From 5eead8bc42d81caff222d68fcb949cb9720552fe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Tue, 8 Jul 2008 12:48:38 +0200 Subject: [PATCH 1/8] [vorlesung] rechenfehler gefixt --- kapII-5.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/kapII-5.tex b/kapII-5.tex index 7476d49..4e9e49b 100644 --- a/kapII-5.tex +++ b/kapII-5.tex @@ -224,8 +224,8 @@ daraus ergibt sich \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} + i\hat{p} \right) \ket{0} &= \zero &\left| \bra{x} \right.\\ \dirac{x}{\hat{x} + i\hat{p}}{0} &= 0\\ - x + i(-i) \diffPs{x} \phi_0(x) &= 0 &\left(\text{denn: } \dirac{x}{\hat{p}}{\psi} = -i \hbar \diffPs{x} \psi(x) \right)\\ - \rightarrow \left(x - \diffPs{x} \right) \phi_0(x) &= 0\\ + \left(x + i(-i) \diffPs{x}\right) \phi_0(x) &= 0 &\left(\text{denn: } \dirac{x}{\hat{p}}{\psi} = -i \hbar \diffPs{x} \psi(x) \right)\\ + \rightarrow \left(x + \diffPs{x} \right) \phi_0(x) &= 0\\ \phi_0(x) &= c \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align} Normierung: From 25304e2b695009bb74221b78861ff2ac169c0b85 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Tue, 8 Jul 2008 12:49:13 +0200 Subject: [PATCH 2/8] =?UTF-8?q?workarround=20f=C3=BCr=20erzeugeroperator?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- physics.tex | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/physics.tex b/physics.tex index 0583b04..fd7597d 100644 --- a/physics.tex +++ b/physics.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \newcommand{\one}{\mathbbm{1}} \newcommand{\zero}{\pmb{0}} \newcommand{\aDs}{{\hat{a}}} -\newcommand{\aCr}{{\aDs^\dagger}} +\newcommand{\aCr}{{{}\aDs^\dagger}} \newcommand{\nOp}{{\hat{n}}} \newcommand{\probb}[2]{\text{prob}\left[ #1\vphantom{#2} \right. \left| \vphantom{#1}#2 \right]} From 782b578ed0029ee0090378d9aa16e4c855421519 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Wed, 9 Jul 2008 15:53:58 +0200 Subject: [PATCH 3/8] =?UTF-8?q?[vorlesung]=20kapI-1=20aufger=C3=A4umt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- kapI-1.tex | 53 ++++++++++++++++++++--------------------------------- 1 file changed, 20 insertions(+), 33 deletions(-) diff --git a/kapI-1.tex b/kapI-1.tex index b995c07..599a77a 100644 --- a/kapI-1.tex +++ b/kapI-1.tex @@ -1,6 +1,6 @@ \chapter{Stern-Gerlach-Experimente} \section{Versuchsaufbau (1921)} -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-001.pdf} \caption{Versuchsskizze} \end{figure} @@ -28,93 +28,80 @@ dominiert \end{equation} Wir erwarten, dass $\overrightarrow{\mu}$ unpolarisiert ist mit $\mu_z = abs(\mu) \cos \theta$ mit $\theta$ zufällig $p(\theta) = \frac{2\pi}{4\pi} \sin \theta$ und damit auf dem Schirm: -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-002.pdf} \caption{klassisches Histogramm} \end{figure} Das Ergebnis, insbesondere 3. ist klassisch nicht zu verstehen! \section{Schlüsselexperimente} -Kurzdarstellung: - -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-003.pdf} - bzw. - \includegraphics{1-004.pdf} +\caption{Kurzdarstellung} \end{figure} - -$SG, n$ sei ein in $\overrightarrow{n}$ Richtung orientierter Magnet. - -Physikalische Eigenschaft: Spin ($\cequiv$ Auslenkung) in $+\overrightarrow{n}$ Richtung +$SG, n$ sei ein in $\vec{n}$ Richtung orientierter Magnet.