diff --git a/formelsammlung.tex b/formelsammlung.tex index 0cdc1c7..3490424 100644 --- a/formelsammlung.tex +++ b/formelsammlung.tex @@ -1,32 +1,90 @@ +\chapter{Notationen} +\section{Dirac-Notation} + \chapter{Lineare Algebra} -\section{Allgemeines} -\subsection*{Definitionen} +\section{Gruppentheorie} + +\subsection{Abbildungen} + +\subsubsection*{Kommutator:} + \begin{equation} [A,B] = AB - BA \end{equation} + Der Kommutator von g und h ist genau dann gleich dem neutralen Element, wenn g und h kommutieren. \\ + Sei $a$, $b$ und $c$ Elemente einer assoziativen Algebra und $\lambda$ ein Skalar (Element des Grundkörpers). + \begin{enumerate} + \item Alternierend (antisymmetrisch): + \begin{equation} [a,b]=-[b,a] \end{equation} + \item Linear: + \begin{equation} [\lambda a+b,c]=\lambda [a,c] + [b,c] \end{equation} + \item Jacobi-Identität: + \begin{equation} [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0 \end{equation} + \item Leibnizregel(Produktregel): + \begin{equation} [a,bc] = [a,b]c+b[a,c] \end{equation} + \end{enumerate} + Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra $A$ mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra, die teilweise mit $A^-$ bezeichnet wird. \\ + Eigenschaft 4 bedeutet, daß die Abbildung $b\mapsto [a,b]$ eine Derivation ist. + + \subsubsection*{Levi-Civita-Symbol:} \begin{math} \varepsilon_{12\dots n} = 1 \\ - \varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\ + \varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\ \varepsilon_{ij\dots u\dots u\dots} = 0 \\ - \levicivita{i,j,k} = - \begin{cases} - +1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\ - -1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\ - 0, & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.} - \end{cases} - + \begin{cases} + +1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\ + -1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\ + 0, & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.} + \end{cases} \\ (\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \levicivita{ijk} a_j b_k \\ \vec{a} \times \vec{b} = \levicivita{ijk} a_j b_k \vec{e_i} = \levicivita{ijk} a_i b_j \vec{e_k} \\ - - \det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n} - + \det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n} \end{math} \subsubsection*{Kronecker-Delta} - $\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\s + $\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\ Die $n\times n$-Einheitsmatrix kann als $(\krondelta{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben werden. -\section{Matrix-Operationen} -\subsection*{Inversion} +\subsubsection*{Reihenentwicklungen} + \begin{align} + exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^n}{n!}} \\ + sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ + cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \end{align} + +\section{\hypertarget{trans_ft}{Fourier-Transformation}} +\subsection*{Fourier-Reihe} +\subsubsection*{Definitionen:} +\subsubsection*{Eigenschaften:} + +\subsection*{Fourier-Reihe (kontinuierlich):} +\subsubsection*{Definitionen:} +\subsubsection*{Eigenschaften:} + +\subsection*{kontinuierliche Fourier-Transformation:} +Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformation, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen. +Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet. +\subsubsection*{Definition:} +\begin{equation} + \mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{f(t) e^{-\i \omega t}}{t} +\end{equation} +Rücktransformation (Fouriersynthese) +\begin{equation} + \mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{F(\omega) e^{\i \omega t}}{\omega} +\end{equation} +Hierbei ist $F(\omega)$ das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Frequenz $\omega$ aus den reelle Zahlen angibt. + +\subsubsection*{Eigenschaften:} + +\section{Lineare Algebra} +\subsection{Operatoren} +\subsubsection*{hermitesche Operatoren} +\subsubsection*{unitäre Operatoren} + + +\subsection*{Matrizen-Operationen} +\subsubsection*{Spur} +\subsubsection*{Determinatante} +\subsubsection*{\hypertarget{fs_linalg_mtrx_inv}{Inversion}} \begin{math} -\hypertarget{fs_mtrx_inv_2d}{A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}} +A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a} \end{math} \ No newline at end of file diff --git a/math.tex b/math.tex index a51a2d3..53d8d5a 100644 --- a/math.tex +++ b/math.tex @@ -8,6 +8,7 @@ \newcommand{\setR}{\mathbbm{R}} \newcommand{\setC}{\mathbbm{C}} \newcommand{\einsmatrix}{\mathbbm{1}} +\newcommand{\bigO}{\mathbbm{O}} \newcommand{\inlinematrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}} \newcommand{\inlinematrixu}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}} \newcommand{\inlinematrixd}[2]{\left( \begin{matrix} #1\vphantom{#2} \end{matrix} ~\right| \left. \begin{matrix} \vphantom{#1}#2 \end{matrix} \right)} @@ -28,11 +29,14 @@ \newcommand{\diffP}[1]{\frac{\partial}{\partial #1}} \newcommand{\diffT}[1]{\frac{\text{d}}{\text{d} #1}} +\newcommand{\diffTfrac}[2]{\frac{\text{d} #1}{\text{d} #2}} +\newcommand{\diffTm}[3]{\diffTfrac{^{#1} #2}{#3^{#1}}} \newcommand{\diffPfrac}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\intgr}[4]{\int_{#1}^{#2} #3 ~\text{d}#4} \newcommand{\intgru}[2]{\int #1 ~\text{d}#2} +\newcommand{\integrinf}[2]{\int_{-\infty}^[\infty #1 \text{\,d}#2} \newcommand{\sbk}[1]{\left( #1 \right)} -\newcommand{\levicivita}[1]{\varEpsilon_{#1}} -\newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{+1}} \ No newline at end of file +\newcommand{\levicivita}[1]{\varepsilon_{#1}} +\newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{#1}} \ No newline at end of file diff --git a/theo2.tex b/theo2.tex index 4b23877..29768cc 100644 --- a/theo2.tex +++ b/theo2.tex @@ -47,9 +47,9 @@ % \include{ueb6} % \inlcude{ueb7} -% \part{Formelsammlung} -% \label{FS} -% \include{formelsammlung} +\part{Formelsammlung} +\label{FS} +\include{formelsammlung} \end{document} diff --git a/ueb1.tex b/ueb1.tex index 46ae8c7..75fe2d1 100644 --- a/ueb1.tex +++ b/ueb1.tex @@ -6,7 +6,8 @@ \section{Aufgabe 2: Pauli Matrizen} \subsection*{a)} - +\subsection*{b)} +\subsection*{c)} \begin{math} \textbf{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z) \\ \textbf{\a},\textbf{\b} \in \setR @@ -20,11 +21,87 @@ \sum a_\alpha b_\beta \krondelta{\alpha \beta} \cdot \one + \i a_\alpha b_\beta \levicivita{\alpha,\beta,\gamma} \sigma_\gamma &= \\ \one (\textbf{a \cdot b} + \i \sigma \cdot (a \times b) \end{align} -\subsection*{b)} -\subsection*{c)} -\subsection*{d)} +\subsection*{d)} + $e^{\i \frac{\i}{2} n \sigma} = \one cos(\frac{\alpha}{2}) - \i (\textbf{n \cdot \sigma}) sin(\frac{\alpha}{2})$ \\ + Mit der Reihenentwicklung von $e^x$ ergibt sich: + \begin{align} + e^{- \i \frac{\alpha}{2} \textbf{n \cdot \sigma} &= \sum_k \frac{(- \i \frac{\alpha}}{2} \textbf{n \cdot \sigma})^k}{k!} \\ + &= \sum_k (- \i \frac{\alpha}{2})^k \cdot \frac{(\textbf{n \¢dot \sigma)^k}}{k!