]$ + \begin{align} + \dirac{p}{\hat{p}^2 \Pi - \Pi \hat{p}^2}{p'} &= \left(p^2 - {p'}^2 \right) \braket{p \Pi}{p'}\\ + &= \left(p^2 - {p'}^2 \right) \braket{p}{-p'} = 0 + \end{align} +\end{enumerate} +\begin{flushright} + $\square$ +\end{flushright} + +\section{Translationsoperator periodisches Potential\\und Bloch Theorem} +\paragraph{Definition} Translationoperator +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/04-03-00.pdf} +%\end{figure} +\begin{align} + \dirac{x}{T_a}{\psi} &\equiv \psi(x - a)\\ + &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-a)^n}{n!} \diffPfrac{^n}{x^n} \psi(x)\\ + &= e^{-a \diffP{x}} \psi(x)\\ + &= \dirac{x}{e^{-\frac{i a}{\hbar} \hat{p}}}{\psi} +\end{align} +\begin{align} + \rightarrow T_a &= e^{-\frac{i a}{\hbar} \hat{p}}\\ + &\approx \one - \frac{i a}{\hbar} \hat{p} +\end{align} +(Vergleiche: I.5.4 $D_{x/y/z}(\varepsilon) \approx \one - \frac{i \varepsilon}{\hbar} J_{x/y/z}$)\\[15pt] +$T_a$ unitär $\Rightarrow$ Eigenwerte sind vom Typ $\lambda_a = e^{-i \kappa a}$ +\begin{align} + T_a \ket{\phi} &= e^{-i \kappa a} \ket{\phi} &\left| \bra{x} \right.\\ + \phi(x - a) &= e^{-i \kappa a} \phi(x) +\end{align} +mit $\phi(x)$, der Eigenfunktion zu +\begin{equation} + x_a \equiv e^{-i \kappa a} +\end{equation} +(mit $\kappa$ beliebig reell) +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/04-03-01.pdf} +%\caption{Periodisches Potential} +%\end{figure} +Falls $[H, T_a] = 0$ gibt es gemeinsame Eigenfunktionen: +\begin{enumerate} + \item es gilt immer: + \begin{equation} + [\hat{p}^2, T_a] = 0 + \end{equation} + \item $[v(\hat{x}), T_a]$ + \begin{align} + \dirac{x'}{V(x) T_a - T_a V(\hat{x})}{x} &= (V(x) - V(x'))\underbrace{\dirac{x'}{T_a}{x}}_{\braket{x'}{x+a} = \delta(x' - (x - a))}\\ + &= 0 \text{ falls } V(x) = V(x + a) + \end{align} +\end{enumerate} + +\paragraph{Konsequenz (Bloch Theorem)} Es gibt gemeinsame Eigenfunktionen von $H$ und $T_a$: +\begin{align} + H \phi_\kappa(x) &= E \phi_\kappa(x)\\[15pt] + \phi_\kappa(x) &= e^{+i \kappa a} \phi_\kappa(x - a) +\end{align} +d.h. SG im Intervall $[0, a]$ lösen mit Randbedingung: +\begin{equation} + \phi(a) = e^{-i \kappa a} \phi(0) +\end{equation} + +\section{Bandstruktur im Beispiel ``Dirac-Kamm''} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/04-04-00.pdf} +%\end{figure} +\begin{equation} + V(x) = \alpha \sum_{j=-\infty}^{+\infty} \delta(x - j a) +\end{equation} +SG: +\begin{equation} + \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 + V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x) +\end{equation} +für $0 < x < a$: +\begin{equation} + \phi(x) = A \sin(k x) + B \cos(k x) ~, ~ k^2 = \frac{2m E}{\hbar^2} +\end{equation} +für $-a < x < 0$ (Bloch Theorem): +\begin{align} + \phi(x) &= e^{-i \kappa a} \phi(x + a)\\ + &= e^{-i \kappa A} \left[ A \sin(k (x + a)) + B \cos(k (x + a)) \right] +\end{align} +Anschluss bei $x = 0$: +\begin{align} + \phi(+\varepsilon) = \phi(-\varepsilon):~ B &= e^{-i \kappa a} \left( A \sin(k a) + B \cos(k a) \right)\\[15pt] + \diffT{x}\phi(+\varepsilon) - \diffT{x}\phi(-\varepsilon) &= \frac{2m \alpha}{\hbar^2} \phi(0)\\ + k A - e^{-i \kappa} \left(k A \cos(k a) - k B \sin(k a)\right) &= \frac{2 m \alpha}{\hbar^2} B +\end{align} +Lösung falls $\det M = 0$ mit +\begin{equation} + M \inlinematrix{A \\ B} = 0 +\end{equation} +\begin{equation} + \cos(\kappa A) = \cos(k a) + \frac{m \alpha a}{\hbar^2} \frac{\sin(k a)}{k a} +\end{equation} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/04-04-01.pdf} +%\end{figure} +in $z$ ist erlaubt: +\begin{equation} + z_n(\beta) \leq z \leq n\pi +\end{equation} +in $E$ ist erlaubt: +\begin{equation} + \frac{\hbar^2}{2 m a^2} z_n(\beta) \leq E \leq \frac{\hbar^2}{2 m a^2} (\pi n)^2 +\end{equation} diff --git a/kapII-5.tex b/kapII-5.tex new file mode 100644 index 0000000..7476d49 --- /dev/null +++ b/kapII-5.tex @@ -0,0 +1,263 @@ +\chapter{Harmonischer Oszilator} +\section{Algebraische Lösung des Spektrums von $H$} +\begin{align} + H &= \frac{P^2}{2 m} + \frac{m}{2} \omega^2 X^2; \text{ mit } \hat{x} \equiv \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^\frac{1}{2} X; ~ \hat{p} \equiv \left( \frac{1}{\hbar m \omega} \right)^2 P + &= \frac{\hbar \omega}{2} \left( \hat{p}^2 + \hat{x}^2 \right) +\end{align} +mit +\begin{equation} + [\hat{x}, \hat{p}] = i +\end{equation} +\paragraph{Vernichtungsoperator} +\begin{align} + \aDs \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} + i \hat{p} \right)\\ + \aCr \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} - i \hat{p} \right) +\end{align} +daraus ergeben sich $\hat{x}$ und $\hat{p}$ als: +\begin{align} + \hat{x} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aDs + \aCr \right)\\ + \hat{p} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aDs - \aCr \right) +\end{align} + +\subparagraph{Kommutator} +\begin{align} + [\aDs, \aCr] &= \frac{1}{2} [\hat{x} + i \hat{p}, \hat{x} - i \hat{p}]\\ + &= -i[\hat{x}, \hat{p}]\\ + &= \one = 1 +\end{align} +eingesetzt in $H$: +\begin{align} + H &= \frac{\hbar \omega}{2} \left( \hat{p}^2 + \hat{x}^2 \right)\\ + &= \frac{\hbar \omega}{4} \left( -\left( \aCr\aCr - \aDs\aCr - \aDs\aCr + \aDs\aDs \right) + \left( \aDs\aDs + \aDs\aCr + \aCr\aDs + \aCr\aCr \right) \right)\\ + &= \frac{\hbar \omega}{4} \left( 2\aDs\aCr + 2\aCr\aDs \right)\\ + &= \frac{\hbar \omega}{2} \left( 2\aCr\aDs + \one \right)\\ + &= \hbar \omega \left( \aCr\aDs + \frac{\one}{2} \right) +\end{align} + +\paragraph{Anzahloperator} +\begin{equation} + \nOp \equiv \aCr \aDs +\end{equation} + +\subparagraph{Kommutatoren} +\begin{align} + [\nOp, \aDs] &= [\aCr\aDs, \aDs] = [\aCr, \aDs] \aDs = -\aDs\\ + [\nOp, \aCr] &= [\aCr\aDs, \aCr] = \aDs [\aDs, \aDs] = \aCr +\end{align} + +\subparagraph*{Spektrum von $\nOp$} +\begin{enumerate} + \item Sei $\ket{\nu}$ Eigenvektor von $\nOp$ mit Eigenwert $\nu$: + \begin{equation} + \nOp \ket{\nu} = \nu \ket{\nu} \text{ mit } \braket{\nu}{\nu} > 0 + \end{equation} + \item + \begin{align} + \nOp \aDs \ket{\nu} &= \aCr \aDs \aDs \ket{\nu}\\ + &= \left( \aDs \aCr - \one \right) \aDs \ket{\nu}\\ + &= \aDs \nOp \ket{\nu} - \aDs \ket{\nu}\\ + &= \aDs \cdot \nu \ket{\nu} - \aDs \ket{\nu}\\ + &= \left(\nu - 1\right) \aDs \ket{\nu} + \end{align} + $\rightarrow$ $\aDs\ket{\nu}$ ist Eigenvektor von $\nOp$ zum Eigenwert $\left( \nu - 1 \right)$\\ + \underline{oder}: + \begin{equation} + \aDs\ket{\nu} = \zero \text{ (Nullvektor)} + \end{equation} + \item + \begin{equation} + 0 \leq \norm{\aDs \ket{\nu}}^2 = \braket{\nu}{\aCr \aDs \nu} = \nu \underbrace{\braket{\nu}{\nu}}_{\geq 0} + \end{equation} + %\begin{figure}[h] + %\includegraphics{pdf/II/05-01-00.pdf} + %\end{figure} + Die obige Ungleichung wäre nach mehrfacher Anwendung von $\aDs \ket{\nu}$ verletzt wenn anfänglich $\nu$ keine ganze positive Zahl ist. + \item + \begin{align} + \nOp \aCr \ket{\nu} &= \aCr \aDs \aCr \ket{\nu}\\ + &= \aCr \left( \aCr \aDs + 1 \right)\ket{\nu}\\ + &= \aCr \left( \nu + 1 \right) \ket{\nu}\\ + &= \left( \nu + 1 \right) \aCr \ket{\nu} + \end{align} + \item + \begin{align} + 0 \leq \norm{\aCr \ket{\nu}}^2 &= \braket{\nu}{\aDs \aCr \nu} = \dirac{\nu}{\aCr \aDs + 1}{\nu}\\ + &= \left( \nu + 1 \right) \aCr \ket{\nu} + \end{align} + $\rightarrow$ kein Problem +\end{enumerate} +Daraus ergibt sich das Spektrum von $\nOp$: +\begin{equation} + \nOp \ket{n} = n \ket{n} \text{ mit } n \in \setZ^+_0 +\end{equation} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/05-01-01.pdf} +%\end{figure} +und das Spektrum von $H$: +\begin{equation} + H \ket{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \ket{n} +\end{equation} +\begin{enumerate} + \item nur diskrete Eigenwerte erlaubt: Quantisierung + \item Grundzustandsenergie (auch Nullzustandsenergie): + \begin{equation} + E_0 = \frac{\hbar \omega}{2} + \end{equation} + \item Es gilt: + \begin{equation} + a \ket{0} = \ket{\zero} + \end{equation} + \item klassischer harmonischer Oszilator (mit $m = 1\text{kg}$; $\omega = \frac{1}{\text{sec}}$): + \begin{align} + \Delta E &= E_{n+1} - E_n = 10^{-34}\text{J}\\ + E_0 &= \frac{m}{2} \omega^2 x^2 = 1 \text{J} + \end{align} +\end{enumerate} + +\paragraph*{Matrixelemente der Erzeuger- und Vernichter-Operatoren} +\begin{align} + \aCr \ket{n} &= c_n \ket{n+1} ~ \left( \ket{n} \text{ seien normiert} \right)\\[15pt] + \rightarrow \abs{c_n}^2 &= \dirac{n}{\aDs \aCr}{n}\\ + &= \dirac{n}{\aCr\aDs + 1}{n}\\ + &= (n + 1) \underbrace{\braket{n}{n}}_{1}\\[15pt] + \rightarrow c_n &= \sqrt{n + 1} \text{ (Phase absichtlich 1 gesetzt)} +\end{align} +daraus ergibt sich +\begin{equation} + \aCr \ket{n} = \sqrt{n + 1} \ket{n + 1} \label{eqn03} +\end{equation} +insbesondere +\begin{align} + \aCr \ket{0} &= 1 \ket{1} \Rightarrow \ket{1} = \aCr \ket{0}\\ + \aCr \ket{1} &= \sqrt{2} \ket{2} \Rightarrow \ket{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \aCr \ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1}} \aCr \aCr \ket{0} +\end{align} +und analog zu \ref{eqn03} gilt: +\begin{equation} + \aDs \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n - 1} +\end{equation} +Man erhält nun aus dem Obigen die allgemeine Form für $\ket{n}$: +\begin{equation} + \boxed{\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \left( \aCr \right)^n \ket{0}} +\end{equation} +Die Matrixelemente von $\aCr$ sind dann: +\begin{align} + \dirac{n'}{\aCr}{n} &= \sqrt{n + 