\chapter{Potentialstufen und Potentialtöpfe}
\section{Einschub: Wahrscheinlichkeitsstrom}
\begin{equation}
	\rho(x,t) = \psi(x,t) \psi^*(x,t)
\end{equation}
ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen am Ort x zu messen.

\begin{align}
	\partial_t \rho(x,t) &= \psi^*(x,t)~\partial_t \psi(x,t) + \psi(x,t)~\partial_t \psi^*(x,t)\\
	&= \psi^*(x,t) \left( \frac{1}{i \hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 - V(x)\right) \psi(x,t) \right) +
	\psi^*(x,t) \left( -\frac{1}{i \hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x)\right) \psi(x,t) \right)\\
	&= -\frac{1}{\hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \psi^*(x,t)~\partial_x^2\psi(x,t) + \frac{\hbar^2}{2m} \psi(x,t)~\partial_x^2\psi^*(x,t) \right)\\
	&= \frac{i \hbar}{2m} \partial_x \left( \psi^*~\partial_x \psi - \psi~\partial_x \psi^* \right) \equiv -\partial_x j(x,t)
\end{align}
mit
\begin{equation}
	j(x,t) \equiv \frac{\hbar}{m} \im{\psi^*(x,t)~\partial_x \psi(x,t)}
\end{equation}
der Wahscheinlichkeitsstromdichte (``Kontinuitätsgleichung''; gilt für jede Erhaltungsgröße).
\paragraph*{Beispiel: Ebene Welle}
\begin{align}
	\psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i p_0}{\hbar}x - \omega t}\\
	j(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{\hbar}{m} \im{\frac{i p}{\hbar}}%\\
% 	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{p}{}
\end{align}

\section{Streuung an der Potentialstufe}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf}
\end{figure}
\paragraph*{klassisch}
\subparagraph*{Fall 1} $E > V_0$
\begin{align}
	x < 0:~ & p(x < 0) = \sqrt{2m E}\\
	x > 0:~ & p(x > 0) = \sqrt{2m (E - V_0)}
\end{align}
Teilchen passiert die Potentialstufe, verliert Impuls
\subparagraph*{Fall 2} $E < V_0$
\begin{equation}
	p(x < 0) = \sqrt{2m E}
\end{equation}
Teilchen wird reflektiert

\paragraph*{quantal}
\subparagraph*{Fall 1} $E > 0$\\
stationäre SG:
\begin{equation}
	\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2  V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x)
\end{equation}
links: $x < 0$
\begin{equation}
	\diffPs{x}^2 \phi(x) = -k^2 \phi(x)
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	k = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}
\end{equation}
Lösung:
\begin{equation}
	\phi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x}
\end{equation}
rechts: $x > 0$
\begin{equation}
	\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 + V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x)
\end{equation}
Lösung:
\begin{equation}
	\phi(x) = C e^{i q x} + D e^{-i q x}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	q = \sqrt{\frac{2m (E - V_0)}{\hbar^2}}
\end{equation}
Randbedinung bei $x = 0$
\begin{align}
	\phi(-\varepsilon) &= \phi(+\varepsilon)\\
	\diffPs{x} \phi(-\varepsilon) &= \diffPs{x} \phi(+\varepsilon)\\
	\rightarrow A + B &= C + D\\
	i k (A - B) &= i q (C - D)\\[15pt]
	\inlinematrix{1 & 1 \\ i k & -i k} \inlinematrix{A \\ B} &= \inlinematrix{1 & 1 \\ i q & -i q} \inlinematrix{C \\ D}\\
	\inlinematrix{A \\ B} &= \frac{1}{2k} \inlinematrix{k+q & k-q \\ k-q & k+q} \inlinematrix{C \\ D}
\end{align}
$\rightarrow$ Randbedingung einer von links laufenden Welle\\
$\Rightarrow$ keine Komponente einer von rechts einlaufenden Welle für $x > 0$ erlaubt!\\
$\Rightarrow$ $D \equiv 0$\\
o.B.d.A.: $A = 1$
\begin{align}
	A &= \frac{k + q}{2k} C ~ \rightarrow C = \frac{2k}{k+q}\\
	B &= \frac{k - q}{2k} C ~ \rightarrow B = \frac{k - q}{k + q}
\end{align}
Strom links: $x < 0$
\begin{align}
	j(x < 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi ~ \phi^*}\\
	&= \frac{\hbar}{m} \im{i k \left(A e^{i k x} - B e^{-i k x} \right) \left(A^* e^{- i k x} + B^* e^{i k x}\right)}\\
	&= \frac{\hbar}{m} \im{ik \left( A A^* - B B^*\right) + ik \left( A B^* e^{2 i k x} - A^* B e^{-2 i k x} \right)}\\
	&= \frac{\hbar}{m} k \left( 1 - \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \right) \equiv j_I - j_R
\end{align}
mit
\begin{align}
	j_I &= \frac{\hbar k}{m} &\text{einfallend}\\
	j_R &= \frac{\hbar}{m} k \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \equiv R j_I &\text{reflectiert}
\end{align}
Strom rechts: $x > 0$
\begin{align}
	j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x} \phi(x > 0) \phi(x > 0)}\\
	&= \frac{\hbar}{m} q C^2\\
	&= \frac{\hbar}{m} q \sbk{\frac{2k}{k + q}}^2\\
	&\equiv j_T \equiv T j_I
\end{align}
mit dem Reflexionskoeffizient
\begin{equation}
	R \equiv \frac{j_R}{j_I} = \left(\frac{k - q}{k + q}\right)^2
\end{equation}
und dem Transmissionskoeffizient
\begin{equation}
	T \equiv \frac{j_T}{j_I} = \frac{q}{k} \left( \frac{2k}{k + q} \right)^2
\end{equation}
für die gilt:
\begin{equation}
	\boxed{R + T = 1}
\end{equation}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/03-02-01.pdf}
\end{figure}
Zusammenfassung:\\
Auch für $E > V_0$ wird ein Teil reflektiert!