} + \end{align} + Desweiteren gilt nach Aufgabe 2 c): + \begin{align} + (\textbf{n \cdot \sigma} &= \sigma \\ \\ + (\textbf{n \cdot \sigma}^2 &= \one (\textbf{n \cdot n} + \underbrace{\i \textbf{\sigma} \cdot (\textbf{\n} \times \textbf{n})}_{=0} \\ + &= \one (\textbf{n \cdot n} + \end{align} + + $\Rightarrow$ + + \begin{align} + \sum_k (- \i \frac{\alpha}{2})^k \cdot \frac{(\textbf{n \cdot \sigma)^k}}{k!} &= \\ + + \sum_k ( (-\i)^{2k} (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k}}{(2k)!} + + \sum_k ( (-\i)^{2k+1} (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k+1}}{(2k+1)!} &= \\ + + \sum_k ( (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k}}{(2k)!} + + \sum_k ( \i \cdot (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k} \cdot (\textbf{n \cdot \sigma})}{(2k+1)!} &= \\ + + \sum_k ( (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \one \frac{1}{(2k)!} + + \i \cdot \sum_k (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \one \cdot (\textbf{n \cdot \sigma}) \cdot \frac{1}{(2k+1)!} &= \\ + + \one \cos(\frac{\alpha}{2}) + \i (\textbf{n \cdot \sigma}) \sin(\frac{\alpha}{2}) + + \end{align} + + + + \section{Aufgabe 3: Operator-Identitäten} \subsection*{a)} + $f(t) = e^{tA} \cdot B e^{-tA}$ + \begin{align} + \diffTm{}{f(t)}{t} &= [A,f(t)] \\ + \diffTm{2}{f(t)}{t} &= [A,[A,f(t)]] \\ \\ + \diffTm{}{f(t)}{t} &= A e^{tA} B e^{-tA} t - e^{tA} B e^{-tA} A &= [A,f(t)] = A \cdot f(t) - f(t) \cdot A \\ + \diffT{t} [A,f(t)] &= \diffT{t} A \cdot f(t) - \diffT{t} f(t) \cdot A \\ + &= A \cdot [A,f(t)] - [A,f(t)] \cdot A \\ + &= [A,[A,f(t)]] + \end{align} + Die Taylorreihenentwicklung lautet dann: + $f(t) = e^{tA} \cdot B e^{-tA} = B + \frac{t}{1!}[A,B]+\frac{t^2}{2!}[A,[A,B]]+\ldots$ + \subsection*{b)} -\subsection*{c)} \ No newline at end of file + $\forall A,B,C : [A,B] = \i C \and [B,C] = \i A$ \\ + \begin{align} + e^{\i B t} \cdot B e^{-\i B t} &= A \cos(t) + C \sin(t) \\ + &= A + [\i B,A] + \frac{t^2}{2}[\i B,[\i B, A]] \\ + [\i B, A] &= \i [B,A] &= -\i [A,B] \\ + [\i B, [\i B, A]] &= [\i B, C] &= \i \i A = -A }} \\ + e^{\i B t} A e^{-\i B t} &= A + C - \frac{t^2}{2} A \frac{t^3}{6} C + \frac{t^4}{24} A \\ \\ + &= A \cos(t) + C \sin(t) + \end{align} + +\subsection*{c)} +Es gelte: $[A,[A,B]] = [B,[A,B]] = 0$ \\ +\begin{align} + e^{A+B} &= e^A \cdot e^B \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]} \\ + g(t) &= e^{tA} \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} \\ + \diffTfrac{g(t)}{t} &= A \cdot e^{tA} \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} + e^{tA} \cdot ( + B \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} + + e^{tB} \cdot -t \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} \cdot [A,B]) \\ + &= A \cdot g(t) + e^{tA} \cdot B \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} + - t \cdot [A,B] \cdot e^{tA} \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} \\ + &= A \cdot g(t) - t \cdot [A,B] \cdot e^{tA} \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} + + e^{tA} \cdot B \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} \\ + &= A \cdot g(t) -t \cdot g(t) \cdot [A,B] + e^{tA} \cdot B \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} + \diffTfrac{g(t)}{t} &= A \cdot g(t) + e^{tA} \cdot B \cdot e^{-tA} \cdot g(t) - t \cdot g(t) \cdot [A,B] \\ + e^{x} \cdot e^{-x} &= \one \\ + \diffTfrac{g}{t} &= \right( A - t [A,B] + B + \frac{t}{1!