\\ +Physikalische Eigenschaft: Spin ($\cequiv$ Auslenkung) in $+\vec{n}$ Richtung \begin{equation} \sigma_n = \underbrace{\pm 1}_\text{mögliche Messwerte} \end{equation} -\pagebreak %pfusch!! \subsection*{Ex. 1} -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-005.pdf} \end{figure} Fazit: Wiederholung der gleichen Messung führt auf das identische Ergebnis. \subsection*{Ex. 2} \subsubsection*{a} -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-006.pdf} \end{figure} - Fazit: Die $x$-Messung hat den $z$-Spin beeinflusst. \subsubsection*{b} -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-007.pdf} \end{figure} -\pagebreak %pfusch! - \subsection*{Ex. 3} -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-008.pdf} \end{figure} - -\section*{Superposition VS Messung} -\begin{figure}[h] +\section{Superposition VS Messung} +Zur Erinnerung: +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-009.pdf} \end{figure} \subsection*{Ex. 4} -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-010.pdf} \end{figure} Fazit: Wird $\sigma_x$ nicht gemessen bleibt $\sigma_z$ erhalten. -\pagebreak %pfusch! - \subsection*{Ex. 5 (Peres)} \subsubsection*{a} -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-011.pdf} \end{figure} \subsubsection*{b} -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-012.pdf} \end{figure} \subsubsection*{c} -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-013.pdf} \end{figure} -\pagebreak %pfusch! - \subsubsection*{d} -Wenn der mittlere $SG, x$ immer schwächer wird ($B_x \rightarrow 0$), muss sich das Muster auf dem so verändern -\begin{figure}[h] +\begin{figure}[H] \centering \includegraphics{1-014.pdf} \end{figure} -$\Rightarrow$ Intereferenz +Wenn der mittlere $SG, x$ immer schwächer wird ($B_x \rightarrow 0$), muss sich das Muster auf dem Schirm wie oben gezeigt verändern.\\ +$\Rightarrow$ Intereferenz! From a2508b3424f5cab7389b84829e81a56334cb13e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Wed, 9 Jul 2008 15:55:33 +0200 Subject: [PATCH 4/8] =?UTF-8?q?makro=20f=C3=BCr=20varianz=20hinzugef=C3=BC?= =?UTF-8?q?gt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- physics.tex | 4 +++- 1 file changed, 3 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/physics.tex b/physics.tex index fd7597d..c849d77 100644 --- a/physics.tex +++ b/physics.tex @@ -13,4 +13,6 @@ \newcommand{\probb}[2]{\text{prob}\left[ #1\vphantom{#2} \right. \left| \vphantom{#1}#2 \right]} \newcommand{\prob}[1]{\text{prob}\left[ #1 \right]} \newcommand{\diffPs}[1]{\partial_{#1}} -\newcommand{\const}{{\text{const.}}} \ No newline at end of file +\newcommand{\const}{{\text{const.}}} + +\newcommand{\varianz}[2]{{\left(\Delta #1 \right)_{#2}}} From 7aa9575f2ec1c75efce2c321943576427f849012 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Wed, 9 Jul 2008 15:56:01 +0200 Subject: [PATCH 5/8] [vorlesung] kapitel II-5 fertig (bis auf bilder) --- kapII-5.tex | 123 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 123 insertions(+) diff --git a/kapII-5.tex b/kapII-5.tex index 4e9e49b..f9afd39 100644 --- a/kapII-5.tex +++ b/kapII-5.tex @@ -260,4 +260,127 @@ $Q_n$ ist symmetrisch für $n = 2k$, antisymmetrisch für $n = 2k + 1$ und hat $ < \hat{p} >_\ket{n} &= 0 \end{align} Wegen Ehrenfest: +\begin{align} + \diffT{t}< \hat{x} >(t) &= < \hat{p} >(t) \frac{1}{m}\\[15pt] + \diffT{t}< \hat{p} >(t) &= -\left< \diffTfrac{V(x)}{x} \right>\\ + &= -m \omega < \hat{x} >(t) +\end{align} +\paragraph{Grundzustand} Varianz: +\begin{align} + \varianz{x}{\ket{0}}^2 &\equiv \dirac{0}{(x - )^2}{0} &\left( = 0\right)\\ + &= \dirac{0}{x^2}{0}\\ + &= \dirac{0}{\frac{1}{2} \left( \aCr + \aDs \right)^2}{0}\\ + &= \frac{1}{2} \dirac{0}{\left( \aCr\ \right)^2 + \aCr\aDs + \aDs\aCr + \left( \aDs \right)^2}{0}\\ + &= \frac{1}{2} \dirac{0}{\aDs\aCr}{0}\\ + &= \frac{1}{2} \dirac{0}{\aDs}{1}\\ + &= \frac{1}{2} \braket{0}{0}\\ + &= \frac{1}{2}\\[15pt] + \varianz{p}{\ket{0}}^2 &= \frac{1}{2} ~ \text{(genauso wie oben)}\\[15pt] + \varianz{x}{\ket{0}}\varianz{p}{\ket{0}} &= \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \abs{\dirac{0}{[x, p]}{0}} = \frac{1}{2} +\end{align} + +\section{Darstellung durch Hermitepolynome} +\paragraph*{Definition} Sei $H_n(x)$ ein Hermitepolynom definiert durch: +\begin{align} + \phi_n &\equiv \sqrt{\frac{1}{2^n n! \sqrt{n}}} e^{-\frac{x^2}{2}} H_n(x)\\[15pt] + \rightarrow H_n(x) &= e^\frac{x^2}{2} \left( \sqrt{2} \aCr \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}}\\ + &= e^{(x^2)} \underbrace{e^{-\frac{x^2}{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) e^\frac{x^2}{2}}_{(-1)^n \diffPfrac{^n}{x^n}} e^{(-x^2)}\\ + &= (-1)^n e^{(x^2)} \left( \diffP{x} \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}} +\end{align} +Beispiele: +\begin{equation} + H_0(x) = 1; ~ H_1(x) = 2x; ~ H_2(x) = 4x^2 - 2 +\end{equation} + +\subparagraph*{Eigenschaften} +\begin{enumerate} + \item Orthogonalität + \begin{equation} + \intgr{-\infty}{+\infty}{H_n(x) H_m(x) e^{(-x^2)}}{x} = \sqrt{\pi} 2^n n! + \end{equation} + denn: + \begin{equation} + \intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_n^*(x)\phi_m(x)}{x} = \krondelta{n,m} + \end{equation} + \item Vollständigkeit + \begin{equation} + \sum_{n = 0}^{\infty} \phi_n(x)\phi_n(x') = \delta(x - x') + \end{equation} + \item DGL: + \begin{equation} + \left( \diffPs{x}^2 - 2x \diffPs{x} + 2n \right) H_n(x) = 0 + \end{equation} + \item Erzeugende Funktion + \begin{equation} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} H_n(x) = e^{-t^2 + 2 t x} + \end{equation} +\end{enumerate} + +\section{Spektrum von $H$ aus der DGL} +Die stationäre Schrödingergleichung ist wiefolgt: +\begin{equation} + \left( \frac{-\hbar^2}{2m} \diffPs{X}^2 + \frac{m}{2} X^2 \right) \Phi(X) = E \Phi(X) +\end{equation} +mit +\begin{equation} + x = \frac{X}{X_0}; ~ p = P \cdot X_0; ~ X_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega_0}} +\end{equation} +Also ergibt sich: +\begin{equation} + \rightarrow \left( \right) \phi(x) = \varepsilon \phi(x) +\end{equation} +Wir suchen normierbare Lösungen $\left(\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi^2(x)}{x} < \infty\right)$ für $x \rightarrow \pm \infty$. Wir verwenden den Ansatz +\begin{equation} + \phi(x) \tilde e^{-\alpha x^m} +\end{equation} +und erhalten +\begin{equation} + -\frac{1}{2} \left( (-\alpha m) (-\alpha (m - 1)) \alpha x^{m - 2} + \alpha^2 m^2 x^{2(m - 1)}\right) + \frac{1}{2}x^2 = 0 +\end{equation} +für $x \rightarrow \infty$: +\begin{equation} + \phi(x) \rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}} +\end{equation} +neuer Ansatz: +\begin{equation} + \phi(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot u(x) +\end{equation} +eingesetzt in die statische Schrödingergleichung: +\begin{align} + -\frac{1}{2} \diffPs{x}^2(u) + \diffPs{x}(u) \cdot x + \frac{1}{2} u x^2 &= \varepsilon u ~ \text{(exakt)}\\ + \diffPs{x}^2(u) - 2x \diffPs{x}(u) + (2\varepsilon - 1) u &= 0 +\end{align} +mit dem Ansatz +\begin{equation} + u(x) = \sum_{n = 0}^\infty b_n x^n +\end{equation} +ergibt sich +\begin{align} + \sum_{n=2}^\infty b_n n(n-1) x^{n-2} - 2x\sum_{n=1}^\infty b_n n x^{n-1} + (2 \varepsilon - 1) \sum_{n = 0}^\infty b^n x^n &= 0\\ + \sum_{n=0}^\infty b_{n+2} (n+2)(n+1) x^n + \sum_{n=0}^\infty b_n \left[ (2\varepsilon - 1) - 2n \right] x^n &= 0 +\end{align} +und damit +\begin{equation} + b_{n+2} = \frac{2n - (2\varepsilon - 1)}{(n+2)(n+1)} b_n +\end{equation} +Scheinbar lässt sich für alle $\varepsilon$ eine Lösung für gegebene $b_0, b_1$ finden.