\chapter{Reine Zustände}
\section{Postulate}
\begin{itemize}
	\item P1: Bei vollständiger Kenntnis (Präparation) wird ein System durch einen normierten Vektor
				\equationblock{\ket{\Psi} \in \hilbert} beschrieben
	\item P2a: Jeder physikalischen Größe entspricht ein hermitescher Operator
				\equationblock{A = \sum a_n \ket{n} \bra{n} \text{(Spektraldarstellung)}}
				mit Eigenzuständen $\ket{n}$ und reellen Eigenwerten $a_n$
				\equationblock{A = \sum a_n \ket{n} \bra{n} = \sum_\nu a_\nu P_\nu}
				mit $P_\nu = \sum_{n : a_n = a_\nu} \ket{n} \bra{n}$
	\item P2b: Eine Messung von A im Zustand $\ket{\Psi}$ gibt Sicherheit einen der Eigenzustände $a_\nu$
				Die Wahrscheinlichkeit, $a_\mu$ zu messen ist:
				\begin{align}
					\probb{A \cequiv a_\mu}{\ket{\Psi_0}}	&= \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{\Psi_0} \\
															&= \braket{\Psi}{n} \braket{m}{\Psi} \\
															&= \spbk{\braket{m}{\Psi}}^2 \\
															&= \sum_k \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{k} \braket{k}{\Psi_0} \\
															&= \sum_k \braket{k}{\Psi_0} \dirac{\Psi_0}{P_\mu}{k} \\
															&= \tr\sbk{\ket{\Psi_0} \bra{\Psi_0} P_\mu} \\
															&= \tr\sbk{P_{\Psi_0} P_\mu}
				\end{align}
				mit $P_{\Psi_{0}} = \ket{\Psi_0} \bra{\Psi_0}$ \\
				Konsequenz: ``Erwarutngswert'' oder Mittelwert über viele Messungen in identisch präparierten Zustand $\ket{\Psi_0}$
				\begin{align}
					\expval{A_{\Psi_0}}	&= \sum_\nu a_\nu \probb{A \cequiv a_\nu}{\ket{\Psi_0}} \\
										&= \sum_\nu a_\nu \dirac{\Psi_0}{P_\nu}{\Psi_0} \\
										&= \dirac{\Psi_0}{A}{\Psi_0}
				\end{align}
	\item P2c: Unmittelbar nach der Messung des Messwertes $a_\mu$ ist das System im Zustand
				\equationblock{\ket{\Psi} = \frac{O_\mu \ket{\Psi_0}}{\norm{P_\mu} \ket{\Psi_0}} \stackrel{a_\mu nicht entartet}{} \ket{m}}
	\item P3: Nach einer Messung oder Präparation entwickelt sich der Zustand nach der Schrödingergleichung:
				\equationblock{\i \hbar \diffPs{t} \ket{\Psi_0\sbk{t}} = H\sbk{t} \ket{\Psi\sbk{t}}}
				mit dem (hermiteschen) Hamiltonoperator $H\sbk{t}$
\end{itemize}

