\chapter{Grundlagen}
\section{Kommutatorrelation $[\hat{x}, \hat{p}] = i \hbar$}
\paragraph*{klassisch} $H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$
\paragraph*{quantal} $\hat{x} = ?; \hat{p} = ?;$
\begin{equation}
	H = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x})
\end{equation}

sinnvolle Forderung (Motivation)
\begin{equation}
	\diffT{t} \dirac{\psi}{\hat{x}}{\psi} \stackrel{!}{=} \frac{\dirac{\psi}{p}{\psi}}{m}
\end{equation}
(Mittelwerte für alle $\ket{\psi}$ verhalten sich klassisch: $p = m \dot{x}$)

\begin{align}
	\diffT{t} \dirac{\psi}{\hat{x}}{\psi} &= \frac{1}{i \hbar} \dirac{\psi}{\hat{x}}{H \psi} - \dirac{\psi H}{\hat{x}}{\psi}\\
	&= -\frac{i}{\hbar} \dirac{\psi}{[\hat{x}, H]}{\psi}
\end{align}

\begin{align}
	[\hat{x}, H] &= \left[\hat{x}, \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}) \right]\\
	&= \left[ \hat{x}, \frac{\hat{p}^2}{2m} \right]\\
	&= \frac{1}{2m} \left( \hat{p} [\hat{x}, \hat{p}] + [\hat{x}, \hat{p}]\hat{p} \right)\\
	\rightarrow [\hat{x}, \hat{p}] &= i \hbar
\end{align}

vergleiche klassisch $\left\lbrace q,p \right\rbrace = 1$

\paragraph*{Lemma}
\begin{equation}
	[f(\hat{x}), \hat{p}] = i \hbar f'(\hat{x})
\end{equation}
\subparagraph*{Beweis}
für
\begin{equation}
	f(\hat{x}) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \hat{x}^n
\end{equation}
äquivalent zu
\begin{equation}
	[\hat{x}, \hat{p}] = n \hat{x}^{n-1} \cdot i\hbar
\end{equation}
vollständige Induktion:\\
$(n := 1)$
\begin{equation}
	[\hat{x}, \hat{p}] = i \hbar
\end{equation}
$(n := n+1)$
\begin{align}
	   [\hat{x}^{n+1}, \hat{p}] &= \hat{x} \underbrace{[\hat{x}^n, \hat{p}]}_{n(\hat{x}^{n+1}) i\hbar} + \underbrace{[\hat{x}, \hat{p}]}_{i\hbar} \hat{x}^n\\
	   &= (n+1)\hat{x}^n i\hbar
\end{align}
\begin{flushright}
	$\Box$
\end{flushright}
Wie verhält sich $\diffT{t} \dirac{\psi}{\hat{p}}{\psi}$ ?
\begin{align}
	\rightarrow \diffT{t} \dirac{\psi}{\hat{p}}{\psi} &= -\frac{i}{\hbar} \dirac{\psi}{[\hat{p}, H]}{\psi}\\
	&= -\frac{i}{\hbar} \dirac{\psi}{[\hat{x}, V(\hat{x})]}{\psi}\\
	&= -\dirac{\psi}{V'(\hat{x})}{\psi}\\
	&\neq -V'(<x>_\psi) \text{ falls $V(x)$ nicht quadratisch}
\end{align}

\section{Ortsdatsrellung (Analogie zu Spin $\frac{1}{2}$)}
\begin{tabular}{l||c|c}
	& Spin & Teilchen \\ \hline\hline
	Basis & $\sigma_z \ket{z\pm} = \pm 1 \ket{z\pm}$ & $\hat{x} \ket{x} = x \ket{x}$ \\ \hline
	Orthogonalität &
	$\begin{array}[t]{r@{\,=\,}l}\braket{z+}{z+} & 1\\ &= \braket{z-}{z-}\\ \braket{z+}{z-} & \braket{z-}{z+}\\ & 0\end{array}$ &
	$\braket{x'}{x} = \delta(x'-x)$ \\ \hline
	Zustände in Basis entwickelt & $\begin{array}[t]{r@{\,=\,}l} \ket{\psi} & \one \ket{\psi}\\ & \ket{z+}\braket{z+}{\psi} + \ket{z-}\braket{z-}{\psi} \end{array}$ & $\begin{array}[t]{r@{\,=\,}l} \ket{\psi} & \one \ket{\psi}\\ & \intgr{-\infty}{+\infty}{\ket{x}\underbrace{\braket{x}{\psi}}_{\psi(x)}}{x}\\ & \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x) \ket{x}}{x} \end{array}$
\end{tabular}

