\chapter{Beispiel: 2-dim. harmonischer Oszillator}
\section{Bestimmung des Spektrum: Abbildung auf 1-dim. harmonischer Oszillator}
Teilchen mit Masse $\mu$ in $V(x,y)$:
\begin{align}
	V(x,y) &= \frac{\mu}{2} \omega^2 (x^2 + y^2)\\
	&= \frac{\mu}{2} \omega^2 \rho^2
\end{align}
\paragraph{Lösung der Schrödingergleichung} Naiver Weg: Asymptotik abspalten und Potenzreihenansatz in
\begin{equation}Darstellung
	\left( -\frac{k^2}{2\mu} \left( \diffPs{\rho}^2 + \frac{1}{\rho} \diffPs{\rho} - \frac{m^2}{\rho^2} \right) + V(\rho) \right) R_m(\rho) = E R_m(\rho)
\end{equation}
der abberchen muss woraus das Spektrum folgt.
\begin{equation}
	\left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{x}^2 \diffPs{y}^2 \right) + \frac{\mu}{2} \omega^2 (x^2 + y^2) \right) \phi(x,y) = E \phi(x,y)
\end{equation}
Lösung durch Separation der Variablen: Mit
\begin{equation}
	\phi(x,y) = \psi_1(x) \cdot \psi_2(y)
\end{equation}
erhält man
\begin{equation}
	\underbrace{\frac{\left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \diffPs{x}^2 + \frac{\mu}{2} \omega^2 x^2 \right) \psi_1}{\psi_1}}_{\equiv E_1} +
	\underbrace{\frac{\left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \diffPs{y}^2 + \frac{\mu}{2} \omega^2 y^2 \right) \psi_2}{\psi_2}}_{\equiv E_2}
\end{equation}
daraus folgt:
\begin{align}
	E_1 &= \hbar \omega \left( n_1 + \frac{1}{2} \right)\\
	E_2 &= \hbar \omega \left( n_2 + \frac{1}{2} \right)
\end{align}
Spektrum des 2-dimensionalen harmonischen Oszillators:
\begin{align}
	E &= \hbar \omega \left( n_1 + n_2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) & \left( n_{1,2} = 0,1,2,... \right)\\
	\rightarrow E &= \hbar \omega (N + 1) & \left( N = 0,1,2,... \right)
\end{align}
Die Eigenvektoren sind dann: $\ket{n_1,n_2}$. Darüber hinaus sind alle $n_1$, $n_2$ mit $n_1 + n_2 = N$ entartet:
%\begin{figure}[H] \centering
%\includegraphics{pdf/III/03-01-00.pdf}
%\end{figure}
$\Rightarrow$ $N$ ist $(N+1)$-fach entartet!
\paragraph{Befund} Rotationsinvarianz ist nicht sichtbar in der Darstellung$ \ket{n_1,n_2}$: Beispielsweise ist im Ortsraum
\begin{equation}
	\braket{x,y}{0,1} = \underbrace{\braket{x}{1}}_{\phi_1(x)} \underbrace{\braket{y}{0}}_{\phi_0(y)} = \const \cdot x e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{y^2}{2}}
\end{equation}
nicht rotationsinvariant.

\section{Explizite Rotationsinvarianz}
Wir suchen $\ket{n,m}$ mit:
\begin{align}
	H \ket{n,m} &= E_{n,m} \ket{N,m}\\
	J_3 \ket{n,m} &= \hbar m \ket{N,m}
\end{align}
Wobei wir bereits $\set{\ket{n_1,n_2}}$ haben, d.h. letztlich: $\braket{n,m}{n_1,n_2}$. Die Erzeuger- und Vernichteroperatoren sind:
\begin{itemize}
	\item Harmonischer Oszillator in $x$-Richtung:
		\begin{align}
			\aDs_1 &= \frac{1}{\sqrt{2}} (x + i p_x)\\
			\aCr_1 &= \frac{1}{\sqrt{2}} (x - i p_x)
		\end{align}
	\item Harmonischer Oszillator in $y$-Richtung:
		\begin{align}
			\aDs_2 &= \frac{1}{\sqrt{2}} (y + i p_y)\\
			\aCr_2 &= \frac{1}{\sqrt{2}} (y - i p_y)
		\end{align}
\end{itemize}
Daraus ergibt sich der Hamiltonoperator zu
\begin{equation}
	H = \hbar \omega \left( \aCr_1 \aDs_1 + \aCr_2 \aDs + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)
\end{equation}
und mit
\begin{equation}
	\nOp_1 = \aCr_1 \aDs_1 ; ~ \nOp_1 = \aCr_2 \aDs_2 ; ~ \ket{n_1,n_2} = \ket{n_1} \otimes \ket{n_2}