\\ +\underline{Aber:} Die Lösung muss normierbar sein. + +\begin{equation} + \frac{b_{n+2}}{b_n} \rightarrow \frac{2}{n} ~ \text{für} ~ n \rightarrow \infty +\end{equation} +Mit +\begin{equation} + e^{\left( x^2 \right)} = \sum_k \frac{1}{k!} x^{2k} = \sum_n \frac{1}{\left(\frac{n}{2}\right)!} x^n +\end{equation} +für $b_n$ erhält man +\begin{equation} + \frac{b_{n+2}}{b_n} = \frac{\left(\frac{n}{2}\right)!}{\left(\frac{n+2}{2}\right)!} = \frac{2}{n+2} \rightarrow \frac{2}{n} +\end{equation} +\underline{Also:} Rekursion muss abbrechen, d.h. $b_{\tilde{n}} = 0$ für irgendein $\tilde{n}$. +\begin{align} + 2n - (2\varepsilon - 1) &= 0\\ + \rightarrow \varepsilon &= n + \frac{1}{2} +\end{align} +(Quantisierung und Eigenfunktionen wir vorhin!) \ No newline at end of file From 2e42f42852e4459e84152d061d775c6c5882e474 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Thu, 10 Jul 2008 11:48:47 +0200 Subject: [PATCH 6/8] =?UTF-8?q?kurzschreibweise=20f=C3=BCr=20gleichungsblo?= =?UTF-8?q?ck=20hinzugef=C3=BCgt?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- math.tex | 4 +++- 1 file changed, 3 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/math.tex b/math.tex index 53d8d5a..60b8930 100644 --- a/math.tex +++ b/math.tex @@ -39,4 +39,6 @@ \newcommand{\sbk}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\levicivita}[1]{\varepsilon_{#1}} -\newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{#1}} \ No newline at end of file +\newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{#1}} + +\newcommand{\equationblock}[1]{\begin{equation} #1 \end{equation}} From 4b586f2fdd83d34a73bc7b20b5e3635a693f16fe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Thu, 10 Jul 2008 11:49:39 +0200 Subject: [PATCH 7/8] [formelsammlung] ein paar kleine fehlerkorrekturen --- formelsammlung.tex | 16 +++++++++------- 1 file changed, 9 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/formelsammlung.tex b/formelsammlung.tex index 3490424..07085b2 100644 --- a/formelsammlung.tex +++ b/formelsammlung.tex @@ -24,7 +24,7 @@ Eigenschaft 4 bedeutet, daß die Abbildung $b\mapsto [a,b]$ eine Derivation ist. -\subsubsection*{Levi-Civita-Symbol:} +\subsubsection*{Levi-Civita-Symbol} \begin{math} \varepsilon_{12\dots n} = 1 \\ \varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\ @@ -40,17 +40,18 @@ \det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n} \end{math} \subsubsection*{Kronecker-Delta} - $\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\ + \equationblock{\krondelta{i,j} = \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}} Die $n\times n$-Einheitsmatrix kann als $(\krondelta{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben werden. \subsubsection*{Reihenentwicklungen} \begin{align} - exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^n}{n!}} \\ - sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ - cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \exp(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^n}{n!