} \cdot [A,B] \left) \cdot g(t) \\ + \diffTfrac{g}{t} &= [A+B] \cdot g(t) \\ + \frac{\diffTfrac{g}{t}}{g} &= [A+B] \\ + g(t) &= e^{[A+B] \cdot t + c} \\ + e^A \cdot e^B &= e^B \cdot e^A \cdot e^[A,B] \\ + e^(A+B) &= e^A \cdot e^B \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]} \\ + e^(B+A) &= e^B \cdit e^A \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]} +\end{align} diff --git a/ueb2.tex b/ueb2.tex index 9215eef..72ff41a 100644 --- a/ueb2.tex +++ b/ueb2.tex @@ -3,15 +3,158 @@ \chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 2} \section{Aufgabe 4: Unitäre Operatoren} + Es gilt: $U^{-1} = U^\intercal$. \subsection*{a)} + Zu zeigen: Der Eigenwert ist von der Form $a_n = e^{\i \alpha_n}$: + Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$. + \begin{align} + U \ket{a} &= a \cdot \ket{a} \\ + \bra{a} U^\intercal &= a^\ast \cdot \bra{a} \\ + \braket{a}{a} &= \dirac{a}{1}{a} \\ + &= \dirac{a}{U^\intercal U}{a} + &= a^\ast \braket{a}{a} a \\ + &= \abs{a}^2 \cdot \braket{a}{a} \\ + &\Rightarrow \\ + \abs{a} &= 1 \\ + &\Rightarrow \\ + \abs{e^{\i \alpha_n}} &= 1 + \end{align} + + Zu zeigen: Die Eigenvektoren sind orthogonal: + Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a_n}$ bzw. $\ket{a_m}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a_n$ bzw. $a_m$. + \begin{align} + \braket{a_n}{a_m} &= \dirac{a_n}{1}{a_m} \\ + &= \dirac{a_n}{U^\intercal U}{a_m} \\ + &= a_n^\ast \braket{a_n}{a_m} a_m \\ + &= e^{-\i \alpha_n} \cdot e^{\i \alpha_m} \cdot \braket{a_n}{a_m} \\ + &= e^{\i ( \alpha_m - \alpha_n)} \braket{a_n}{a_m} \\ + &\Rightarrow \\ + \braket{a_n}{a_m} &= 0 + \end{align} + + \subsection*{b)} +Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s) = e^{-\i s A}$ unitär \\ +\begin{align} + U(s) &= e^{\i s A} \\ + &= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (-\i s A)^k \\ + &= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (\i s A^\intercol)^k \\ + &= e^{\i s A} +\end{align} + +Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s_1 + s_2) = U(s_1) \cdot U(s_2)$. +\begin{align} + U(s_1 + s_2) &= e^{-\i (s_1 + s_2) A}\\ + &= e^{-\i s_1 A - \i s_2 A} \\ + &= e^{-\i s_1 A} \cdot e^{-\i s_2 A} \\ + &= U(s_1) \cdot U(s_2) +\end{align} + + \section{Aufgabe 5: Spur und Determinante} \subsection*{a)} + Zu zeigen: $[A,BC] &= B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C$. + \begin{align} + [A,BC] &= ABC -BCA \\ + B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C &= B \cdot (AC - CA) + (AB - BA) \cdot C \\ + &= BAC - BCA + ABC - BAC \\ + &= ABC - BCA \\ + &= [A,BC] + \end{align} \subsection*{b)} +Zu zeigen: Für endliche Operatoren gilt: +$\tr(AB) = \tr(BA)$ + +\begin{align} + \tr(AB) &= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N a_{ik} b_{ki} \\ + &= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N b_{ik} a_{ki} \\ + &= \tr(BA) +\end{align} + +Zu zeigen: Die Spur ist invariant unter zyklischen Vertauschungen: +\begin{align} + \tr(ABC) &= \tr(A \cdot (BC)) \\ + &= \tr((BC) \cdot A) \\ + &= \tr(BCA) \\ + &= \tr(B \cdot (CA)) \\ + &= \tr((CA) \cdot B) \\ + &= \tr(CAB) +\end{align} + +Zu zeigen: Die Spur ist unabhänging von der Basis: +Sei hierzu $T^{-1}$ die Matrix der neuen Basisverktoren dargestellt in der alten Basis. +Dann ist $T^{-1}AT$ die Basistransformation von der A-Basis in die T-Basis. +\begin{equation} + \tr(T^{-1}AT) = \tr(T^{-1}TA) = \tr(A) +\end{equation} + \subsection*{c)} +\begin{align} + \diffT{t}A(t) &= A(t) \cdot B \\ + \frac{\diffT{t}A(t)}{A(t)} &= B \\ + \ln(A(t)) &= B \cdot t + c \\ + A(t) &= e^{Bt+c} \\ + &= A(0) \cdot e^{Bt} \\ + &= A_0 \cdot B \cdot e^{Bt} \\ + &= A_0 \cdot