\end{equation}
und
\begin{align}
	\aCr_1 \ket{n_1, n_2} &= \sqrt{n_1 + 1} \ket{n_1+1,n_2} \\
	\aDs_2 \ket{n_1, n_2} &= \sqrt{n_2} \ket{n_1,n_2-1}
\end{align}
ist:
\begin{equation}
	H \ket{n_1,n_2} = \hbar \omega (n_1 + n_2 + 1) \ket{n_1, n_2}
\end{equation}
$J_3$ in Ortsdarstellung ist
\begin{align}
	J_3 &= \hbar \left( x \cdot p_y - y \cdot p_x \right) \\
	&= \hbar \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aCr_1 + \aDs_1 \right) \cdot \frac{i}{\sqrt{2}} \left( \aCr_2 - \aDs_2 \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aCr_2 + \aDs_2 \right) \cdot \frac{i}{\sqrt{2}} \left( \aCr_1 - \aDs_1 \right) \right) \\
	&= i\hbar \left( -\aCr_1 \aDs_2 + \aCr_2 \aDs_1 \right)
\end{align}
und damit:
\begin{align}
	J_3 \ket{0,0} &= i\hbar \left( -\aCr_1 \aDs_2 + \aCr_2 \aDs_1 \right) \ket{0,0} \\
	&= i\hbar \ket{\zero} \\
	&= \zero \ket{0,0}\\[15pt]
	J_3 \ket{0,1} &= i\hbar \left( -\aCr_1 \aDs_2 + \aCr_2 \aDs_1 \right) \ket{0,1} \\
	&= -i\hbar \ket{1,0} \\[15pt]
	J_3 \ket{1,0} &= i\hbar \ket{0,1}
\end{align}
Ansatz:
\begin{align}
	J_3 \left( c_1 \ket{0,1} + c_2 \ket{1,0} \right) &\stackrel{!}{=} \eta \left( c_1 \ket{0,1} + c_2 \ket{1,0} \right)\\
	c_1 (-i\hbar) \ket{1,0} + c_2 (i\hbar) \ket{1,0} &\stackrel{!}{=} \eta \left( c_1 \ket{0,1} + c_2 \ket{1,0} \right)\\[15pt]
	\Rightarrow c_2 (i\hbar) &= \eta c_1\\
	c_1 (-i\hbar) &= \mu c_2\\[15pt]
	\Rightarrow \eta &= i\hbar
\end{align}
Eigenvektoren von $J_3$:
\begin{itemize}
	\item zu $\eta = +i \hbar$:
		\begin{equation}
			c_1 = i c_2 \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \underbrace{\left( \ket{0,1} - i\ket{1,0} \right)}_{\ket{N=1,m=1}}
		\end{equation}
	\item zu $\eta = -i \hbar$:
		\begin{equation}
			c_2 = i c_1 \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{0,1} + i\ket{1,0} \right)
		\end{equation}
\end{itemize}
\begin{align}
	\braket{x,y}{N=1,m=1} &= \bra{x,y \frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \ket{0,1} + i\ket{1,0} \right)\\
	&= \const (y - ix) e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{y^2}{2}}\\
	&= \const (-i) (x + iy) e^{-\frac{x^2}{2}} e^{-\frac{y^2}{2}}\\
	&= \const (-i) \rho e^{i\phi} e^{-\frac{\rho^2}{2}} \left[ = \braket{\rho,\phi}{N=1,m=1} \right]\\
	&= \const (-i) \underbrace{e^{i\phi}}_{\chi_1(\phi)} \underbrace{\rho e^{-\frac{\rho^2}{2}}}_{R_{n=...,m=1}(\rho)}
\end{align}
Spektrum:\\
Definiere neue erzeuger und Vernichter
\begin{align}
	\aDs_\pm &\equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aDs_1 \mp i\aDs_2 \right)\\
	\aCr_\pm &\equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aCr_1 \pm i\aCr_2 \right)
\end{align}
mit Anzahloperator
\begin{equation}
	\nOp_\pm = \aCr_\pm \aDs_\pm
\end{equation}
Kommutator:
\begin{equation}
	\left[\aDs_+, \aCr_+\right] = 1 = \left[\aDs_-, \aCr_-\right] \text{ (alle anderen sind $0$)}
\end{equation}
Hamiltonoperator:
\begin{equation}
	H = \hbar \omega \left( \aCr_+ \aDs_+ + \aCr_- \aDs_- + 1 \right)
\end{equation}
Drehoperator:
\begin{align}
	J_3 &= \hbar \left( \aCr_+ \aDs_+ - \aCr_- \aDs_- \right)\\
	&= \hbar \left( \nOp_+ - \nOp_- \right)
\end{align}
und daraus ist
\begin{equation}
	H = \hbar \omega \left( \nOp_+ + \nOp_- + 1 \right)
\end{equation}
d.h.
