From 983f5d583e730e88456617c10b53fa9feedb9ead Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Daniel Bahrdt Date: Tue, 8 Jul 2008 12:30:26 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=BCbungsblatt=202=20bis=20auf=20die=206=20b)?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ueb2.tex | 143 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 143 insertions(+) diff --git a/ueb2.tex b/ueb2.tex index 9215eef..72ff41a 100644 --- a/ueb2.tex +++ b/ueb2.tex @@ -3,15 +3,158 @@ \chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 2} \section{Aufgabe 4: Unitäre Operatoren} + Es gilt: $U^{-1} = U^\intercal$. \subsection*{a)} + Zu zeigen: Der Eigenwert ist von der Form $a_n = e^{\i \alpha_n}$: + Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$. + \begin{align} + U \ket{a} &= a \cdot \ket{a} \\ + \bra{a} U^\intercal &= a^\ast \cdot \bra{a} \\ + \braket{a}{a} &= \dirac{a}{1}{a} \\ + &= \dirac{a}{U^\intercal U}{a} + &= a^\ast \braket{a}{a} a \\ + &= \abs{a}^2 \cdot \braket{a}{a} \\ + &\Rightarrow \\ + \abs{a} &= 1 \\ + &\Rightarrow \\ + \abs{e^{\i \alpha_n}} &= 1 + \end{align} + + Zu zeigen: Die Eigenvektoren sind orthogonal: + Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a_n}$ bzw. $\ket{a_m}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a_n$ bzw. $a_m$. + \begin{align} + \braket{a_n}{a_m} &= \dirac{a_n}{1}{a_m} \\ + &= \dirac{a_n}{U^\intercal U}{a_m} \\ + &= a_n^\ast \braket{a_n}{a_m} a_m \\ + &= e^{-\i \alpha_n} \cdot e^{\i \alpha_m} \cdot \braket{a_n}{a_m} \\ + &= e^{\i ( \alpha_m - \alpha_n)} \braket{a_n}{a_m} \\ + &\Rightarrow \\ + \braket{a_n}{a_m} &= 0 + \end{align} + + \subsection*{b)} +Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s) = e^{-\i s A}$ unitär \\ +\begin{align} + U(s) &= e^{\i s A} \\ + &= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (-\i s A)^k \\ + &= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (\i s A^\intercol)^k \\ + &= e^{\i s A} +\end{align} + +Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s_1 + s_2) = U(s_1) \cdot U(s_2)$. +\begin{align} + U(s_1 + s_2) &= e^{-\i (s_1 + s_2) A}\\ + &= e^{-\i s_1 A - \i s_2 A} \\ + &= e^{-\i s_1 A} \cdot e^{-\i s_2 A} \\ + &= U(s_1) \cdot U(s_2) +\end{align} + + \section{Aufgabe 5: Spur und Determinante} \subsection*{a)} + Zu zeigen: $[A,BC] &= B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C$. + \begin{align} + [A,BC] &= ABC -BCA \\ + B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C &= B \cdot (AC - CA) + (AB - BA) \cdot C \\ + &= BAC - BCA + ABC - BAC \\ + &= ABC - BCA \\ + &= [A,BC] + \end{align} \subsection*{b)} +Zu zeigen: Für endliche Operatoren gilt: +$\tr(AB) = \tr(BA)$ + +\begin{align} + \tr(AB) &= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N a_{ik} b_{ki} \\ + &= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N b_{ik} a_{ki} \\ + &= \tr(BA) +\end{align} + +Zu zeigen: Die Spur ist invariant unter zyklischen Vertauschungen: +\begin{align} + \tr(ABC) &= \tr(A \cdot (BC)) \\ + &= \tr((BC) \cdot A) \\ + &= \tr(BCA) \\ + &= \tr(B \cdot (CA)) \\ + &= \tr((CA) \cdot B) \\ + &= \tr(CAB) +\end{align} + +Zu zeigen: Die Spur ist unabhänging von der Basis: +Sei hierzu $T^{-1}$ die Matrix der neuen Basisverktoren dargestellt in der alten Basis. +Dann ist $T^{-1}AT$ die Basistransformation von der A-Basis in die T-Basis. +\begin{equation} + \tr(T^{-1}AT) = \tr(T^{-1}TA) = \tr(A) +\end{equation} + \subsection*{c)} +\begin{align} + \diffT{t}A(t) &= A(t) \cdot B \\ + \frac{\diffT{t}A(t)}{A(t)} &= B \\ + \ln(A(t)) &= B \cdot t + c \\ + A(t) &= e^{Bt+c} \\ + &= A(0) \cdot e^{Bt} \\ + &= A_0 \cdot B \cdot e^{Bt} \\ + &= A_0 \cdot e^{Bt} \cdot B \\ + \diffT{t}A_2(t) &= B \cdot A_2(t)\\ + A_2(t) &= e^{Bt} \cdot A_0 +\end{align} + \subsection*{d)} +\begin{align}1 + \epsilon \tr(A) + O(\epsilon^2) + det(1 + \epsilon A) &= \inlinematrixdet{1+\epsilon A_{11} & \ldots & 0+\epsilon A_{1n} \\ + \vdots & 1+\epsilon A_{ii} & \vdots \\ + 0+\epsilon A_{n1} & \ldots & 1+\epsilon A_{nn} + } \\ + &= \prod_i (1 + \epsilon A_{ii}) + \bigO(\epsilon^2) \\ + &= 1 + \epsilon \sum A_{ii} + \bigO(\epsilon^2)\\ + &= 1 + \epsilon \tr(A) + \bigO(\epsilon^2) +\end{align} + +Zu zeigen: $\det(e^A = e^{\tr(A))$ +\begin{align} + g(t) &= \det(e^{At}) \\ + &\stackrel{tailor}{} \det(1 + At + \bigO(t^2)) \\ + &= 1 + \tr(A) + \bigO(t^2) \\ + &\stackrel{tailor ``rückwärs''}{} e^{\tr(A)t} +\end{align} + +\begin{align} + g(t) &= \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(e^{A(t+\epsilon)) - det(e^{At})} \\ + &= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \det(e^{A \epsilon}) \\ + &= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(1 + A \epsilon + \bigO(\epsilon^2) - det(1)} \\ + &= g(t) \tr(A) \\ + &\Rightarrow g(t) = e^{\tr(A) \cdot t} +\end{align} + + +Ist A diagonalisierbar: +\begin{math} + \det(e^A) = \det(T^{-1} e^A T) = \det(e^\hat{A}) = \prod_i e^{\lambda_i} = e^{\sum_i \lambda_i} = e^{\tr(A)} +\end{math} + \section{Aufgabe 6: Hermitesche Matrizen} \subsection*{a)} +Es gilt: $M_i^2 = \one$ +Sei $\bra{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$ +\begin{align} + M_i \ket{a} &= a \cdot \bra{a} &| M_i von links + M_i^2 \ket{a} &= M_i a \cdot \bra{a} \\ + \one \ket{a} &= a^2 \bra{a} \\ + &\Rightarrow a = \pm 1 + +\end{align} + \subsection*{b)} +Für $i \neq j$ folgt mit $M_i M_j + M_j M_i = 2 \krondelta{ij} \one$ : $M_i M_j = - M_j M_i$ +Dann gilt: +\begin{align} + \tr(M_i M_j + M_j M_i) &= tr(2 \krondelta{ij} \one) \\ + \tr(M_i M_j) + \tr(M_j M_i) &= tr(\mathbb{0}) \\ + \tr(M_i M_j) &= -tr(M_j M_i) \\ + \tr(M_i M_j) +\end{align} +