From 7aa9575f2ec1c75efce2c321943576427f849012 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Wed, 9 Jul 2008 15:56:01 +0200 Subject: [PATCH] [vorlesung] kapitel II-5 fertig (bis auf bilder) --- kapII-5.tex | 123 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 123 insertions(+) diff --git a/kapII-5.tex b/kapII-5.tex index 4e9e49b..f9afd39 100644 --- a/kapII-5.tex +++ b/kapII-5.tex @@ -260,4 +260,127 @@ $Q_n$ ist symmetrisch für $n = 2k$, antisymmetrisch für $n = 2k + 1$ und hat $ < \hat{p} >_\ket{n} &= 0 \end{align} Wegen Ehrenfest: +\begin{align} + \diffT{t}< \hat{x} >(t) &= < \hat{p} >(t) \frac{1}{m}\\[15pt] + \diffT{t}< \hat{p} >(t) &= -\left< \diffTfrac{V(x)}{x} \right>\\ + &= -m \omega < \hat{x} >(t) +\end{align} +\paragraph{Grundzustand} Varianz: +\begin{align} + \varianz{x}{\ket{0}}^2 &\equiv \dirac{0}{(x - )^2}{0} &\left( = 0\right)\\ + &= \dirac{0}{x^2}{0}\\ + &= \dirac{0}{\frac{1}{2} \left( \aCr + \aDs \right)^2}{0}\\ + &= \frac{1}{2} \dirac{0}{\left( \aCr\ \right)^2 + \aCr\aDs + \aDs\aCr + \left( \aDs \right)^2}{0}\\ + &= \frac{1}{2} \dirac{0}{\aDs\aCr}{0}\\ + &= \frac{1}{2} \dirac{0}{\aDs}{1}\\ + &= \frac{1}{2} \braket{0}{0}\\ + &= \frac{1}{2}\\[15pt] + \varianz{p}{\ket{0}}^2 &= \frac{1}{2} ~ \text{(genauso wie oben)}\\[15pt] + \varianz{x}{\ket{0}}\varianz{p}{\ket{0}} &= \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \abs{\dirac{0}{[x, p]}{0}} = \frac{1}{2} +\end{align} + +\section{Darstellung durch Hermitepolynome} +\paragraph*{Definition} Sei $H_n(x)$ ein Hermitepolynom definiert durch: +\begin{align} + \phi_n &\equiv \sqrt{\frac{1}{2^n n! \sqrt{n}}} e^{-\frac{x^2}{2}} H_n(x)\\[15pt] + \rightarrow H_n(x) &= e^\frac{x^2}{2} \left( \sqrt{2} \aCr \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}}\\ + &= e^{(x^2)} \underbrace{e^{-\frac{x^2}{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) e^\frac{x^2}{2}}_{(-1)^n \diffPfrac{^n}{x^n}} e^{(-x^2)}\\ + &= (-1)^n e^{(x^2)} \left( \diffP{x} \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}} +\end{align} +Beispiele: +\begin{equation} + H_0(x) = 1; ~ H_1(x) = 2x; ~ H_2(x) = 4x^2 - 2 +\end{equation} + +\subparagraph*{Eigenschaften} +\begin{enumerate} + \item Orthogonalität + \begin{equation} + \intgr{-\infty}{+\infty}{H_n(x) H_m(x) e^{(-x^2)}}{x} = \sqrt{\pi} 2^n n! + \end{equation} + denn: + \begin{equation} + \intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_n^*(x)\phi_m(x)}{x} = \krondelta{n,m} + \end{equation} + \item Vollständigkeit + \begin{equation} + \sum_{n = 0}^{\infty} \phi_n(x)\phi_n(x') = \delta(x - x') + \end{equation} + \item DGL: + \begin{equation} + \left( \diffPs{x}^2 - 2x \diffPs{x} + 2n \right) H_n(x) = 0 + \end{equation} + \item Erzeugende Funktion + \begin{equation} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} H_n(x) = e^{-t^2 + 2 t x} + \end{equation} +\end{enumerate} + +\section{Spektrum von $H$ aus der DGL} +Die stationäre Schrödingergleichung ist wiefolgt: +\begin{equation} + \left( \frac{-\hbar^2}{2m} \diffPs{X}^2 + \frac{m}{2} X^2 \right) \Phi(X) = E \Phi(X) +\end{equation} +mit +\begin{equation} + x = \frac{X}{X_0}; ~ p = P \cdot X_0; ~ X_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega_0}} +\end{equation} +Also ergibt sich: +\begin{equation} + \rightarrow \left( \right) \phi(x) = \varepsilon \phi(x) +\end{equation} +Wir suchen normierbare Lösungen $\left(\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi^2(x)}{x} < \infty\right)$ für $x \rightarrow \pm \infty$. Wir verwenden den Ansatz +\begin{equation} + \phi(x) \tilde e^{-\alpha x^m} +\end{equation} +und erhalten +\begin{equation} + -\frac{1}{2} \left( (-\alpha m) (-\alpha (m - 1)) \alpha x^{m - 2} + \alpha^2 m^2 x^{2(m - 1)}\right) + \frac{1}{2}x^2 = 0 +\end{equation} +für $x \rightarrow \infty$: +\begin{equation} + \phi(x) \rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}} +\end{equation} +neuer Ansatz: +\begin{equation} + \phi(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot u(x) +\end{equation} +eingesetzt in die statische Schrödingergleichung: +\begin{align} + -\frac{1}{2} \diffPs{x}^2(u) + \diffPs{x}(u) \cdot x + \frac{1}{2} u x^2 &= \varepsilon u ~ \text{(exakt)}\\ + \diffPs{x}^2(u) - 2x \diffPs{x}(u) + (2\varepsilon - 1) u &= 0 +\end{align} +mit dem Ansatz +\begin{equation} + u(x) = \sum_{n = 0}^\infty b_n x^n +\end{equation} +ergibt sich +\begin{align} + \sum_{n=2}^\infty b_n n(n-1) x^{n-2} - 2x\sum_{n=1}^\infty b_n n x^{n-1} + (2 \varepsilon - 1) \sum_{n = 0}^\infty b^n x^n &= 0\\ + \sum_{n=0}^\infty b_{n+2} (n+2)(n+1) x^n + \sum_{n=0}^\infty b_n \left[ (2\varepsilon - 1) - 2n \right] x^n &= 0 +\end{align} +und damit +\begin{equation} + b_{n+2} = \frac{2n - (2\varepsilon - 1)}{(n+2)(n+1)} b_n +\end{equation} +Scheinbar lässt sich für alle $\varepsilon$ eine Lösung für gegebene $b_0, b_1$ finden.\\ +\underline{Aber:} Die Lösung muss normierbar sein. + +\begin{equation} + \frac{b_{n+2}}{b_n} \rightarrow \frac{2}{n} ~ \text{für} ~ n \rightarrow \infty +\end{equation} +Mit +\begin{equation} + e^{\left( x^2 \right)} = \sum_k \frac{1}{k!} x^{2k} = \sum_n \frac{1}{\left(\frac{n}{2}\right)!} x^n +\end{equation} +für $b_n$ erhält man +\begin{equation} + \frac{b_{n+2}}{b_n} = \frac{\left(\frac{n}{2}\right)!}{\left(\frac{n+2}{2}\right)!} = \frac{2}{n+2} \rightarrow \frac{2}{n} +\end{equation} +\underline{Also:} Rekursion muss abbrechen, d.h. $b_{\tilde{n}} = 0$ für irgendein $\tilde{n}$. +\begin{align} + 2n - (2\varepsilon - 1) &= 0\\ + \rightarrow \varepsilon &= n + \frac{1}{2} +\end{align} +(Quantisierung und Eigenfunktionen wir vorhin!) \ No newline at end of file