Kapitel III.4 WIP

kapIII-4.tex

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+\chapter{Rotationsinvarianz in d=3}
+\section{Drehimpulsalgebra}
+Drehung mit dem Winkel $\phi$ um $\vec{n}$:
+\begin{equation}
+	\ket{\tilde{\psi}} = D(\phi,\vec{n})\ket{\psi}
+\end{equation}
+mit
+\begin{equation}
+	D(\phi,\vec{n}) = 1 - i\frac{\phi}{\hbar} J_{\vec{n}} + O(\phi^2)
+\end{equation}
+In () hatten wir die Relation
+\begin{equation}
+	[J_x,J_y] = i\hbar J_z
+\end{equation}
+(etc. zyclisch). Diese Vertauschungsrelation bestimmt das Spektrum der $J$-Operatoren vollständig. Wir definieren ein $J^2$ zu:
+\begin{equation}
+	J^2 = \vec{J}^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2
+\end{equation}
+und daraus folgt $\forall \alpha = x,y,z$
+\begin{equation}
+	\left[ J^2, J_\alpha \right] = 0
+\end{equation}
+also haben $J^2$ und $J_z$ gemeinsame Eigenvektoren.
+\begin{align}
+	J^2 \ket{\alpha,\beta} &= \alpha \ket{\alpha,\beta}\\
+	J_z \ket{\alpha,\beta} &= \beta \ket{\alpha,\beta}
+\end{align}
+In Anlehnung an Erzeuger und Vernichter definieren wir:
+\begin{equation}
+	J_\pm \equiv J_x \pm iJ_y
+\end{equation}
+mit dem Kommutator
+\begin{align}
+	[J_z, J_\pm] &= [J_z,J_x + iJ_y]\\
+	&= i\hbar J_y \pm i(-i\hbar) J_x
+	&= \pm \hbar J_\pm
+\end{align}
+und
+\begin{equation}
+	[J^2,J_\pm] = 0
+\end{equation}
+Vergleiche Harmonischen Oszillator:
+\begin{equation}
+	[\nOp,\aDs] = -\aDs; ~ [\nOp,\aCr] = \aCr
+\end{equation}
+mit $J_\pm$ ist dann
+\begin{align}
+	J_z J_+ \ket{\alpha,\beta} &= (J_+ J_z + i\hbar J_+) \ket{\alpha,\beta}\\
+	&= (\beta + \hbar) J_+ \ket{\alpha,\beta}\\
+	J_z J_- \ket{\alpha,\beta} &= (\beta - \hbar) J_- \ket{\alpha,\beta}
+\end{align}
+und
+\begin{equation}
+	J^2 J_+ \ket{\alpha,\beta} = J_+ J^2 \ket{\alpha,\beta} = \alpha J_+ \ket{\alpha,\beta}
+\end{equation}
+also
+\begin{align}
+	J_+ \ket{\alpha,\beta} &= c_+(\alpha,\beta) \ket{\alpha,\beta + 1}\\
+	J_- \ket{\alpha,\beta} &= c_-(\alpha,\beta) \ket{\alpha,\beta - 1}
+\end{align}
+$\beta$-Spektrum ist eingeschränkt wegen:
+\begin{equation}
+	0 \leq \dirac{\alpha,\beta}{J_x^2 + J_y^2}{\alpha,\beta} = \dirac{\alpha,\beta}{J^2-J_z^2}{\alpha,\beta} = (\alpha-\beta)^2 \underbrace{\braket{\alpha,\beta}{\alpha,\beta}}_{\geq 0}
+\end{equation}