From ce3876e528079fa587674c8894d97f072b5deb75 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Oliver=20Gro=C3=9F?= Date: Fri, 8 Aug 2008 14:28:55 +0200 Subject: [PATCH] Kapitel III.2 fertig (bis auf Bilder) --- kapIII-2.tex | 125 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 125 insertions(+) create mode 100644 kapIII-2.tex diff --git a/kapIII-2.tex b/kapIII-2.tex new file mode 100644 index 0000000..f0aec5c --- /dev/null +++ b/kapIII-2.tex @@ -0,0 +1,125 @@ +\chapter{Rotationssymetrie im Potential in $d=2$} +\section{Lösung der stationären Schrödingergleichung durch ``Separation der Variablen''} +\label{rotSymSGL} +Mit den Polarkoordinaten +\begin{equation} + x = \rho \cos\varphi; ~ y = \rho \sin\varphi +\end{equation} +ist der kinetische Anteil des Hamiltonoperators +\begin{equation} + \frac{\hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2}{2\mu} \cequiv -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{x}^2 + \diffPs{y}^2 \right) = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{\rho}^2 + \frac{1}{\rho}\diffPs{\rho} + \frac{1}{\rho^2}\diffPs{\varphi}^2 \right) +\end{equation} +und damit die stationäre Schrödingergleichung +\begin{equation} + \left(-\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{\rho}^2 + \frac{1}{\rho}\diffPs{\rho} +(-) \frac{1}{\rho^2}\diffPs{\varphi}^2 \right) + V(\rho) \right) \Phi(\rho,\varphi) = E \Phi(\rho,\varphi) +\end{equation} +Separationsansatz: +\begin{equation} + \Phi(\rho,\varphi) = \chi(\varphi) \cdot R(\varphi);~ v(\rho) \equiv \frac{2\mu}{\hbar^2} V(\rho);~ \varepsilon = \frac{2\mu}{\hbar^2} E +\end{equation} + +Daraus Ergibt sich: +\begin{align} + \left( -\diffPs{\rho}^2 - \frac{1}{\rho}\diffPs{\rho} + V(\rho) \right) \chi(\varphi) R(\rho) - \frac{1}{\rho^2}\diffPs{\varphi} \chi(\varphi) R(\rho) &= \varepsilon ~\chi(\varphi) R(\rho) &\left| \frac{\rho^2}{\chi R} \right.\\ + \frac{\rho^2 \left( -\diffPs{\rho}^2 -\frac{1}{\rho}\diffPs{\rho} + v(\rho) \right) R(\rho)}{R(\rho)} - \frac{\diffPs{\varphi}^2 \chi(\varphi)}{\chi(\varphi)} &= \varepsilon \rho^2 +\end{align} +Daraus folgt: +\begin{equation} + \frac{\diffPs{\varphi}^2 \chi(\varphi)}{\chi(\varphi)} = \const = -m^2 +\end{equation} +(Anmerkung: $m$ meint nicht die Masse!)\\ +und daher auch: +\begin{equation} + \chi(\varphi) = c \cdot e^{\pm i m \varphi} +\end{equation} +Die Stetigkeit der Wellenfunktion fordert: +\begin{equation} + \chi(0) = \chi(2\pi) \Rightarrow m \in \setZ +\end{equation} +Orthonormierte Basis: +\begin{align} + \chi_m(\varphi) &\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i m \varphi}\\ + \intgr{0}{2\pi}{\chi_{m'}^*(\varphi) \chi_m(\varphi)}{\varphi} = \krondelta{m,m'} +\end{align} +Vollständigkeit: Jede periodische Funktion $f(\varphi)$ kann so entwickelt werden: +\begin{equation} + f(\varphi) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} c_m e^{i m \varphi} +\end{equation} +mit +\begin{align} + c_m &\equiv \intgr{0}{2\pi}{\frac{e^{i m \varphi}}{\sqrt{2\pi}}}{\varphi}\\ + \sum_m \chi_m^*(\varphi') \chi_m(\varphi) = \delta(\varphi' - \varphi) +\end{align} +Randgleichung: +\begin{equation} + \left( -\left( \diffPs{y}^2 + \frac{1}{\rho} \diffPs{\rho} +(-) \frac{m^2}{\rho^2} \right) + v(\rho) \right) R_m(\rho) = \varepsilon_m R_m(\rho) +\end{equation} +Für gegebenes Potential $v(\rho)$ hat diese Gleichung für festes $m$ eine normierbare