diff --git a/.gitignore b/.gitignore index efea5cc..5aa3adc 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -4,4 +4,4 @@ *.toc *.out theo2.pdf - +theo2.kilepr diff --git a/formelsammlung.tex b/formelsammlung.tex index 57c1161..5ca6b43 100644 --- a/formelsammlung.tex +++ b/formelsammlung.tex @@ -6,6 +6,7 @@ % undendlich dim. raum % was zum henker ist ein operator % impulsoperator +%definition bedingte wahrscheinlichkeiten \chapter{Notationen} \section{Dirac-Notation} diff --git a/kapI-2.tex b/kapI-2.tex index 1d7305d..daa82b7 100644 --- a/kapI-2.tex +++ b/kapI-2.tex @@ -298,10 +298,10 @@ $\rightarrow$ $B \ket{n,r}$ liegt im Untrraum zu $a_n$ \end{equation} \item[Fall (2)] $a_n$ entartet \begin{equation} - \bra{m,s} \cdot B \cdot \ket{n,r} = B_{s,r}^{(n)} + \bra{n,s} \cdot B \cdot \ket{n,r} = B_{s,r}^{(n)} \end{equation} \begin{equation} - B \cequiv \inlinematrix{\boxed{B^{(1)}} & & 0 \\ & \boxed{B^{(2)}} & & \\ & & \boxed{B} & \\ 0 & & & \boxed{B^{(4)}}} \rightarrow \text{kann diagonalisiert werden in jedem Kästchen} + B \cequiv \inlinematrix{\boxed{B^{(1)}} & & 0 \\ & \boxed{B^{(2)}} & & \\ & & \boxed{B^{(3)}} & \\ 0 & & & \boxed{B^{(4)}}} \rightarrow \text{kann diagonalisiert werden in jedem Kästchen} \end{equation} Falls $B^{(n)}$ entartet, gibt es einen dritten Opertor $C$ mit $[A,C] = [B,C] = 0$. \end{description} diff --git a/kapIV-2.tex b/kapIV-2.tex index 6e87ec2..c254058 100644 --- a/kapIV-2.tex +++ b/kapIV-2.tex @@ -60,20 +60,20 @@ entsprechend \begin{equation} E_0 = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) + \lambda \dirac{n}{x^4}{n} \end{equation} -%\begin{figure}[H] \centering -%\includegraphics{pdf/III/02-01-00.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/IV/02-01-00.pdf} +\end{figure} Konsequenz? \begin{itemize} \item für $\lambda$ negativ $\abs{\lambda} \ll 1$ - %\begin{figure}[H] \centering - %\includegraphics{pdf/III/02-01-01.pdf} - %\caption{gestrichelte Kurve entspricht $\frac{m}{2} \omega x^2 \abs{\lambda} x^4$} - %\end{figure} + \begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/IV/02-01-01.pdf} + \caption{gestrichelte Kurve entspricht $\frac{m}{2} \omega x^2 \abs{\lambda} x^4$} + \end{figure} \item für $\lambda$ positiv - %\begin{figure}[H] \centering - %\includegraphics{pdf/III/02-01-02.pdf} - %\end{figure} + \begin{figure}[H] \centering + \includegraphics{pdf/IV/02-01-02.pdf} + \end{figure} \end{itemize} volle Rechnung zeigt: \begin{equation} @@ -89,9 +89,9 @@ mit \item Obige Formel wegen Energienenner nicht anwendbar bei Entartung. \item sehr relevant: Aufhebeung der Entartung durch Störung \end{itemize} -%\begin{figure}[H] \centering -%\includegraphics{pdf/III/02-02-00.pdf} -%\end{figure} +\begin{figure}[H] \centering +\includegraphics{pdf/IV/02-02-00.pdf} +\end{figure} \paragraph{Ansatz} \begin{align} \ket{a} &= \sum_{\alpha \in D} c_\alpha \ket{\alpha} + \sum_{\mu \notin D} d_\mu \ket{\mu}\\[10pt] @@ -140,7 +140,7 @@ Störung: $H_1$ sei E'feld \begin{itemize} \item in Ordnung $\lambda$ d.h. in $O(\abs{E})$: \begin{equation} - \dirac{1,0,0}{H_1}{1,0,0} = \intgru{\Phi^*_{1,0,0} (\vec{r}) \cdor e \abs{E} z \Phi_{1,0,0}(\vec{r})}{r^3} = 0 + \dirac{1,0,0}{H_1}{1,0,0} = \intgru{\Phi^*_{1,0,0} (\vec{r}) \cdot e \abs{E} \hat{z} \Phi_{1,0,0}(\vec{r})}{r^3} = 0 \end{equation} \item in Ordnung $\abs{E}^2$: \begin{align} @@ -179,11 +179,11 @@ diagonalisieren: $\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}$ \begin{enumerate} \item Diagonalelemente \begin{equation} - \dirac{\alpha}{H_1}{\alpha} \tilde \intgru{\cos\theta\abs{\Phi_{n,l,m}}^2}{(\cos\theta)} \equiv 0 + \dirac{\alpha}{H_1}{\alpha} \sim \intgru{\cos\theta\abs{\Phi_{n,l,m}}^2}{(\cos\theta)} \equiv 0 \end{equation} \item Nichtdiagonalelemente \begin{equation} - \dirac{n',l',m'}{\hat{z}}{n,l,m} \tilde \intgru{e^{i(m-m')\phi}}{\phi} \tilde \krondelta{m,m'} + \dirac{n',l',m'}{\hat{z}}{n,l,m} \sim \intgru{e^{i(m-m')\phi}}{\phi} \sim \krondelta{m,m'} \end{equation} mit \begin{equation} diff --git a/kapIV-2.tex.backup b/kapIV-2.tex.backup new file mode 100644 index 0000000..7e94d27 --- /dev/null +++ b/kapIV-2.tex.backup @@ -0,0 +1,192 @@ +\chapter{Zeitabhängige Störungstheorie} +Für $H = H_0 + \lambda_1$ mit $H_0$ exakt lösbar und $\lambda \ll 1$, lässt sich das Problem perturativ angeben. +\section{Nichtentarteter Fall} +gegeben: +\begin{equation} + \left(H_0 - E_\alpha \right) \ket{\alpha} = 0 ~ \left[ H_0 \ket{\alpha} = E_\alpha \ket{\alpha} \right] +\end{equation} +suche: +\begin{equation} + \left( H - E_a \right) \ket{a} = 0 \label{stern00} +\end{equation} +mit $\ket{a} \rightarrow \ket{\alpha}$ (für $x \rightarrow 0$) eindeutig, da nicht entartet. +\paragraph{Strategie} Wir entwickeln nach $\lambda$ +\begin{equation} + \ket{a} = c_\alpha \ket{\alpha} + \sum_{\beta \neq \alpha} d_\beta \ket{\beta} \text{ und } d_\beta = O(\lambda) +\end{equation} +Norm: +\begin{align} + \abs{c_\alpha}^2 + \sum_{\beta \neq \alpha} \abs{d_\beta}^2 &= 1\\ + \rightarrow c_\alpha &= 1 - O(\lambda^2) +\end{align} +einsetzen in (\ref{stern00}): +\begin{align} + 0 &= \left( H - E_\alpha \right) \ket{\alpha}\\ + 0 &= \left( H_0 - \lambda H_1 - E_\alpha \right) \left( c_\alpha \ket{\alpha} + \sum_{\beta \neq \alpha} d_\beta \ket{\beta} \right) &\left| \bra{\gamma} ~ \gamma \neq \alpha \right.\\ + &= c_\alpha \lambda \dirac{\gamma}{H_1}{\alpha} + \sum_{\beta \neq \alpha} d_\beta \left( E_\beta \krondelta{\beta,\gamma} + \lambda \dirac{\gamma}{H_1}{\beta} - E_a \krondelta{\beta,\gamma} \right)\\ + 0 &= \underbrace{c_\alpha}_{1-O(\lambda^2)} \lambda \dirac{\gamma}{H_1}{\alpha} + d_\gamma \left( E_\gamma - E_a \right) + \underbrace{\lambda \sum_{\beta \neq \alpha} d_\beta \dirac{\gamma}{H_1}{\beta}}_{O(\lambda^2)} +\end{align} +in niedrigster Ordnung erhält man: +\begin{align} + \rightarrow d_\gamma &= \lambda \frac{\dirac{\gamma}{H_1}{\alpha}}{\underbrace{E_a}_{E_\alpha - O(\lambda)} - E_\gamma} + O(\lambda^2)\\ + \rightarrow d_\beta &= \lambda \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta}\\ + \ket{a} = \ket{\alpha} + \lambda \sum_{\beta \neq \alpha} \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta} \ket{\beta} + O(\lambda^2) +\end{align} +gut falls: +\begin{equation} + \lambda \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta} \ll 1 ~ \forall \beta \neq \alpha +\end{equation} +Energieverschiebung: +\begin{align} + 0 &= \left( H - E_\alpha \right) \ket{a} &\left| \ket{\alpha} \right.\\ + 0 &= \bra{\alpha} \left( H_0 + \lambda_1 H_1 - E_a \right) \left( \ket{\alpha} + \lambda \sum_{\beta \neq \alpha} \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta} \ket{\beta} + O(\lambda^2) \right)\\ + E_a &= E_ \alpha + \lambda \dirac{\alpha}{H_1}{\alpha} + \lambda^2 \sum_{\beta \neq \alpha} \frac{\dirac{\alpha}{H_1}{\beta} \dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha - E_\beta} + O(\lambda^3) +\end{align} +\paragraph{Fazit} +\begin{enumerate} + \item In der führenden Ordnung ist die Energieverschiebung das Matrixelement der Störung im ungestörten Zustand. + \item Falls $\dirac{\alpha}{H_1}{\alpha}$ aus Symmetriegründen verschwindet, dann tragen alle Zustände zu nichtverschwindenden Korrekturen bei! +\end{enumerate} +\paragraph{Beispiel} +\begin{align} + H &= \frac{p^2}{2m} + \frac{m}{2} \omega^2 x^2 + \lambda \underbrace{x^4}_{H_1}\\ + H_0 \ket{n} &= \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \ket{n} +\end{align} +Grundzustandsverschiebung +\begin{equation} + E_0 = \hbar \omega \frac{1}{2} + \lambda \dirac{0}{x^4}{0} +\end{equation} +entsprechend +\begin{equation} + E_0 = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) + \lambda \dirac{n}{x^4}{n} +\end{equation} +%\begin{figure}[H] \centering +%\includegraphics{pdf/III/02-01-00.pdf} +%\end{figure} +Konsequenz? +\begin{itemize} + \item für $\lambda$ negativ $\abs{\lambda} \ll 1$ + %\begin{figure}[H] \centering + %\includegraphics{pdf/III/02-01-01.pdf} + %\caption{gestrichelte Kurve entspricht $\frac{m}{2} \omega x^2 \abs{\lambda} x^4$} + %\end{figure} + \item für $\lambda$ positiv + %\begin{figure}[H] \centering + %\includegraphics{pdf/III/02-01-02.pdf} + %\end{figure} +\end{itemize} +volle Rechnung zeigt: +\begin{equation} + E_n(\lambda) = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) + A^{(1)}_n (\lambda) + A^{(2)}_n (\lambda) +\end{equation} +mit +\begin{equation} + A^{(1)}_n (\lambda) = O(\lambda) ~ ; ~ A^{(2)}_n (\lambda) = O \left(e^{-\frac{1}{\lambda}} \right) +\end{equation} + +\section{Entarteter Fall} +\begin{itemize} + \item Obige Formel wegen Energienenner nicht anwendbar bei Entartung. + \item sehr relevant: Aufhebeung der Entartung durch Störung +\end{itemize} +%\begin{figure}[H] \centering +%\includegraphics{pdf/III/02-02-00.pdf} +%\end{figure} +\paragraph{Ansatz} +\begin{align} + \ket{a} &= \sum_{\alpha \in D} c_\alpha \ket{\alpha} + \sum_{\mu \notin D} d_\mu \ket{\mu}\\[10pt] + 0 &= \left( H - E_a \right) \ket{a}\\ + \rightarrow 0 &= \left( H_0 + \lambda H_1 - E_a \right) \left( \sum_{\mu \notin D} d_\mu \ket{\mu} \right) +\end{align} +\paragraph*{Projektion auf $\bra{\nu} \notin D$} +\begin{align} + 0 &= \lambda \sum_\alpha c_\alpha \dirac{\nu}{H_1}{\alpha} d_\nu \left( E_\nu - E_a \right) + \lambda \sum_{\mu \notin D} d_\mu \dirac{\nu}{H_1}{\mu}\\ + \rightarrow d_\nu &= \lambda \frac{\sum_\alpha c_a \dirac{\nu}{H_1}{\alpha}}{\underbrace{E_a}_{E_\alpha} - E_\nu} + o(\lambda^2) +\end{align} +\paragraph*{Projektion auf $\bra{\beta} \in D$} +\begin{align} + 0 &= \sum_\alpha c_\alpha \left( E_\alpha - E_a \right) \krondelta{\alpha,\beta} + \lambda \sum_\alpha c_\alpha \dirac{\beta}{H_1}{\alpha} + \lambda \sum_\mu d_\mu \dirac{\beta}{H_1}{\alpha}\\ + 0 &= \sum_\alpha c_\alpha \left( \left( E_a - E_\alpha \right) \krondelta{\alpha,\beta} + \underbrace{\lambda \dirac{\beta}{H_1}{\alpha} + \lambda^2 \sum_{\mu \notin D} \frac{\dirac{\beta}{H_1}{\mu} \dirac{\mu}{H_1}{\alpha}}{E_\alpha E_\mu}}_{\equiv \dirac{\beta}{H_\text{eff}}{\alpha}} \right) + O(\lambda^3) +\end{align} +$\forall \beta = 1, ..., N$ mit $N$ die Dimension von $D$\\ +d.h. LGS für die $c_\alpha$ hat nichttriviale Lösung falls +\begin{equation} + \detb{E_\alpha \krondelta{\alpha,\beta} + \dirac{\beta}{H_\text{eff}}{\alpha} - E_\alpha \krondelta{\alpha,\beta}} = 0 +\end{equation} +d.h. wir müssen $H_0 + H_\text{eff}$ im Unterraum $D$ diagonalisieren +\paragraph{Fazit} +\begin{enumerate} + \item in Ordnung $\lambda$ reicht es $H_1$ im entarteten Unterraum zu diagonalisieren + \item falls $H_1$ die Entartung nicht aufhebt, muss der $\lambda^2$-Term mitgenommen werden +\end{enumerate} + +\section{Beispiel: Stark-Effekt} +H-Atom: +\begin{equation} + H_0 \ket{n,l,m} = E_n \ket{n,l,m} +\end{equation} +mit +\begin{equation} + E_n = \frac{l^2}{2 a_0} \frac{1}{n^2} \text{; Entartung } g(n) = n^2 +\end{equation} +Störung: $H_1$ sei E'feld +\begin{equation} + H_1 = e \abs{E} \hat{z} \text{ für } \lambda = 1 +\end{equation} +\paragraph{Erster Grundzustand} +\begin{equation} + \ket{1,0,0} \rightarrow \braket{r,\theta,\varphi}{1,0,0} = \Phi_{1,0,0}(\vec{r}) = \frac{U_{1,0}}{r}Y_{0,0} = \frac{1}{\sqrt{\pi} a_0^\frac{3}{2}}e^{-\frac{r}{a_0}} +\end{equation} +\begin{itemize} + \item in Ordnung $\lambda$ d.h. in $O(\abs{E})$: + \begin{equation} + \dirac{1,0,0}{H_1}{1,0,0} = \intgru{\Phi^*_{1,0,0} (\vec{r}) \cdor e \abs{E} z \Phi_{1,0,0}(\vec{r})}{r^3} = 0 + \end{equation} + \item in Ordnung $\abs{E}^2$: + \begin{align} + E_a = E_\alpha + ... &= E_1 + \sum_{\beta,\alpha} \frac{\abs{\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}}^2}{E_\beta - E_\alpha}\\ + &= \left( E_1 \sum_{n=2}^\infty \sum_{l=0}^{n-1} \sum_{m=-l}^{+l} \frac{\abs{\dirac{n,l,m}{H_1}{1,0,0}}^2}{E_1 - E_n} + \int \text{Kontinuum} \right) + O(E^3) + \end{align} + mit + \begin{align} + \dirac{n,l,m}{\hat{z}}{1,0,0} &= \intgr{0}{-\infty}{r \intgr{-1}{+1}{\intgr{0}{2\pi}{\frac{U_{n,r}(r)}{r} Y^*_{l,m}(\theta,\varphi) r \underbrace{\cos\theta}_{Y_{1,0} \frac{1}{\sqrt{\pi} a_0^\frac{3}{2}}e^{-\frac{r}{a_0}}}}{\varphi}}{(\cos\theta)}}{r}\\ + &= \krondelta{m,0} \krondelta{l,1} \frac{1}{\sqrt{3}} \int U_{n,1}(r) r U_{1,0}(r) + \end{align} +\end{itemize} +am meisten trägt $n=2$ bei +\begin{align} + \dirac{2,1,0}{\hat{z}}{1,0,0} &= \frac{a_0}{\sqrt{3}} \intgr{0}{\infty}{\frac{r^2 e^{-\frac{r}{2}}}{2 \sqrt{6}} r \left( 2r e^{-r} \right)}{r}\\ + &= \frac{2^7 \sqrt{2}}{3^5} a_0 +\end{align} +und damit ist +\begin{equation} + E_{1,0,0} = E_1 - 1,48 a_0^3 \abs{E}^2 +\end{equation} +und für alle weiteren $n$ +\begin{equation} + E_{1,0,0} \rightarrow E_1 - \frac{9}{4} a_0^3 \abs{E}^2 +\end{equation} +\paragraph{linerarer Stark-Effekt für n=2} +\begin{align} + \braket{r,\theta,\varphi}{2,0,0} &= \Phi_{2,0,0}(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2 a_0^3}} \left(1 - \frac{r}{2a_0} \right) e^{-\frac{r}{2a_0}} Y_{0,0}\\ + \braket{r,\theta,\varphi}{2,1,m} &= \Phi_{2,1,m} (\vec{r}) = \frac{1}{24 a_0^3} \frac{r}{a_0} e^{-\frac{r}{2a_0}} Y_{l,m} +\end{align} +im entartetetn Unterraum $\setCond{\bra{\alpha}}{\alpha = 1,2,3,4}$ mit +\begin{equation} + \bra{1} = \bra{1,0,0} ;~ \bra{2} = \bra{2,1,0} ;~ \bra{3} = \bra{2,1,1} ;~ \bra{4} = \bra{2,1,-1} +\end{equation} +diagonalisieren: $\dirac{\beta}{H_1}{\alpha}$ +\begin{enumerate} + \item Diagonalelemente + \begin{equation} + \dirac{\alpha}{H_1}{\alpha} \tilde \intgru{\cos\theta\abs{\Phi_{n,l,m}}^2}{(\cos\theta)} \equiv 0 + \end{equation} + \item Nichtdiagonalelemente + \begin{equation} + \dirac{n',l',m'}{\hat{z}}{n,l,m} \tilde \intgru{e^{i(m-m')\phi}}{\phi} \tilde \krondelta{m,m'} + \end{equation} + mit + \begin{equation} + \dirac{1}{H_1}{2} = \dirac{2}{H_1}{1} = \dirac{2,0,0}{e\abs{E}z}{×} + \end{equation} +\end{enumerate} diff --git a/kapIV-3.tex b/kapIV-3.tex new file mode 100644 index 0000000..8ba04ab --- /dev/null +++ b/kapIV-3.tex @@ -0,0 +1,69 @@ +\chapter{Bohr'sche Näherung für Streutheorie} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/IV/03-00-00.pdf} +% \end{figure} +\section{Geometrie} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/IV/03-01-00.pdf} +% \end{figure} +\section{Stat SG} +\equationblock{\Phi\sbk{\vec{r}} = \Phi^\text{in}\sbk{\vec{n}} + \Phi^\text{ex}\sbk{\vec{r}}} +mit +\equationblock{\Phi^\text{ex}\sbk{\vec{r}} \longrightarrow^{\vec{r}\rightarrow\infty} f\sbk{\theta,\Phi} \frac{e^{\i k \vec{r}}}{r}} +und +\equationblock{\Phi^\text{in}\sbk{\vec{r}} = e^{i \vec{k} \vec{r}}} +SG: +\begin{align} + \sbk{-\frac{\hbar^2}{2 \mu} \vec{\nabla}^2 + V\sbk{\vec{r}}} \Phi\sbk{\vec{r}} &= E \Phi\sbk{\vec{r}} &\left| -\frac{2 \mu}{\hbar^2} \right. \\ + \sbk{\vec{\nabla}^2 - V\sbk{\vec{r}}} \Phi\sbk{\vec{r}} &= -\frac{2 \mu}{\hbar^2} E \Phi\sbk{\vec{r}} &\left; E = \frac{\hbar^2}{2 \mu} k^2 \right. \\ + \rightarrow \sbk{\vec{\nabla}^2 + k^2} \Phi\sbk{\vec{r}} &= V\sbk{\vec{r}} \Phi\sbk{r} +\end{align} + +Green's Funktion Ansatz +\begin{align} + &\sbk{\vec{\nabla}^2 + k^2} G^0\sbk{\vec{r}-\vec{r'}} = \delta\sbk{\vec{r}-\vec{r'}} \\ + &\Phi\sbk{\vec{r}} = \intgru{}{r'} G^\sbk{0}\sbk{\vec{r}-\vec{r'}} V\sbk{\vec{r'}} \Phi\sbk{\vec{r'}} + \underbrace{\Phi^\sbk{0}\sbk{\vec{r}}}_{\text{beliebige Lösung der homogenen Gl.}} +\end{align} +\begin{enumerate} + \item für $V = 0$: \equationblock{\Phi\sbk{\vec{r}} = \Phi^\sbk{0}\sbk{\vec{r}} = e^{\i \vec{k} \vec{r}}} + \item in $\bigOb{V}$: \equationblock{\Phi{\vec{r}} \approx \sbk{\intgru{}{\vec{r}} G^\sbk{0}\sbk{\vec{r}-\vec{r'}} v\sbk{\vec{r}} e^{\i \vec{k} \vec{r}}} + e^{\i \vec{r} \vec{r}}} + \item im Prinzip iterieren: + \begin{align} + \Phi &= \Phi^0 + \G^\sbk{0}v \Phi^0 + G^\sbk{0} v G^\sbk{0} \Phi^\sbk{0} + \ldots + &= \frac{1}{1 - G^\sbk{0} v} \Phi^\sbk{0} &\left( geometrische Reihe \right) + \end{align} + formal exakt, praktische ziemlich nutzlos +\end{enumerate} + +\section{Berechnung der Green'schen Funktion} +\begin{align} + \sbk{\vec{\nabla}^2 + k^2} G\sbk{\vec{u}} &= \delta\sbk{\vec{u}} &\left| \intgru{e^{-\i \vec{q} \vec{u}}}{\vec{u}} \right. \\ + \sbk{-\vec{q}^2 + k^2} G\sbk{q} &= 1 \\ + G\sbk{q} &= \frac{1}{k^2 - q^2} \\ + G\sbk{\vec{ u}} &= \intgru{\frac{1}{\sbk{2 \pi}^2} \frac{1}{k^2 - q^2} e^{\i \vec{q} \vec{u}}}{q} \\ + &= \frac{1}{4 \pi^2} \intgr{-1}{+1}{\intgr{0}{\infty}{q^2 \frac{1}{k^2 - q^2} e^{\i q u \cosb{\theta}}}{q}}{\sbk{\cosb{\theta}}} \\ + &= \frac{1}{4 \pi^2} \intgr{0}{\infty}{\frac{q^2}{\i q u} \sbk{e^{\i q u} - e^{-\i q u}} \frac{1}{k^2 - q^2}}{q} \\ + &= \frac{1}{4 \pi^2} \frac{1}{\i n} \intgrinf{\frac{q e^{\i q n}}{k^2 -q^2}}{q} + &= \frac{1}{4 \pi^2} \frac{1}{\i n} \intgrinf{\frac{q e^{\i q u}}{k^2 - q^2 + \i \epsilon}}{q} \\ +\text{Residuensatz} \Rightarrow &= \frac{1}{4 \pi^2} \frac{1}{\i u} 2 \pi \i \underbrace{Res\sbk{q=k}_{\epsilon \rightarrow 0}}_{-\frac{k}{2 k} e^{\i k u} \\ +G\sbk{u} &= -\frac{1}{4 \pi u} e^{\i k u} +\end{align} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/IV/03-03-00.pdf} +% \end{figure} + +\section{Bohr'sche Näherung} +\equationblock{} + +\section{Streuamplitude und differentieller Wirkungsquerschnitt} + +Bsp.: abgeschirmtes Coulomb-Potential + Yukawa Potential + +\begin{align} + V\sbk{r} &= \frac{l^2}{r} l^{-\frac{r}{r_0}} \\ + V\sbk{q} &= \frac{4 \pi l^2}{q}\intgr{0}{\infty}{\sinb{q r'} l^{-\frac{r}{r_0}}}{r'} \\ + &= 4 \pi l^2 \frac{1}{q^2 + \frac{1}{r_0^2}} \\ + \diffTfrac{r}{\Omega} &= \frac{l^2}{4 \mu^2 \tilde{V}^4 \sin^4\sbk{\frac{\theta}{2}}} &\left \tilde{V} = \frac{\hbar k}{\mu} \left. +\end{align} +Rutherford'sche Streuquerschnitt für das Coulomb-Problem diff --git a/kapV-1.tex b/kapV-1.tex new file mode 100644 index 0000000..5384f51 --- /dev/null +++ b/kapV-1.tex @@ -0,0 +1,163 @@ +\chapter{Reine Zustände} +\section{Postulate} +\begin{itemize} + \item P1: Bei vollständiger Kenntnis (Präparation) wird ein System durch einen normierten Vektor + \equationblock{\ket{\Psi} \in \hilbert} beschrieben + \item P2a: Jeder physikalischen Größe entspricht ein hermitescher Operator + \equationblock{A = \sum a_n \ket{n} \bra{n} \text{(Spektraldarstellung)}} + mit Eigenzuständen $\ket{n}$ und reellen Eigenwerten $a_n$ + \equationblock{A = \sum a_n \ket{n} \bra{n} = \sum_\nu