\begin{align}
	H \ket{n_+,n_-} &= \hbar \omega (\overbrace{n_+ + n_-}^{N} + 1) \ket{n_+,n_-}\\
	J_3 \ket{n_+,n_-} &= \hbar \overbrace{(n_+ - n_-)}^{m} \ket{n_+,n_-}\\
\end{align}
Daraus folgt:
\begin{enumerate}
	\item Für gegebenes $n_+ + n_- = N$ kann $m = N, N-2, N-4, ..., -N$ sein. ($(N+1)$-fache Entartung!)
	\item Für festes $m$ kann $N = \abs{m} + 2n_r$ sein.
\end{enumerate}
Wir hatten in (\ref{rotSymSGL}) für das Spektrum:
%\begin{figure}[H] \centering
%\includegraphics{pdf/III/03-02-00.pdf}
%\end{figure}
\paragraph{Erklärung der höheren Entartung}
``Rotation im Iso-Spin Raum''
\begin{align}
	H &= \hbar \omega \left( 1 + \inlinematrix{\aCr_1 & \aCr_2} \inlinematrixdet{1 & 0 \\ 0 & 1} \inlinematrixdet{\aDs_1 \\ \aDs_2} \right)\\
	&= \hbar \omega \left( 1 + \inlinematrix{\aCr_1 & \aCr_2} e^{i\phi\sigma_z} \inlinematrixdet{1 & 0 \\ 0 & 1} e^{-i\phi\sigma_z} \inlinematrixdet{\aDs_1 \\ \aDs_2} \right)\\
	&= \hbar \omega \left( 1 + \inlinematrix{h^\dagger_1 & h^\dagger_2} \inlinematrixdet{1 & 0 \\ 0 & 1} \inlinematrixdet{h_1 \\ h_2} \right)
\end{align}
mit
\begin{equation}
	\inlinematrix{h_1 \\ h_2} = \left(\cos(\phi) \one - i\sin(\phi)\sigma_z\right) \inlinematrix{\aDs_1 \\ \aDs_2}
\end{equation}
für $\phi = \frac{\pi}{2}$ ist
\begin{equation}
	h_{1/2} \cequiv a_\pm
\end{equation}

\section{Vollständiger Satz kommutierender Obselvablen (gute und schlechte Quantenzahlen)}
\paragraph{Variante 1}
\begin{equation}
	H = H_1 + H_2 , ~ H_1 = \frac{p_x}{2\mu} + \frac{\mu}{2} \omega^2 x^2 , ~ H_2 = \frac{p_y}{2\mu} + \frac{\mu}{2} \omega^2 y^2
\end{equation}
\begin{align}
	H\ket{\phi} &= E\ket{\phi}\\
	H\ket{n_1,n_2} &= E(n_1,n_2)\ket{n_1,n_2}
\end{align}
mit
\begin{equation}
	E(n_1,n_2) = \hbar \omega \left( n_1 + n_2 + 1 \right)
\end{equation}
für $n_1, n_2 = 0, 1, 2, ...$ und den Kommutatoren
\begin{equation}
	[H,H_2] \neq [H,H_1] \neq [H_1,H_2] = 0
\end{equation}
und
\begin{equation}
	H \ket{N,n_2} = E(N,n_2)\ket{N,n_2}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	E(N,n_2) = \hbar \omega (N+1); ~ n_2 = 0,1,2,...; ~ N = n_2,n_2+1,n_2+2,...
\end{equation}
VSKO (CSCO): $(H,H_1)$ , $(H,H_2)$ oder $(H_1,H_2)$\\
Problem:
\begin{equation}
	J_3\ket{n_1,n_2} \neq \const \ket{n_1,n_2}
\end{equation}
d.h.
\begin{equation}
	[J_3,H_1] \neq 0 \neq [J_3,H_2]
\end{equation}
aber
\begin{equation}
	[J_3,H] = 0
\end{equation}

\paragraph{Variante 2}
\begin{align}
	H &= \hbar \omega \left( \aCr_+ \aDs_+ + \aCr_- \aDs + 1 \right)\\
	H\ket{n_+,n_-} &= E(n_+,n_-)\ket{n_+,n_-}
\end{align}
mit
\begin{equation}
	E(n_+,n_-) = \hbar \omega \left( n_+ + n_- + 1 \right)
\end{equation}
für
\begin{equation}
	n_+,n_- = 0,1,2,...