1} \braket{n'}{n + 1}\\ + &= \sqrt{n + 1} \krondelta{n', n + 1} +\end{align} +und ebenso die Matrixelemente von $a = \left( \aCr \right)^\dagger$: +\begin{align} + \dirac{n'}{\aDs}{n} &= \dirac{n}{\aCr}{n}\\ + &= \sqrt{n} \krondelta{n, n + 1} +\end{align} +als Matrix: +\begin{align} + \aDs &= \inlinematrix{ + 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & + }\\ + \aCr &= \inlinematrix{ + 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ + \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & 0 & \ddots & \\ + \vdots & \vdots & \vdots & & + }\\ + \aDs\aCr &= \inlinematrix{ + 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & 2 & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & 3 & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & 0 & \ddots & \\ + \vdots & \vdots & \vdots & & + }\\ + \aCr\aDs &= \inlinematrix{ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & + } +\end{align} +\begin{equation} + \left( \left[\aDs, \aCr \right] = \right) \aDs\aCr - \aCr\aDs = 1 +\end{equation} +\begin{align} + \hat{x} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{ + 0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ + \sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ddots & \\ + 0 & 0 & 0 & \ddots & \ddots & \\ + \vdots & \vdots & \vdots & & & + }\\ + \hat{p} &= \frac{i}{\sqrt{2}} \inlinematrix{ + 0 & -\sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ + \sqrt{1} & 0 & -\sqrt{2} & 0 & 0 & \cdots \\ + 0 & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3} & 0 & \cdots \\ + 0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ddots & \\ + 0 & 0 & 0 & \ddots & \ddots & \\ + \vdots & \vdots & \vdots & & & + }\\ +\end{align} +\begin{align} + \left[ \hat{x}, \hat{p} \right] &= i \one\\[15pt] + \tr\left[ \hat{x}, \hat{p} \right] &= \tr\left( i \one \right)\\ + \tr\left( \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} \right) &= \tr\left( i \one \right)\\ + 0 &= i \infty \text{ (falls Spur zyklisch $\leftarrow$ gilt nur für endliche Räume)} +\end{align} + +\section{Wellenfunktion im Ortsaum} +Gesucht: +\begin{align} + \phi_n(x) &= \braket{x}{n}\\ + \phi_0(x) &= \braket{x}{0} +\end{align} +Wir wissen: +\begin{equation} + \aDs \ket{0} = \zero +\end{equation} +daraus ergibt sich +\begin{align} + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} + i\hat{p} \right) \ket{0} &= \zero &\left| \bra{x} \right.\\ + \dirac{x}{\hat{x} + i\hat{p}}{0} &= 0\\ + x + i(-i) \diffPs{x} \phi_0(x) &= 0 &\left(\text{denn: } \dirac{x}{\hat{p}}{\psi} = -i \hbar \diffPs{x} \psi(x) \right)\\ + \rightarrow \left(x - \diffPs{x} \right) \phi_0(x) &= 0\\ + \phi_0(x) &= c \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} +\end{align} +Normierung: +\begin{equation} + \intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_0(x) \phi_0^*(x)}{x} \stackrel{!}{=} 1 ~ \rightarrow ~ c = \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} +\end{equation} +%\begin{figure}[h] +%\includegraphics{pdf/II/05-02-00.pdf} +%\end{figure} +\paragraph*{Angeregte Zustände} +\begin{align} + \ket{1} &= \aCr \ket{0} &\left| \bra{x} \right.