a_\nu P_\nu} + mit $P_\nu = \sum_{n : a_n = a_\nu} \ket{n} \bra{n}$ + \item P2b: Eine Messung von A im Zustand $\ket{\Psi}$ gibt Sicherheit einen der Eigenzustände $a_\nu$ + Die Wahrscheinlichkeit, $a_\mu$ zu messen ist: + \begin{align} + \probb{A \cequiv a_\mu}{\ket{\Psi_0}} &= \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{\Psi_0} \\ + &= \braket{\Psi}{n} \braket{m}{\Psi} \\ + &= \spbk{\braket{m}{\Psi}}^2 \\ + &= \sum_k \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{k} \braket{k}{\Psi_0} \\ + &= \sum_k \braket{k}{\Psi_0} \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{k} \\ + &= \tr\sbk{\ket{\Psi_0} \bra{\Psi_0} P_\mu} \\ + &= \tr\sbk{P_{\Psi_0} P_\mu} + \end{align} + mit $P_{\Psi_{0}} = \ket{\Psi_0} \bra{\Psi_0}$ \\ + Konsequenz: ``Erwarutngswert'' oder Mittelwert über viele Messungen in identisch präparierten Zustand $\ket{\Psi_0}$ + \begin{align} + \expval{A_{\Psi_0}} &= \sum_\nu a_\nu \probb{A \cequiv a_\nu}{\ket{\Psi_0}} \\ + &= \sum_\nu a_\nu \dirac{\Psi_0}{P_\nu}{\Psi_0} \\ + &= \dirac{\Psi_0}{A}{\Psi_0} + \end{align} + \item P2c: Unmittelbar nach der Messung des Messwertes $a_\mu$ ist das System im Zustand + \equationblock{\ket{\Psi} = \frac{O_\mu \ket{\Psi_0}}{\norm{P_\mu} \ket{\Psi_0}} \stackrel{a_\mu nicht entartet}{} \ket{m}} + \item P3: Nach einer Messung oder Präparation entwickelt sich der Zustand nach der Schrödingergleichung: + \equationblock{\i \hbar \diffPs{t} \ket{\Psi_0\sbk{t}} = H\sbk{t} \ket{\Psi\sbk{t}}} + mit dem (hermiteschen) Hamiltonoperator $H\sbk{t}$ +\end{itemize} + +\section{Einfaches Beispiel mit Spin $\frac{1}{2}$} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/V/01-02-00.pdf} +% \end{figure} +\begin{itemize} + \item P1: $\hilbert = \setC^2$ \\ + Basis: $\ket{z+}$, $\ket{z-}$ \\ + allgemeiner Zustand: $\ket{\Psi} = c_1 \ket{z+} + c_2 \ket{z-}$ mit $\spbk{c_1}^2 + \spbk{^2} = 1$ + \item P2a: Mögliche physikalische Größen: Messung durch SG in $\vec{n}$ Richtung: + % \begin{figure}[H] \centering + % \includegraphics{pdf/V/01-02-01.pdf} + % \end{figure} + mögliche Messwerte: Eigenwerte von $V_n = \pm 1$ \\ + Eigenvektoren $\ket{n+} = \inlinematrixu{\cosb{\frac{\Theta}{2}} \\ e^{\i \Phi} \sinb{\frac{\Theta}{2}}}$ + $n = \inlinematrixu{\sinb{\Theta}\cosb{\Phi} \\ \sinb{\Theta}\sinb{\Phi} \\ \cosb{\Theta}}$ + \item P2b: $\probb{\Sigma_n \cequiv +1}{\ket{\Psi_0}} = \spbk{\braket{n+}{\Psi_0}}^2$ + \item P2c: Nach der Messung von +1 mit Sicherheit im Zustand $\ket{n+}$ \\ + Besipiel für den Erwartungswert: + \begin{align} + \expval{\Sigma_n}_\ket{\Psi_0} &= \\ + \dirac{\Psi_0}{\Sigma_n}{\Psi_0} &= + \inlinematrixu{c_1^\ast & c_2} \inlinematrixu{n_z & n_x - \i n_y \\ n_x + \i n_y & -n_z} \inlinematrixu{c_1 \\ c_2} + \end{align} + \item P3: Dynamik im Magnetfeld: + \equationblock{H\sbk{t} = - \vec{mu} \vec{B}\sbk{t} = g \mu_b \frac{1}{2} \vec{\Sigma} \cdot \vec{B}\sbk{t}} + Beispiel: $\vec{B}\sbk{t} ) B_z \vec{e_z} \rightarrow H = \frac{\hbar \omega}{2} \Sigma_z$ + mit $\omega = g \mu_b \frac{B}{\hbar}$ + $\text{SG(P3)} = \i \hbar \diffPs{t} \ket{\Psi} = \hbar \frac{\hbar}{2} \Sigma_z \ket{\Psi}$ + $\Psi\sbk{t} = e^{-\frac{\i}{\hbar} H t} \ket{\Psi_0} =$ \\ + $c_1\sbk{0} e^{-\frac{\i \omega t}{2}} \ket{z+} + c_2\sbk{0} e^{+\frac{\i \omega t}{2}} \ket{z-}$ +\end{itemize} + +\chapter{Gemische: Statistischer Operator} +\section{Motivation: Ein Spiel} +% \begin{figure}[H] \centering +% \includegraphics{pdf/V/02-01-00.pdf} +% \end{figure} + +Alice sendet Bob mit Wahrscheinlichkeit $p_+ = \frac{1}{2}$ den Zustand $\ket{z+}$ und mit $p_- = \frac{1}{2}$ den Zustand $\ket{z-}$ + +Bob weiss nicht