\section{Einfaches Beispiel mit Spin $\frac{1}{2}$}
% \begin{figure}[H] \centering
% \includegraphics{pdf/V/01-02-00.pdf}
% \end{figure}
\begin{itemize}
	\item P1: $\hilbert = \setC^2$ \\
				Basis: $\ket{z+}$, $\ket{z-}$ \\
				allgemeiner Zustand: $\ket{\Psi} = c_1 \ket{z+} + c_2 \ket{z-}$ mit $\spbk{c_1}^2 + \spbk{^2} = 1$
	\item P2a: Mögliche physikalische Größen: Messung durch SG in $\vec{n}$ Richtung:
				% \begin{figure}[H] \centering
				% \includegraphics{pdf/V/01-02-01.pdf}
				% \end{figure}
				mögliche Messwerte: Eigenwerte von $V_n = \pm 1$ \\
				Eigenvektoren $\ket{n+} = \inlinematrixu{\cosb{\frac{\Theta}{2}} \\ e^{\i \Phi} \sinb{\frac{\Theta}{2}}}$
								$n = \inlinematrixu{\sinb{\Theta}\cosb{\Phi} \\ \sinb{\Theta}\sinb{\Phi} \\ \cosb{\Theta}}$
	\item P2b: $\probb{\Sigma_n \cequiv +1}{\ket{\Psi_0}} = \spbk{\braket{n+}{\Psi_0}}^2$
	\item P2c: Nach der Messung von +1 mit Sicherheit im Zustand $\ket{n+}$ \\
				Besipiel für den Erwartungswert:
				\begin{align}
					\expval{\Sigma_n}_\ket{\Psi_0} &= \\
					\dirac{\Psi_0}{\Sigma_n}{\Psi_0} &=
					\inlinematrixu{c_1^\ast & c_2} \inlinematrixu{n_z & n_x - \i n_y \\ n_x + \i n_y & -n_z} \inlinematrixu{c_1 \\ c_2}
				\end{align}
	\item P3: Dynamik im Magnetfeld:
			\equationblock{H\sbk{t} = - \vec{mu} \vec{B}\sbk{t} = g \mu_b \frac{1}{2} \vec{\Sigma} \cdot \vec{B}\sbk{t}}
			Beispiel: $\vec{B}\sbk{t} ) B_z \vec{e_z} \rightarrow H = \frac{\hbar \omega}{2} \Sigma_z$
						mit $\omega = g \mu_b \frac{B}{\hbar}$
			$\text{SG(P3)} = \i \hbar \diffPs{t} \ket{\Psi} = \hbar \frac{\hbar}{2} \Sigma_z \ket{\Psi}$
			$\Psi\sbk{t} = e^{-\frac{\i}{\hbar} H t} \ket{\Psi_0} =$ \\
			$c_1\sbk{0} e^{-\frac{\i \omega t}{2}} \ket{z+} + c_2\sbk{0} e^{+\frac{\i \omega t}{2}} \ket{z-}$
\end{itemize}

\chapter{Gemische: Statistischer Operator}
\section{Motivation: Ein Spiel}
% \begin{figure}[H] \centering
% \includegraphics{pdf/V/02-01-00.pdf}
% \end{figure}

Alice sendet Bob mit Wahrscheinlichkeit $p_+ = \frac{1}{2}$ den Zustand $\ket{z+}$ und mit $p_- = \frac{1}{2}$ den Zustand $\ket{z-}$

Bob weiss nicht ob Alice $\ket{z+}$ oder $\ket{z-}$ geschicket hat. Bob darf aber ein beliebiges Stern-Gerlach-Experiment durchführen.

Frage: Wie soll Bob seinen Einganszustand beschreiben?
\begin{enumerate}
	\item Bobs Experiment(e) zeigen: \\
			$\expval{\Sigma_z} = \expval{\Sigma_x} = \expval{\Sigma_x} = \expval{\Sigma_n}$ \\
			Es gibt kein $\ket{\Psi_0}$ mit $\expval{\Sigma_n}_\ket{\Psi} = 0 \forall n$ \\
			Bobs Kenntnis ist unvollständig (Eingangspräparation)
	\item Bobs Input besteht aus einem \textbf{klassischen} Ensemble (Gesamtheit), in dem mit \textbf{klassischer} Wahrscheinlichkeit $p_+ = \frac{1}{2}$ der Zustand $\ket{z+}$ und mit \textbf{klassischer} Wahrscheinlichkeit $p_- = \frac{1}{2}$ der Zustand $\ket{z-}$ enthalten ist.
\end{enumerate}

\section{Definition des statistischen Operators (Dichtematrix; engl. density matrix)}
Sei $\rho$ ein Operator $\hilbert \rightarrow \hilbert$:
\begin{enumerate}
	\item $\rho = \rho^\dagger$
	\item $\tr\sbk{\rho} = 1$
	\item $\dirac{\psi}{\rho}{\psi} \geq 0 \forall \ket{\psi} \in \hilbert$
\end{enumerate}
bzw. in irgend einer Basis $\sgbk{\ket{n}}$
\begin{enumerate}
	\item $\rho_{nn} = \dirac{n}{\rho}{m} \rho^\ast_{mn}$
	\item $\sum_n \rho_{nn} = 1$
	\item $\sum_{n,m} c_n^\ast \rho_{nm} c_m \geq \forall c_n$ mit $\sum_n \spbk{c_n}^2$
\end{enumerate}

\section{Gemisch}
Definition: Ein quantales enthält mit Wahrscheinlichkeit $p_i$ den reinen Zustand $\ket{\psi_i}$ $\sbk{i = 1\ldots M}$ $M$ beliebig, im Allgemeinen ist $M \neq \dim \hilbert$.
\begin{enumerate}
	\item $\sum_i^M p_i = 1$
	\item $\braket{\psi_i}{\psi_j} \neq \delta_{ij}$ erlaubt
\end{enumerate}
Dieses quantale Gemisch wird durch den statistischen Operator $\rho = \sum_{i=1}^M p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i} = \sum_{i=1}^M p_i P_{\psi_i}$.