\paragraph*{Normierung}
\begin{align}
	1 \stackrel{!}{=} \braket{\psi}{\psi} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi^* \bra{x}}{x} \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x') \ket{x'}}{x'}\\
	&= \intgru{\intgru{\psi(x)\psi(x')\underbrace{\braket{x}{x'}}_{\delta(x-x')}}{x'}}{x}\\
	&= \intgru{\psi^*(x)\psi(x)}{x}\\
	&= \intgru{(\psi(x))^2}{x}
\end{align}
$\rightarrow$ Zulässige Zustände haben eine ``Wellenfunktion'', die quadrat-integrabel ist.align

\paragraph*{Erwartungswert einer Ortsmessung}
\begin{align}
	<\hat{x}>_\psi &= \dirac{\psi}{\hat{x}}{\psi}\\
	&= \intgru{\dirac{\psi}{\hat{x}}{x}\braket{x}{\psi}}{x}\\
	&= \intgru{\bra{\psi} \cdot x \ket{x} \braket{x}{\psi}}{x}\\
	&= \intgru{x\psi^*(x)\psi(x)}{x}\\
	&= \intgru{x\abs{\psi(x)}^2}{x}\\
	&\equiv \intgru{x \rho(x)}{x}
\end{align}
mit $\rho(x) \equiv \abs{\psi(x)}^2 = \psi^*(x) \psi(x)$ der Wahrscheinlichkeitsdichte das Teilchen im Zustand $\ket{\psi}$ am Ort $x$ zu messen!
\subparagraph*{Hinweis:}
\begin{equation}
	\intgr{-\infty}{+\infty}{\rho(x)}{x} = 1
\end{equation}

\paragraph*{``Matrixelemente'' des Impulsoperators in Ortsdarstellung}
(vgl. Spins $\sigma_y = \inlinematrix{0& -i\\ i& 0}$)
\begin{equation}
	\dirac{x'}{\hat{p}}{x} = ?
\end{equation}

\begin{align}
	\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} &= i \hbar & \left| \ket{x} \right.\\
	\hat{x}\hat{p} \ket{x}- \hat{p}\hat{x} \ket{x} &= i \hbar \ket{x} & \left| \bra{x'} \right.\\
	\dirac{x'}{\hat{x}\hat{p}}{x} - \dirac{x'}{\hat{p}\hat{x}}{x} &= i\hbar \braket{x'}{x}\\
	(x' - x) \underbrace{\dirac{x'}{p}{x}}_{\equiv i\hbar g(x' - x)} &= i\hbar \delta(x' - x)
\end{align}
mit $U g(u) = \delta(u)$

%TODO: folgendes abgleichen
% \subparagraph*{Behauptung}
% \begin{equation}
% 	g(u) = \delta'(u)
% \end{equation}
% 
% \subparagraph*{Beweis}
% \begin{align}
% 	-u \delta'(u) &= \delta(u)\\
% 	-\intgru{u \delta'(u) f(u-u_0)}{u} &= \intgru{\delta(u) f(u-u_0)}{u}\\
% 	\intgru{\delta(u)}\left(u f(u - u_0)\right)'{u} &=
% \end{align}

also:
\begin{equation}
	\dirac{x'}{\hat{p}}{x} = i\hbar \delta'(x'-x)
\end{equation}
Wirkung $\hat{p}$ auf $\ket{\psi}$:
\begin{align}
	\dirac{x'}{\hat{p}}{\psi} &= \intgru{\dirac{x}{\hat{p}}{x}\braket{x}{\psi}}{x}\\
	&= \intgru{(-i\hbar) \delta'(x'-x) \psi(x)}{x}\\
	&= (-i\hbar) \intgru{\delta(x'-x) \diffP{x} \psi(x)}{x}\\
	&= (-i\hbar) \psi'(x')
\end{align}
daher auch
\begin{equation}
	\hat{p} \cequiv -i\hbar \diffP{x}
\end{equation}

\section{Schrödingergleichung in Ortsdarstellung}
SG:
\begin{align}
	i\hbar \partial_t \ket{\psi} &= H \ket{\psi}\\
	&= \left( \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}) \right) \ket{\psi} & \left| \bra{x} \right.\\
	i\hbar \partial_t \braket{x}{\psi} &= \dirac{x}{\frac{\hat{p}^2}{2m}}{\psi}\\
	i\hbar \partial_t \psi(x,t) &= \left\lbrace \frac{1}{2m} \left( -i\hbar \diffP{x} \right)^2 + V(x) \right\rbrace \psi(x)
\end{align}
Falls $V(x)$ zeitabhängig ist gibt es stationäre Zustände:
\begin{equation}
	\psi(x,t) = e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t} \psi_n(x)
\end{equation}
\begin{equation}
	E_n \psi_n(x) = \left( -\frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi_n(x)
\end{equation}
Normierbare Lösung $\intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x)}^2}{x} = 1$ nur für bestimmte $E_n$!