}} \\ + \sin(x) &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ + \cos(x) &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{align} -\section{\hypertarget{trans_ft}{Fourier-Transformation}} +\section{Fourier-Transformation} +\hypertarget{trans_ft}{} \subsection*{Fourier-Reihe} \subsubsection*{Definitionen:} \subsubsection*{Eigenschaften:} @@ -83,7 +84,8 @@ Hierbei ist $F(\omega)$ das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Fr \subsection*{Matrizen-Operationen} \subsubsection*{Spur} \subsubsection*{Determinatante} -\subsubsection*{\hypertarget{fs_linalg_mtrx_inv}{Inversion}} +\subsubsection*{Inversion} +\hypertarget{fs_linalg_mtrx_inv}{} \begin{math} A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a} \end{math} From 0eb4947feb5c9793f212fc72fa8a91d8490527e8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Thu, 10 Jul 2008 11:53:19 +0200 Subject: [PATCH 8/8] [vorlesung] kapitel III.0 WIP --- kapIII-0.tex | 132 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ theo2.tex | 5 ++ 2 files changed, 137 insertions(+) create mode 100644 kapIII-0.tex diff --git a/kapIII-0.tex b/kapIII-0.tex new file mode 100644 index 0000000..a37ee2b --- /dev/null +++ b/kapIII-0.tex @@ -0,0 +1,132 @@ +\chapter{Zusammengesetzte Systeme} +\paragraph*{bisher:} +\begin{itemize} + \item[I] ein Spin-1/2 (bzw. ein N-Niveau System) + \item[II] ein Teilchen entlang einer Dimension +\end{itemize} + +\paragraph*{Ziel} +zwei und mehr Teilchen in $d=3$; Ortsfreiheitsgrad und Ort kombinieren + +\section{Beispiel 2 Teilchen in einer Dimension} +%\begin{figure}[H] \centering +%\includegraphics{pdf/III/00-01-00.pdf} +%\end{figure} +Mit dem Potential +\begin{equation} + V(x_1, x_2) = V_1(x_1) + V_2(x_2) + V_\text{int}(x_1, x_2) +\end{equation} +auf dem Niveau der Wellenfunktion $\psi(x_1, x_2)$ ist +\begin{equation} + \rho(x_1, x_2) \equiv \abs{\psi(x_1, x_2)}^2 +\end{equation} +die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_1$ und das zweite Teilchen bei $x_2$ zu finden und +\begin{align} + \rho_1(x_1) &\equiv \intgr{-\infty}{+\infty}{\rho(x_1, x_2)}{x_2}\\ + &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x_1, x_2)}^2}{x_2} +\end{align} +die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_2$ zu finden unabhängig davon wo das 2. Teilchen ist. +\begin{itemize} + \item Normierung + \begin{equation} + 1 = \intgru{\rho_1(x_1)}{x_1} = \intgru{\intgru{\rho(x_1, x_2)}{x_2}}{x_1} + \end{equation} + \item Zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung + \begin{equation} + i\hbar \diffPs{t} \psi(x_1, x_2, t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2 m_1} \diffPs{x_1}^2 - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \diffPs{x_2}^2 + V(x_1, x_2) \right) \psi(x_1, x_2, t) + \end{equation} +\end{itemize} + +\section{Hilbertraum als Tensorprodukt} +\subsection{endlich dimensionaler Fall} +\begin{itemize} + \item System 1: $\hilbert^{(1)}$ mit Basis $\set{\ket{n} \left| n = 1, ..., N \right.}$ + \item System 2: $\hilbert^{(2)}$ mit Basis $\set{\ket{m} \left| m = 1, ..., M \right.}$ +\end{itemize} + +\paragraph{Beispiel: Benzolring} +\begin{itemize} + \item System 1: + \begin{equation} + \ket{\psi_1} = \sum_{n=1}^6 c_n \ket{n} + \end{equation} + \item System 2: (Spin des Elektrons; hier in Z-Richtung) + \begin{equation} + \ket{\psi_2} = \sum_{m=1}^M d_m \ket{m} = d_+ \ket{z+} + d_-\ket{z-} + \end{equation} +\end{itemize} + +\paragraph{Gesamtraum} +Der Gesamtraum $\hilbert$ der Dimension $n \cdot m$ sei nun +\begin{equation} + \hilbert = \left( \hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)} \right) +\end{equation} +mit der Basis +\begin{equation} + B_\hilbert = \set{\ket{n} \otimes \ket{m} \left| n = 1, ..., N; m = 1, ..., M \right.