\end{equation}
und
\begin{equation}
	J_3 \ket{n_+,n_-} = m \hbar \ket{n_+,n_-}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	m(n_+,n_-) = n_+ - n_-
\end{equation}
%TODO...
Für Rotationsinvarianz gilt:
\begin{align}
	[L_z, p^2] &= 0\\
	[L_z, r^2] &= 0\\
	\rightarrow [L_z, V(r)] &= 0
\end{align}
(gilt analog für $L_x$ und $L_y$)
\begin{equation}
	\rightarrow \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m} +  V(r), L^2 \right] = 0
\end{equation}
also vertauschen $H$, $L^2$ und $L-z$ und es existiert eine gemeinsame Eigenbasis $\set{\ket{E\,l,m}}$ mit
\begin{align}
	H \ket{E\,l,m} &= E \ket{E\,l,m}\\
	L^2 \ket{E\,l,m} &= \hbar^2 l(l+1) \ket{E\,l,m}\\
	L_z \ket{E\,l,m} &= \hbar m \ket{E\,l,m}
\end{align}
Sucht man nach dem Spektrum von $H$ so muss man die möglichen $E$-Werte für festes $l$ und $m$ finden.

\section{Radialgleichung}
\paragraph{Ziel} $H \ket{\phi} = E \ket{\phi}$ vereinfachen mit
\begin{equation}
	p^2 = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left[ \diffPs{r}^2 + \frac{2}{r} \diffPs{r} \right] + \frac{\vec{L}^2}{2\mu r^2}
\end{equation}
\paragraph{Beweis}
\begin{align}
	L^2 &= \levicivita{\alpha,\beta,\gamma} x_\beta p_x \levicivita{\alpha,\mu,\nu} x_\mu p_\nu \\
	&= \left(\krondelta{\beta,\mu} \krondelta{x,\nu} - \krondelta{\beta,\nu} \krondelta{\gamma,\beta}\right) x_\beta p_\gamma x_\gamma p_\nu \\
	&= x_\beta \underbrace{p_\gamma x_\beta}_{x_\beta p_\gamma - i\hbar \krondelta{\beta,\gamma}} - x_\beta p_\gamma \underbrace{x_\gamma p_\beta}_{p_\beta x_\gamma + i\hbar \krondelta{\gamma,\beta}} \\
	&= x^2 p^2 - i\hbar x p - \left( (x \cdot p)\underbrace{p \cdot x}_{x \cdot p - 3i\hbar} + i\hbar (x \cdot p) \right) \\
	&= x^2 p^2 - (x \cdot p)^2 + i \hbar x p \label{stern00}
\end{align}
mit
\begin{equation}
	\dirac{r,\theta,\phi}{x^2 p^2}{\psi} = r^2 \dirac{r,\theta,\phi}{\hat{p}^2}{\psi}
\end{equation}
und
\begin{align}
	\dirac{r,\theta,\phi}{\hat{x} p}{\psi} &= \vec{x} (-i\hbar \vec{\nabla}) \psi(r,\theta,\phi) \\
	&= -i\hbar r \diffPs{r} \psi(r,\theta,\phi)
\end{align}
daraus wird (\ref{stern00})
\begin{align}
	\dirac{r,\theta,\phi}{L^2}{\psi} &= r^2 \cdot 2 \mu \braket{r,\theta,\phi \, H_\text{kin}}{\psi} + \hbar^2 (r\diffPs{r})(r\diffPs{r})\psi(r,\theta,\phi) + \hbar^2(r\diffPs{r})\psi(r,\theta,\phi) \\[15pt]
	\rightarrow \dirac{r,\theta,\phi}{\underbrace{H_\text{kin} + V(r)}_{H}}{\psi} &\stackrel{!}{=} E \braket{r,\theta,\phi}{\psi}
\end{align}
für Eigenfunktion
\begin{equation}
	\rightarrow \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{r}^2 + \frac{2}{r} \diffPs{r} \right) + \frac{L^2}{2\mu r^2} + V(r) \right) \psi
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	\ket{\psi} = \ket{E\,l,m}
\end{equation}
ist
\begin{align}
	\psi(r,\theta,\phi) &= R_E(r) y_{l,m}(\theta,\phi)\\
	\rightarrow \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{r}^2 + \frac{2}{r} \diffPs{r} - \frac{l(l+1)}{r^2} \right) + V(r) \right) R_E(r) &= E R_E(r)
\end{align}
unabhängig von $m$ (nur abhängig von Gesammtdrehimpuls)!