\section{Impuls-Operator}
Zu $\hat{x} \ket{x} = x\ket{x}$ bilder wir die Analogie $\hat{p}\ket{p} = p \ket{p}$.

\paragraph*{Was ist $\braket{x}{p}$?}
\begin{align}
	\hat{p}\ket{p} &= p \ket{p} &\left| \bra{x} \right.\\
	\dirac{x}{\hat{p}}{p} &= p \braket{x}{p}\\
	\intgr{-\infty}{+\infty}{\dirac{x}{\hat{p}}{x'}\braket{x'}{p}}{x'} &= p \braket{x}{p}\\
	\intgr{-\infty}{+\infty}{-i\hbar \delta'(x - x') \braket{x'}{p}}{x'} &= p \braket{x}{p}\\
	\rightarrow -i\hbar \diffP{x} \braket{x}{p} &= p \braket{x}{p}\\
	\braket{x}{p} &= c e^{\frac{ip}{\hbar}x}
\end{align}
d.h.: Die Eigenzustände des Impulsoperators in Ortsdarstellung ist eine ebene Welle.

\paragraph*{Normierung}
\begin{align}
	\braket{p'}{p} &\stackrel{!}{=} \delta(p'-p)\\[15pt]
	\intgr{-\infty}{+\infty}{\braket{p'}{x}\braket{x}{p}}{x} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{c^* e^{\frac{i p' x}{\hbar}} c e^{\frac{i p x}{\hbar}}}{x}\\
	&= 2 \pi c c^* \delta\left(\frac{p - p'}{\hbar}\right)\\
	&= 2 \pi \hbar c c^* \delta(p - p')
\end{align}
$\rightarrow$ $c = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}$ ist korrekte Normierung!
\begin{equation}
	\braket{x}{p} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i p x}{\hbar}}
\end{equation}

\paragraph*{Erwartungswert des Impulses}
\begin{align}
	<p>_\psi &= \dirac{\psi}{\hat{p}}{\psi}\\
	&= \intgru{\dirac{\psi}{\hat{p}}{p}\braket{p}{\psi}}{p}\\
	&= \intgru{p\abs{\braket{p}{\psi}}^2}{p}
\end{align}
d.h. $\rho(p) \equiv \abs{\braket{p}{\psi}}^2$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte im Zustand $\ket{\psi}$ den Impuls $p$ zu messen.\\[15pt]
Für gegebenes $\braket{p}{\psi} = \psi(x)$ gilt
\begin{align}
	\braket{p}{\psi} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\braket{p}{x}\braket{x}{\psi}}{x}\\
	&= \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}e^{\frac{-i p x}{\hbar}}\psi(x)}{x} \equiv \psi(p)
\end{align}
$\psi(p)$ ist (leicht anders normierte) Furiertransformierte von $\psi(x)$.

\begin{align}
	\dirac{\psi}{p}{\psi} &= \intgru{\intgru{\braket{\psi}{x}\underbrace{\dirac{x}{\hat{p}}{x'}}_{-i \hbar \delta'(x - x')}\braket{x'}{\psi}}{x'}}{x}\\
	&= \intgru{\intgru{(-i \hbar) \delta'(x - x') \psi^*(x) \psi(x')}{x'}}{x}\\
	&= i \hbar \intgru{\intgru{\delta(x - x') {\psi^*}'(x) \psi(x')}{x'}}{x}\\
	&= i \hbar \intgru{{\psi^*}'(x') \psi(x')}{x'}\\
	<p>_\psi&= i \hbar \intgru{{\psi^*}'(x) \psi(x)}{x}
\end{align}

\paragraph*{Schrödingergleichung in Impulsdarstellung}
\begin{align}
	i \hbar \partial_t\ket{\psi} &= H \ket{\psi} & \left| \bra{p} \right.\\
	i \hbar \partial_t\braket{p}{\psi} &= \dirac{p}{\frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x)}{\psi}\\
	&= \left\lbrace \frac{p^2}{2m} \psi(p) + \dirac{p}{V(\hat{x})}{\psi} \right\rbrace
\end{align}