ob Alice $\ket{z+}$ oder $\ket{z-}$ geschicket hat. Bob darf aber ein beliebiges Stern-Gerlach-Experiment durchführen. + +Frage: Wie soll Bob seinen Einganszustand beschreiben? +\begin{enumerate} + \item Bobs Experiment(e) zeigen: \\ + $\expval{\Sigma_z} = \expval{\Sigma_x} = \expval{\Sigma_x} = \expval{\Sigma_n}$ \\ + Es gibt kein $\ket{\Psi_0}$ mit $\expval{\Sigma_n}_\ket{\Psi} = 0 \forall n$ \\ + Bobs Kenntnis ist unvollständig (Eingangspräparation) + \item Bobs Input besteht aus einem \textbf{klassischen} Ensemble (Gesamtheit), in dem mit \textbf{klassischer} Wahrscheinlichkeit $p_+ = \frac{1}{2}$ der Zustand $\ket{z+}$ und mit \textbf{klassischer} Wahrscheinlichkeit $p_- = \frac{1}{2}$ der Zustand $\ket{z-}$ enthalten ist. +\end{enumerate} + +\section{Definition des statistischen Operators (Dichtematrix; engl. density matrix)} +Sei $\rho$ ein Operator $\hilbert \rightarrow \hilbert$: +\begin{enumerate} + \item $\rho = \rho^\dagger$ + \item $\tr\sbk{\rho} = 1$ + \item $\dirac{\psi}{\rho}{\psi} \geq 0 \forall \ket{\psi} \in \hilbert$ +\end{enumerate} +bzw. in irgend einer Basis $\sgbk{\ket{n}}$ +\begin{enumerate} + \item $\rho_{nn} = \dirac{n}{\rho}{m} \rho^\ast_{mn}$ + \item $\sum_n \rho_{nn} = 1$ + \item $\sum_{n,m} c_n^\ast \rho_{nm} c_m \geq \forall c_n$ mit $\sum_n \spbk{c_n}^2$ +\end{enumerate} + +\section{Gemisch} +Definition: Ein quantales enthält mit Wahrscheinlichkeit $p_i$ den reinen Zustand $\ket{\psi_i}$ $\sbk{i = 1\ldots M}$ $M$ beliebig, im Allgemeinen ist $M \neq \dim \hilbert$. +\begin{enumerate} + \item $\sum_i^M p_i = 1$ + \item $\braket{\psi_i}{\psi_j} \neq \delta_{ij}$ erlaubt +\end{enumerate} +Dieses quantale Gemisch wird durch den statistischen Operator $\rho = \sum_{i=1}^M p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i} = \sum_{i=1}^M p_i P_{\psi_i}$. + +Alice präpariert $\ket{z+}$ und $\ket{z-}$ Zustand, sie würfelt und wählt dann mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ $\ket{z+}$ und mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ $\ket{z-}$, die sie zu Bob schickt. +Frage: Wie soll Bob den Eingangszustand beschreiben? + +Bobs mögliche Messwerte $\sigma_n$ sind immer noch $\pm1$. +\begin{align} + \prob{\sigma_z \cequiv +1} &= p_{z+} &= \frac{1}{2} \\ + \prob{\sigma_z \cequiv -1} &= p_{z-} &= \frac{1}{2} \\ + \prob{\sigma_n \cequiv +1} &= p_{z+} &= p_{z-} \probb{\sigma_z \cequiv +1}{\ket{z+}} + p_{z-} \probb{\sigma_z \cequiv -1}{\ket{z+}} +\end{align} + +Bsp: $\vec{n} = \vec{e_x}$ +\begin{align} + \prob{\sigma_x \cequiv 1} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \\ + \prob{\sigma_x \cequiv -1} &= &= \frac{1}{2} +\end{align} +$\Rightarrow \ssbk{\sigma_x} = 0$ +Check: +\begin{enumerate} + \item $\rho^\dagger = \sum_i p_i \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = \rho$ + \item \begin{align} + \tr\sbk{\rho} &= \sum_i \dirac{n}{\sum_{i=1}^M P_i}{\psi_i} \braket{\psi_i}{n} \\ + &= \sum_{i=1}^M P_i \spbk{\underbrace{\braket{n}{\psi_i}}_{=1}}^2 = 1 + \end{align} + \item \begin{align} + \dirac{\psi}{\rho}{\psi} &= \dirac{\psi}{\sum_{i=1}^M P_i}{\psi_i} \braket{\psi_i}{\psi} \\ + &= \sum_{i=1}^M P_i \ssbk{\underbrace{\braket{\psi_i}{\psi}}_{\geq 0}}^2 + \end{align} +\end{enumerate} +Bemerkung: +\begin{enumerate} + \item Als Spezialfall enthält der Begriff Gemisch auch den reinen Zustand. $M=1$ gibt $\rho= \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = P_{\ket{\psi_1}}$ + \item für einen reinen Zustand gilt: $\rho^2 = \rho$ +\end{enumerate} +Beweis: $\rho^2 = \rho \cdot \rho = \ket{\psi_1} \braket{\psi_1}{\psi_1} \bra{\psi_1} = \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = \rho$ + +Beispiel: +Alice präpariert mit Wahrscheinlichkeit $p_1$ den Zustand $\ket{z+}$ und mit $p_2$ den Zustand $\ket{x+}$ $\sbk{p_1 + p_2 = 1}$ +\begin{align} + \rho &= p_1 \ket{z+} \bra{z+} + p_2 \ket{x+} \bra{x+} \\ + &= p_1 \inlinematrixu{1 \\ 0} \inlinematrixu{1 & 0} + p_2 \inlinematrixu{\frac{\sqrt{2 }}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2}} \inlinematrixu{\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}} \\ + &= p_1 \inlinematrixu{1 & 0 \\ 0 & 0} + p_2 \inlinematrixu{\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}} \\ + &= \inlinematrixu{p_1 + \frac{p_2}{2} & \frac{p_2}{2} \\ \frac{p_2}{2} & \frac{p_2}{2}} +\end{align} +$\rho^2 = \rho \gdw p_1=1 \text{xor} p_1=0$ + +Bemerkung: +Die Darstellungen eines Gemisches eines + + + + + + + + diff --git a/math.tex b/math.tex index 3ed26ef..27d71c2 100644 --- a/math.tex +++ b/math.tex @@ -26,6 +26,7 @@ \newcommand{\im}[1]{{\text{Im}\left( #1 \right)}} \newcommand{\tr}{{\text{tr}}} \newcommand{\sign}{{\text{sign}}} +% \newcommand{\dim}{\text{dim}} \newcommand{\QED}{\begin{large}\textbf{\checkmark}\end{large}} \newcommand{\cequiv}{\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{=}} %ContextEQUIvalent @@ -44,6 +45,8 @@ \newcommand{\sbk}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\sqbk}[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand{\ssbk}[1]{\left< #1 \right>} +\newcommand{\spbk}[1]{{\left| #1 \right|}} +\newcommand{\sgbk}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\detb}[1]{\det\sqbk{#1}} \newcommand{\cosb}[1]{\cos\sbk{#1}} \newcommand{\sinb}[1]{\sin\sbk{#1}} @@ -60,5 +63,7 @@ \newcommand{\levicivita}[1]{\varepsilon_{#1}} \newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{#1}} +% \newcommand{\sum}[3]{\Sigma_{#1}^{#2} #3} +% \newcommand{\prod}[3]{\Pi_{#1}^{#2} #3} \newcommand{\equationblock}[1]{\begin{equation} #1 \end{equation}} diff --git a/theo2.kilepr b/theo2.kilepr deleted file mode 100644 index da34190..0000000 --- a/theo2.kilepr +++ /dev/null @@ -1,295 +0,0 @@ -[General] -img_extIsRegExp=false -img_extensions=.eps .jpg .jpeg .png .pdf .ps .fig .gif -kileprversion=2 -kileversion=2.0 -lastDocument=kapIV-2.tex -masterDocument= -name=Theo2 -pkg_extIsRegExp=false -pkg_extensions=.cls .sty -src_extIsRegExp=false -src_extensions=.tex .ltx .latex .dtx .ins - -[Tools] -MakeIndex= -QuickBuild=PDFLaTeX+ViewPDF - -[item:formelsammlung.tex] -archive=true -column=115 -encoding=UTF-8 -highlight=LaTeX -line=42 -open=false -order=6 - -[item:kapI-1.tex] -archive=true -column=17 -encoding=UTF-8 -highlight=LaTeX -line=103 -open=false -order=3 - -[item:kapI-2.tex] -archive=true -column=13 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-[item:ueb7.tex] -archive=true -column=0 -encoding=UTF-8 -highlight=LaTeX -line=0 -open=false -order=1 diff --git a/theo2.tex b/theo2.tex index 06d7fb4..af040c4 100644 --- a/theo2.tex +++ b/theo2.tex @@ -48,24 +48,30 @@ \include{kapIII-3} \include{kapIII-4} + \part{Näherungsmethoden} \label{IV} \include{kapIV-1} \include{kapIV-2} -% \part{Übungsmitschrieb} -% \label{UE} -% \include{ueb1} -% \include{ueb2} -% \include{ueb3} -% \include{ueb4} -% \include{ueb5} -% \include{ueb6} -% \include{ueb7} -% \include{ueb8} -% \include{ueb9} -% \include{ueb10} -% \include{ueb11} +\part{Übungsmitschrieb} +\label{UE} +\include{ueb1} +\include{ueb2} +\include{ueb3} +\include{ueb4} +\include{ueb5} +\include{ueb6} +\include{ueb7} +\include{ueb8} +\include{ueb9} +\include{ueb10} +\include{ueb11} + +\part{Wiederholung} +\label{V} +\include{kapV-1} + \part{Formelsammlung} \label{FS}