Lösung $R_{n,m}(\rho)$ mit Energieeigenwert $\varepsilon_{n,m}$ wobei $n$ ``radiale Quantenzahl'' (und $m$ ``azimuthale Quantenzahl'') heißt. +Wobei gilt: +\begin{equation} + \intgr{0}{\infty}{\rho R_{n',m'}^*(\rho)R_{n,m}(\rho)}{\rho} = \krondelta{n',n} \krondelta{m',m} +\end{equation} +Die beliebige Wellenfunktion $\Phi(\rho, \varphi)$ kann entwickelt werden: +\begin{equation} + \Phi(\rho,\varphi) = \sum_{n,m} c_{n,m} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i m \varphi} R_{n,m}(\rho) +\end{equation} +Spektrum: +%\begin{figure}[H] \centering +%\includegraphics{pdf/III/02-02-00.pdf} +%\end{figure} +\paragraph{Fazit} Systematische zweifache Entartung wegen der Rotationsinvarianz! +\paragraph{Nebenbemerkung} Abstarkte Notation: +\begin{equation} + \braket{\rho, \varphi}{\Phi_{n,m}} = \Phi_{n,m}(\rho, \varphi) \equiv \braket{\rho,\varphi}{n,m} +\end{equation} + +\section{Formale Behandlung der Rotationsinvarianz} +Drehoperator: +\begin{equation} + D(\phi) \ket{\psi} = \ket{\tilde{\psi}} \text{ mit } D(\phi) \approx \one - \frac{i}{\hbar} \phi J_3 +\end{equation} +Angewandt auf den Zustand $\ket{x,y}$: +\begin{align} + D(\phi) \ket{\psi} &= \ket{x\cos\phi - y\sin\phi, x\sin\phi + y\cos\phi}\\ + &\approx \ket{x - \phi y, \phi x + y} \text{ für kleine Winkel}\\[15pt] + \ket{x - \phi y, \phi x + y} \stackrel{!}{=} \left( \one - \frac{i}{\hbar} \phi J_3 \right) \ket{x,y} &\left| \bra{x',y'} \right.\\ + \braket{x',y'}{x,y} - \frac{i}{\hbar} \phi \dirac{x',y'}{J_3}{x,y} &= \braket{x',y'}{x - \phi y, y + \phi x}\\ + \delta(x'-x) \delta(y'-y) - \frac{i}{\hbar} \phi \dirac{x',y'}{J_3}{x,y} &= \delta(x' - (x - \phi y)) \delta(y' - (y - \phi x))\\ + &= \left( \delta(x'-x) + \phi y \delta'(x-x') \right) \left( \delta(y'-y) + \phi x \delta'(y-y') \right) +\end{align} +Mit +\begin{equation} + \hat{p}_x \cequiv -i\hbar \diffP{x} ~\rightarrow~ \diffP{x} = \frac{i}{\hbar} \hat{p}_x \text{ bzw. } \diffP{y} = \frac{i}{\hbar} \hat{p}_y +\end{equation} +ergibt sich: +\begin{align} + -\frac{i}{\hbar} \phi \dirac{x',y'}{J_3}{x,y} &= -\phi \hat{x} \left( \frac{i}{\hbar} \hat{p}_x \right) + \phi \hat{y} \left( \frac{i}{\hbar} \right) &\left| \delta(x-x') \delta(y-y') \right.\\ + J_3 &= \hat{x}\hat{p}_x - \hat{y}\hat{p}_y +\end{align} +$J_3$ entspricht der $z$-Komponente des Drehimpulses.\\ +In Polarkoordinaten gilt: +\begin{align} + \hat{x}\hat{p}_x - \hat{y}\hat{p}_y &= (-i\hbar) \diffP{\phi}\\ + J_3 &\cequiv (-i\hbar) \diffPs{\phi} +\end{align} +Für ein rotatotionssymmetrisches Potential $V(\rho)$ gilt also: +\begin{equation} + [V(\rho), J_3] = 0 \text{ und } \left[ \frac{p_x^2}{2m} + \frac{p_y^2}{2n}, J_3 \right] = 0 ~\rightarrow~ [H, J_3] = 0 +\end{equation} +$\Rightarrow$ Es existieren gemeinsame Eigenfunktionen!\\ +Eigenfunktionen von $J_3$: +\begin{align} + J_3 \ket{m} &= \hbar m \ket{m} &\left| \bra{\rho, \phi} \right.\\ + \dirac{\rho, \phi}{J_3}{m} = \hbar m \braket{\rho, \phi}{m}\\[15pt] + \rightarrow -i\hbar \diffPs{\phi}\underbrace{\braket{\rho,\phi}{m}}_{\psi_m(\rho,\phi)} &= \hbar m \braket{\rho,\phi}{m}\\ + -i\hbar \diffPs{\phi}\psi_m(\rho,\phi) &= \hbar m \psi_m(\rho,\phi) +\end{align} +mit +\begin{equation} + \psi_m(\rho,\phi) = e^{i m \phi} R_m(\rho) +\end{equation} +ist dann: %TODO:??? +\begin{equation} + H \ket{n,m} = E_{n,m}\ket{n,m} +\end{equation} +führt auf die Radialgleichung wie oben.