e^{Bt} \cdot B \\ + \diffT{t}A_2(t) &= B \cdot A_2(t)\\ + A_2(t) &= e^{Bt} \cdot A_0 +\end{align} + \subsection*{d)} +\begin{align}1 + \epsilon \tr(A) + O(\epsilon^2) + det(1 + \epsilon A) &= \inlinematrixdet{1+\epsilon A_{11} & \ldots & 0+\epsilon A_{1n} \\ + \vdots & 1+\epsilon A_{ii} & \vdots \\ + 0+\epsilon A_{n1} & \ldots & 1+\epsilon A_{nn} + } \\ + &= \prod_i (1 + \epsilon A_{ii}) + \bigO(\epsilon^2) \\ + &= 1 + \epsilon \sum A_{ii} + \bigO(\epsilon^2)\\ + &= 1 + \epsilon \tr(A) + \bigO(\epsilon^2) +\end{align} + +Zu zeigen: $\det(e^A = e^{\tr(A))$ +\begin{align} + g(t) &= \det(e^{At}) \\ + &\stackrel{tailor}{} \det(1 + At + \bigO(t^2)) \\ + &= 1 + \tr(A) + \bigO(t^2) \\ + &\stackrel{tailor ``rückwärs''}{} e^{\tr(A)t} +\end{align} + +\begin{align} + g(t) &= \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(e^{A(t+\epsilon)) - det(e^{At})} \\ + &= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \det(e^{A \epsilon}) \\ + &= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(1 + A \epsilon + \bigO(\epsilon^2) - det(1)} \\ + &= g(t) \tr(A) \\ + &\Rightarrow g(t) = e^{\tr(A) \cdot t} +\end{align} + + +Ist A diagonalisierbar: +\begin{math} + \det(e^A) = \det(T^{-1} e^A T) = \det(e^\hat{A}) = \prod_i e^{\lambda_i} = e^{\sum_i \lambda_i} = e^{\tr(A)} +\end{math} + \section{Aufgabe 6: Hermitesche Matrizen} \subsection*{a)} +Es gilt: $M_i^2 = \one$ +Sei $\bra{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$ +\begin{align} + M_i \ket{a} &= a \cdot \bra{a} &| M_i von links + M_i^2 \ket{a} &= M_i a \cdot \bra{a} \\ + \one \ket{a} &= a^2 \bra{a} \\ + &\Rightarrow a = \pm 1 + +\end{align} + \subsection*{b)} +Für $i \neq j$ folgt mit $M_i M_j + M_j M_i = 2 \krondelta{ij} \one$ : $M_i M_j = - M_j M_i$ +Dann gilt: +\begin{align} + \tr(M_i M_j + M_j M_i) &= tr(2 \krondelta{ij} \one) \\ + \tr(M_i M_j) + \tr(M_j M_i) &= tr(\mathbb{0}) \\ + \tr(M_i M_j) &= -tr(M_j M_i) \\ + \tr(M_i M_j) +\end{align} + diff --git a/ueb7.tex b/ueb7.tex index d370c35..7582ed5 100644 --- a/ueb7.tex +++ b/ueb7.tex @@ -4,9 +4,31 @@ \chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 7} \section{Aufgabe 17: Unendlich hoher Potentialtop (Ergänzungen)} \subsection*{a)} + +\begin{math} + \Phi_n(p) = \intgrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \cdot \Phi(x) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}{x} +\end{math} + +Für n = ungerade: + +\begin{align} + \Phi_n(p) &= \integrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \cos(\frac{(n+1) \cdot \pi x}{2 a}) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}}{x} \\ \\ + &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \sbk { + \frac{1}{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}-\frac{p}{\hbar}} \cdot \sin \sbk{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}-\frac{p}{\hbar} \cdot u} + + \frac{1}{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}+\frac{p}{\hbar}} \cdot \sin \sbk{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}+\frac{p}{\hbar} \cdot u}} + \Phi_n(p) &= + \begin{case} + \frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \frac{\i^n \cdot 4 \cdot a \hbar^2 \cdot (n+1) \cdot \pi}{\hbar^2 (n+1)^2 \pi - 4 a^2 p^2} \cdot \cos\sbk{\frac{pa}{\hbar}} + \i^{n+2} \cdot \frac{\i^n \cdot 4 \cdot a \hbar^2 \cdot (n+1) \cdot \pi}{\hbar^2 (n+1)^2 \pi - 4 a^2 p^2} \cdot \sin\sbk{\frac{pa}{\hbar}} + \end{case} + +\end{align} + + \subsection*{b)} \subsection*{c)} + \section{Aufgabe 18: Tunneleffekt} \includegraphics{grafiken/U_A18_1.pdf} \subsection*{a)}