Alice präpariert $\ket{z+}$ und $\ket{z-}$ Zustand, sie würfelt und wählt dann mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ $\ket{z+}$ und mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ $\ket{z-}$, die sie zu Bob schickt.
Frage: Wie soll Bob den Eingangszustand beschreiben?

Bobs mögliche Messwerte $\sigma_n$ sind immer noch $\pm1$.
\begin{align}
	\prob{\sigma_z \cequiv +1} &= p_{z+} &= \frac{1}{2} \\
	\prob{\sigma_z \cequiv -1} &= p_{z-} &= \frac{1}{2} \\
	\prob{\sigma_n \cequiv +1} &= p_{z+} &= p_{z-} \probb{\sigma_z \cequiv +1}{\ket{z+}} + p_{z-} \probb{\sigma_z \cequiv -1}{\ket{z+}} 
\end{align}

Bsp: $\vec{n} = \vec{e_x}$
\begin{align}
	\prob{\sigma_x \cequiv 1}	&= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}	&= \frac{1}{2} \\
	\prob{\sigma_x \cequiv -1}	&= 																	&= \frac{1}{2}
\end{align}
$\Rightarrow \ssbk{\sigma_x} = 0$
Check:
\begin{enumerate}
	\item $\rho^\dagger = \sum_i p_i \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = \rho$
	\item \begin{align}
			\tr\sbk{\rho}	&= \sum_i \dirac{n}{\sum_{i=1}^M P_i}{\psi_i} \braket{\psi_i}{n} \\
							&= \sum_{i=1}^M P_i \spbk{\underbrace{\braket{n}{\psi_i}}_{=1}}^2 = 1
			\end{align}
	\item \begin{align}
	      	\dirac{\psi}{\rho}{\psi}	&= \dirac{\psi}{\sum_{i=1}^M P_i}{\psi_i} \braket{\psi_i}{\psi} \\
	      								&= \sum_{i=1}^M P_i \ssbk{\underbrace{\braket{\psi_i}{\psi}}_{\geq 0}}^2
	      \end{align}
\end{enumerate}
Bemerkung:
\begin{enumerate}
	\item Als Spezialfall enthält der Begriff Gemisch auch den reinen Zustand. $M=1$ gibt $\rho= \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = P_{\ket{\psi_1}}$
	\item für einen reinen Zustand gilt: $\rho^2 = \rho$
\end{enumerate}
Beweis: $\rho^2 = \rho \cdot \rho = \ket{\psi_1} \braket{\psi_1}{\psi_1} \bra{\psi_1} = \ket{\psi_1} \bra{\psi_1} = \rho$

Beispiel:
Alice präpariert mit Wahrscheinlichkeit $p_1$ den Zustand $\ket{z+}$ und mit $p_2$ den Zustand $\ket{x+}$ $\sbk{p_1 + p_2 = 1}$
\begin{align}
	\rho	&= p_1 \ket{z+} \bra{z+} + p_2 \ket{x+} \bra{x+} \\
			&= p_1 \inlinematrixu{1 \\ 0} \inlinematrixu{1 & 0} + p_2 \inlinematrixu{\frac{\sqrt{2 }}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2}} \inlinematrixu{\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}} \\
			&= p_1 \inlinematrixu{1 & 0 \\ 0 & 0} + p_2 \inlinematrixu{\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}} \\
			&= \inlinematrixu{p_1 + \frac{p_2}{2} & \frac{p_2}{2} \\ \frac{p_2}{2} & \frac{p_2}{2}}
\end{align}
$\rho^2 = \rho \gdw p_1=1 \text{xor} p_1=0$

Bemerkung:
Die Darstellungen eines Gemisches eines