Übungsblatt 7

ueb7.tex

@@ -73,6 +73,7 @@ mit den \hyperlink{fs_mtrx_inv_2d}{Inversen} von: (1) und (2) % geschweifte klam
 	\inlinematrix{A & B} = \inlinematrix{\frac{1}{2} & -\frac{\i}{2k}\\ \frac{1}{2} & \frac{\i}{2k}} \inlinematrix{1 & 1 \\ q & -q} \inlinematrix{C & D}
 \end{math}
 
+\subsection*{c)}
 $\inlinematrix{C & D}$ eingesetzt ergibt:
 \begin{align}
 	\tilde{E}	&= \frac{2 k a}{e^{ika} \sbk{(q^2 - k^2) \cdot \i sinh(q \cdot a) - 2 k q cosh(qa)}} \\ % ist das richtig?
@@ -82,10 +83,49 @@ $\inlinematrix{C & D}$ eingesetzt ergibt:
 	T			&= \frac{1}{\sbk{\frac{a^2 - k^2}{2 q k}} \cdot 2 sinh^2(q a) + cosh^2(q a)}
 \end{align}
 
-\subsection*{c)}
+
 
 \section{Aufgabe 19: Doppeltes Delta-Potential}
+$V(x) = - \frac{\hbar^2}{m} \kappa_0 \sbk{\delta\sbk{x -a} + \delta\sbk{x + a}}$
+$E<0$
+$\sbk{-\frac{\hbar^2}{2 m} \diffPs{x}^2 - \frac{\hbar^2}{m} \kappa_0 \sbk{\delta\sbk{x - a} + \delta\sbk{x + a}}} \Phi(x) = E \Phi(x)$
+$\Phi'_I(-a) - \Phi'_{II}(-a) = - 2 \kappa_0 \Phi_I(-a)$
+Mit $k^2 = \frac{-2 m E}{\hbar^2}$
+Für I:
+\begin{align}
+	\psi_I			&= A e^{k x} \\
+	\psi_{II}		&= B e^{-k x} + c e^{k x} \\
+	\psi_{III}		&= D e^{-k x} \\
+	\abs{A}			&= \abs{D} \\
+	A				&= \pm D \\
+	B				&= \pm C \\
+	0				&= B e^{2 k a} - C + A \sbk{1 - 2 \frac{k_0}{k}} \\
+	0				&= C e^{2 k a} - B + D \sbk{1 - 2 \frac{k_0}{k}} \\
+	\frac{k_0}{k} \sbk{e^{- 2 k a} \pm 1}	&= \pm 1 \\
+	e^{-2 k a}								&= \frac{k}{k_0} - 1 \\
+	e^{-2 k a}								&= -\frac{k}{k_0} + 1 \\
+\end{align}
+
+%grafik einfügen
+
+\begin{align}
+	\kappa_0		&= 1 \\
+	\kappa_1		&= 1,11 \\
+	\kappa_2		&= 0,80 \\
+	E				&= -\frac{k^2 \hbar^2}{2 m}
+\end{align}
+
+
 \subsection*{a)}
+
 \subsection*{b)}
+$k_0 a \gg 1$ $\Rightarrow$ $\kappa \approx \kappa_0$
+$k_\pm = k_0 \sbk{1 \pm e^{-2 \kappa_0 a}}$
 \subsection*{c)}
-\subsection*{d)}
+$a \rightarrow 0$
+\begin{align}
+	\kappa_+	&\approx \kappa_0 \sbk{1 + 1 - 2k + a} \\
+				&\approx 2 \kappa_0
+\end{align}
+
+