\\[15pt] + \phi_0(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) \phi_0(x)\\ + &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} e^{-\frac{x^2}{2}}\\ + &= \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{1}{4}} x e^{-\frac{x^2}{2}}\\[15pt] + \phi_2(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{1}{4}} x e^{-\frac{x^2}{2}} \right)\\ + &= \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} \left( 2x^2 - 1 \right) e^{-\frac{x^2}{2}} +\end{align} +allgemein: +\begin{align} + \ket{n} &= \frac{\left( \aCr \right)^n}{\sqrt{n!}} \ket{0} &\left| \bra{x} \right.\\ + \phi_n(x) &= \frac{1}{\sqrt{n!}} \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^n}} \left( x - \diffPs{x} \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}} +\end{align} +$Q_n$ ist symmetrisch für $n = 2k$, antisymmetrisch für $n = 2k + 1$ und hat $n$ Nullstellen. + +\paragraph*{Erwartungswerte} +\begin{align} + < \hat{x} >_\ket{n} &= \dirac{n}{\hat{x}}{n}\\ + &= \frac{1}{\sqrt{2}} \dirac{n}{\aCr + \aDs}{n}\\ + &= \frac{1}{\sqrt{2}} \bra{n} \left( \sqrt{n + 1} \ket{n + 1} + \sqrt{n} \ket{n - 1}\right)\\ + &= 0\\[15pt] + < \hat{p} >_\ket{n} &= 0 +\end{align} +Wegen Ehrenfest: + diff --git a/math.tex b/math.tex index bb74e73..53d8d5a 100644 --- a/math.tex +++ b/math.tex @@ -22,6 +22,7 @@ \newcommand{\re}[1]{{\text{Re}\left( #1 \right)}} \newcommand{\im}[1]{{\text{Im}\left( #1 \right)}} \newcommand{\tr}{{\text{tr}}} +\newcommand{\sign}{{\text{sign}}} \newcommand{\QED}{\begin{large}\textbf{\checkmark}\end{large}} \newcommand{\cequiv}{\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{=}} diff --git a/physics.tex b/physics.tex index 11d736d..0583b04 100644 --- a/physics.tex +++ b/physics.tex @@ -5,7 +5,12 @@ \newcommand{\hilbert}{\mathcal{H}} \newcommand{\one}{\mathbbm{1}} +\newcommand{\zero}{\pmb{0}} +\newcommand{\aDs}{{\hat{a}}} +\newcommand{\aCr}{{\aDs^\dagger}} +\newcommand{\nOp}{{\hat{n}}} \newcommand{\probb}[2]{\text{prob}\left[ #1\vphantom{#2} \right. \left| \vphantom{#1}#2 \right]} \newcommand{\prob}[1]{\text{prob}\left[ #1 \right]} \newcommand{\diffPs}[1]{\partial_{#1}} +\newcommand{\const}{{\text{const.}}} \ No newline at end of file diff --git a/theo2.kilepr b/theo2.kilepr index cc61e5b..efdbf00 100644 --- a/theo2.kilepr +++ b/theo2.kilepr @@ -3,7 +3,7 @@ img_extIsRegExp=false img_extensions=.eps .jpg .jpeg .png .pdf .ps .fig .gif kileprversion=2 kileversion=2.0 -lastDocument=ueb1.tex +lastDocument=kapII-5.tex masterDocument= name=Theo2 pkg_extIsRegExp=false @@ -20,18 +20,18 @@ archive=true column=0 encoding=UTF-8 highlight=LaTeX -line=3 -open=true -order=6 +line=0 +open=false +order=2 [item:kapI-1.tex] archive=true -column=35 -encoding=UTF-8 +column=0 +encoding= highlight=LaTeX line=0 -open=true -order=4 +open=false +order=5 [item:kapI-2.tex] archive=true @@ -98,40 +98,58 @@ order=-1 [item:kapII-2.tex] archive=true -column=10936 -encoding= -highlight= +column=33 +encoding=UTF-8 +highlight=LaTeX line=0 open=false -order=-1 +order=2 [item:kapII-3.tex] archive=true column=0 -encoding= -highlight= -line=0 -open=false -order=-1 - 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