\chapter{Variationsrechnung}
\paragraph{Satz} Für nichtnormiertes $\ket{\psi} \in \hilbert$ gilt
\begin{equation}
	\overline{H} = \frac{\dirac{\psi}{H}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}} \geq E
\end{equation}

\subparagraph{Beweis} $\ket{\psi}$ entwickeln:
\begin{equation}
	\ket{\psi} = \sum_n a_n \ket{n}
\end{equation}
mit $H\ket{n} = E_n\ket{n}$
\begin{equation}
	\overline{H} = \frac{\sum_{n=0}^N E_n \abs{\braket{n}{\psi}}^2}{\sum_{n=0}^N \abs{\braket{n}{\psi}}^2} = \frac{\sum_{n=0}^N \abs{\braket{n}{\psi}}^2 (E_n-E_0) + \sum_{n=0}^N E_0 \abs{\braket{n}{\psi}}^2}{\sum_{n=0}^N \abs{\braket{n}{\psi}}^2} \geq E_0
\end{equation}

\paragraph{Strategie} Parametrisieren von $\ket{\psi}$ mit Variationsparameter $\set{\alpha_i}$:
\begin{align}
	\ket{\psi} = \ket{\psi \set{\alpha_i}}\\[15pt]
	\rightarrow \overline{H} = \overline{H} \left( \set{\alpha_i} \right)
\end{align}
und das Minimum suchen:
\begin{equation}
	\diffPfrac{\overline{H}}{\alpha_i} \stackrel{!}{=} 0 \rightarrow \set{alpha_i^*}
\end{equation}
optimale Abschätzung:
\begin{equation}
	\overline{H}\left(\set{\alpha_i^*}\right) \geq E_0
\end{equation}
Falls $\ket{\psi}$ nur wenig von $\ket{0}$ abweicht
\begin{align}
	\ket{\psi} &= \ket{0} + \varepsilon \ket{\phi} \\
	\overline{H} &= E_0 + O(\varepsilon^2)
\end{align}
ist die Abschätzung der Energie besser als Näherung an $\ket{0}$.

\paragraph{Beispiel}
%\begin{figure}[H] \centering
%\includegraphics{pdf/III/01-00-00.pdf}
%\end{figure}
\begin{align}
	\braket{x}{0} &= \frac{1}{\sqrt{a}} \cos\left(\frac{\pi}{2a}x\right)
\end{align}
Variationsansatz:
\begin{align}
	\psi(\alpha,x) &= \abs{a}^{alpha_1} - \abs{x}^{\alpha_1}\\[15pt]
	\overline{H} &= \frac{\hbar^2}{2m} \intgr{-a}{+a}{\psi(\alpha,x)\psi(\alpha,x)}{x} \left( \intgr{-a}{+a}{\abs{\psi(x)}^2}{x} \right)^-1\\
	&= \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{4a^2} \frac{(2\alpha_1 + 2)(2\alpha_1 + 1)}{(2\alpha_1 - 1)}
\end{align}
für $\diffPs{\alpha}\overline{H} = 0$ erhält man
\begin{equation}
	\alpha_1^* = \frac{1+\sqrt{6}}{2} \approx 1,72 \text{ und } \overline{H}(\alpha_1^*) = 1,0028 \cdot E_0
\end{equation}
Nebenbemerkung: $\overline{H}(\alpha = 2) = 1,013 \cdot E_0$.\\
Für dieses Verfahren gibt es vielfältigste Anwendungen und es ist nicht perturbativ (also Störungsfrei).