Als Vergleich: Rotation in 2D:
\begin{equation}
	\left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{\rho}^2 + \frac{1}{\rho} \diffPs{\rho} - \frac{m^2}{\rho^2} \right) + V(\rho) \right) R_E(\rho) = E R_E(\rho)
\end{equation}
Nun ist
\begin{align}
	R_E(r) &= \frac{u(r)}{r}\\
	\diffPs{r}R_E(r) &= \frac{\diffPs{r}u(r)}{r} - \frac{u(r)}{r^2}\\
	\diffPs{r}^2R_E(r) &= \frac{\diffPs{r}^2u(r)}{r} - \frac{2\diffPs{r}u(r)}{r^2} + \frac{2u}{r^3}
\end{align}
einsetzen:
\begin{equation}
	\left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \diffPs{r}^2 + \underbrace{\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{l(l+1)}{r^2} + V(r)}_{V_\text{eff}(r)} \right) u(r) = E u(r) \text{ für } r \geq 0
\end{equation}
gleicht formal der eindimensionalen Schrödingergleichung mit effektivem Potential. Aber $r \geq 0$ beachten (mit $u(r = 0) = 0$)!

\section{Coulomb-Problem und Wasserstoffatom}
Potential:
\begin{equation}
	V(r) = -\frac{Z e^2}{r}; ~~ r = a_0 y
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	a_0 = \frac{\hbar}{\mu e^2} \text{ (Bohr'scher Radius)}; ~~ E = \frac{e^2}{a_0} \varepsilon
\end{equation}
eingesetzt in die stationre Schrödingergleichung
\begin{equation}
	\left( \diffPs{y}^2 - \frac{l(l+1)}{y^2} + \frac{2Z}{y} + \varepsilon \right) u(y) = 0
\end{equation}
\paragraph{Lösungsstrategie 1} Asymptotik bestimmen, abspalten, Potenzreihenansatz (Tailorreihe!) einsetzen, Konvergenz durch Abbruch führt auf quantisierte Energie (steht in jedem Buch).
\paragraph{Lösungsstrategie 2} Abbildung auf harmonischen Oszillator in 2D:\\
dazu:
\begin{align}
	x^2 &= 2 \lambda y\\
	x \text{ d}x &= \lambda \text{ d}y\\
	\rightarrow \diffPfrac{}{y} = \frac{\lambda}{x} \diffPfrac{}{x}
\end{align}
einsetzen:
\begin{equation}
	\left( \diffPs{x}^2 - \frac{(2l+1)^2 - \frac{1}{4}}{x^2} + \frac{4Z}{\lambda} + \frac{2\varepsilon}{\lambda^2} x2 \right) \frac{u(y)}{\sqrt{x}} = 0
\end{equation}
Erinnerung an 2D H.O.
\begin{equation}
	\left( \left( \diffPs{\rho}^2 + \frac{1}{\rho} \diffPs{\rho} - \frac{m^2}{\rho^2} \right) -\frac{\mu \omega^2}{\hbar^2} \rho^2 + E \frac{2m}{\hbar^2} \right) R_{n,m}(\rho) = 0
\end{equation}
mit $q \equiv \sqrt{\frac{u\omega}{\hbar}}\rho$
\begin{equation}
	\left( \diffPs{q}^2 - \frac{m^2 - \frac{1}{4}}{q^2} - q^2 + 2N + 2 \right) \sqrt{\rho} R_{n,m}(\rho) = 0
\end{equation}
Korrespondenz:
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|c}
		Coulomb                        & H.O.   \\ \hline
		$(2l+1)^2$                     & $m^2$  \\
		$\frac{4Z}{\lambda}$           & $2N+2$ \\
		$\frac{2\varepsilon}{\lambda}$ & $-1$
	\end{tabular}
\end{center}
Also sind:
\begin{equation}
	\abs{m} = 2l+1 \text{ und } \lambda = \frac{2Z}{N+1} = \frac{2Z}{\abs{m} + 2n_r + 1}
\end{equation}
Energieeigenwerte:
\begin{equation}
	\varepsilon = -\frac{\lambda^2}{2} = -2Z^2 \frac{1}{(\abs{m} + 2n_r + 1)^2} = -z^2 \frac{1}{(l + n_r + 1)^2}
\end{equation}
damit das Spektrum:
%\begin{figure}[H] \centering
%\includegraphics{pdf/III/03-05-00.pdf}
%\end{figure}