\subparagraph*{Fall 2} $0 < E < V_0$\\
links: wie oben\\[15pt]
rechts:
\begin{align}
	\diffPs{x}^2 \phi(x) &= 2m \frac{V_0 - E}{\hbar^2} \phi(x)\\
	\phi(x) &= C e^{-\kappa x} + D e^{\kappa x}
\end{align}
mit
\begin{equation}
	\kappa \equiv \sqrt{\frac{2m (V_0 - E)}{\hbar^2}}; ~ D \stackrel{!}{=} 0 \text{ (explodiert für } x \rightarrow +\infty \text{)}
\end{equation}
Stetigkeit:
\begin{align}
	A + B &= C\\[15pt]
	\diffPs{x} \phi(x) \cdot i k (A - B) &= -C \kappa\\[15pt]
	A &= 1\\
	\rightarrow C &= \frac{2k}{k + i \kappa}\\
	B &= \frac{k - i \kappa}{k + i \kappa}
\end{align}
transmittierter Strom:
\begin{align}
	j_T = j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi(x > 0) ~ \phi^*(x > 0)}\\
	&= \frac{\hbar}{m} \im{\frac{(-\kappa) 2 k}{k + i\kappa} \cdot \frac{2k}{k i \kappa} e^{-2 \kappa x}}\\
	&=0\\[15pt]
	j_R &= j_I
\end{align}
Wellenfunktion für $x > 0$
\begin{align}
	\phi(x) &= C e^{-\kappa x}\\[15pt]
	\rho(x) &= \abs{\phi(x)}^2 = C C^* e^{-2 \kappa x} \neq 0
\end{align}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/03-02-02.pdf}
\caption{das Teilchen dringt in die Potentialstufe ein}
\end{figure}

\section{Potentialtopf}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/03-03-00.pdf}
\caption{gebundene Zustände $0 > E > -\abs{V_0}$}
\end{figure}
\paragraph*{symmetrische Lösung}
\begin{align}
	\abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \cos(q x)\\
	q &= \frac{2m (E + \abs{V_0})}{\hbar^3}\\
	\abs{x} > a: ~ \phi(x) &= B e^{-\kappa \abs{x}}\\
	\kappa^2 &= \frac{2m}{\hbar^2} \abs{E}
\end{align}
Stetigkeit:
\begin{align}
	A \cos(q a) &= B e^{-\kappa a} \label{eqn00}\\
	\text{von } \diffPs{x}\phi(0) ~ \rightarrow -A q \sin(q a) &= -\kappa B e^{-\kappa a} \label{eqn01}
\end{align}
teile \ref{eqn01} durch \ref{eqn00}:
\begin{equation}
	\tan(q a) = \frac{\kappa}{q} = \frac{\sqrt{\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - (q a)^2}}{q a}
\end{equation}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/03-03-01.pdf}
\end{figure}
\begin{itemize}
	\item endlich viele diskrete $q$-Werte d.h. $E$-Werte mit Lösung
	\item es gibt mindestens eine Lösung
\end{itemize}
für $\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} < \pi^2$ existiert nur eine Lösung
\subparagraph*{Grundzustand $\phi_0$}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/03-03-02.pdf}
\end{figure}
\begin{equation}
	\phi_0(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} A \cos(q_0) & \abs{x} < a\\ B e^{-\kappa x} & \abs{x} \geq a \end{array} \right.
\end{equation}
$A$, $B$ über Stetigkeit und Normierung berechnen

\paragraph*{asymmetrische Lösung}
\begin{align}
	\abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \sin(q x)\\
	\abs{x} > a: ~ \phi(x) &= \sign(x) e^{-\abs{\kappa} x}
\end{align}
wie oben:
\begin{equation}
	\tan(q a) = -\frac{q a}{\sqrt{\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - q a}}
\end{equation}
gibt es nur falls $\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} > \frac{\pi^2}{4}$
\subparagraph*{Spektrum}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/03-03-03.pdf}
\end{figure}