} +\end{equation} +und im obigen Beispiel: $\set{\ket{1} \otimes \ket{z+}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z+}, \ket{1} \otimes \ket{z-}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z-}}$\\[15pt] +Ein beliebiger Zustand in $\hilbert$ ist dann +\begin{equation} + \ket{\psi} = \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M d_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m} = \sum_{j=1}^{N \cdot M} a_j \ket{j} +\end{equation} +\underline{Beachte:} nicht jeder $\ket{\psi} \in \hilbert$ lässt sich schreiben als +\begin{equation} + \ket{\psi} = \underbrace{\ket{\psi_1}}_{\in \hilbert^{(1)}} \otimes \underbrace{\ket{\psi_2}}_{\in \hilbert^{(2)}} +\end{equation} +denn +\begin{align} + \ket{\psi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z-} \right)\\ + &\neq \ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2} ~ \text{``Verschränkung'' (``entanglement'')} +\end{align} +im Gegensatz zu +\begin{align} + \ket{\phi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z+} \right)\\ + &= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} + \ket{2} \right) \otimes \ket{z+} \right) ~ \text{``Produktzustand''} +\end{align} +Weiterhin sei das Skalarprodukt wiefolgt definiert: +\begin{align} + \left( \bra{n'} \otimes \bra{m'} \right) \left( \ket{n} \otimes \ket{m} \right)&= \braket{n'}{n} \braket{m'}{m}\\ + &= \krondelta{n,n'} \krondelta{m,m'} +\end{align} +d.h. +\begin{align} + \ket{\psi} &= \sum_{n,m} a_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m}\\ + \ket{\phi} &= \sum_{n,m} b_{n',m'} \ket{n'} \otimes \ket{m'}\\[15pt] + \braket{\phi}{\psi} &= \sum_{n,m} b_{n,m}^* a_{n,m} +\end{align} + +\subsection{kontinuierlicher Fall} +\begin{itemize} + \item Teilchen (System) 1: $\ket{\psi_1} \in \hilbert^1$ mit Basis $\set{\ket{x_1}}$, $\set{\ket{p_1}}$ oder $\set{\ket{n_1}}$ + \item Teilchen (System) 2: $\ket{\psi_2} \in \hilbert^2$ mit Basis $\set{\ket{x_2}}$, $\set{\ket{p_2}}$ oder $\set{\ket{n_2}}$ +\end{itemize} + +\paragraph{Gesamtraum} +\begin{equation} + \hilbert = \hilbert^1 \otimes \hilbert^2 +\end{equation} +mit Basis +\begin{equation} + B_\hilbert^{(1)} = \set{\ket{x_1} \otimes \ket{x_2} \equiv \ket{x_1, x_2}} +\end{equation} +oder +\begin{equation} + B_\hilbert^{(2)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{p} \equiv \ket{x, p}} +\end{equation} +oder +\begin{equation} + B_\hilbert^{(3)} = \set{\ket{p_1} \otimes \ket{p_2} \equiv \ket{p_1, p_2}} +\end{equation} +oder +\begin{equation} + B_\hilbert^{(4)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{n} \equiv \ket{x, n}} +\end{equation} +mit $\ket{\psi} \in \hilbert$ und $\psi(x_1, x_2) = \braket{x_1, x_2}{\psi}$ +\begin{align} + \ket{\psi}^{(1)} &= \intgru{\intgru{\psi(x_1, x_2) \ket{x_1, x_2}}{x_2}}{x_1}\\ + \ket{\psi}^{(2)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x, p)\ket{x, p}}{p}}{x}\\ + \ket{\psi}^{(4)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\sum_{n=0}^\infty \psi_n(x) \ket{x, n}}{x} +\end{align} + +\section{Operatoren} \ No newline at end of file diff --git a/theo2.tex b/theo2.tex index 29768cc..97d11e7 100644 --- a/theo2.tex +++ b/theo2.tex @@ -6,6 +6,7 @@ \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{multirow} +\usepackage{float} \usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref} % muss immer als letztes eingebunden werden \include{math} @@ -37,6 +38,10 @@ \include{kapII-4} \include{kapII-5} +\part{Quantale Systeme in d=2 und d=3} +\label{III} +\include{kapIII-0} + % \part{Übungsmitschrieb} % \label{UE} % \include{ueb1}