%\includegraphics{excs/qm1_blatt04_SS08.pdf}
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\chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 4}
\section{Aufgabe 9: Zeitentwicklung eines allgemeinen Zweizustandssystems}
\begin{math}
	H = \hbar \inlinematrix{A & B \\ B & -A} \\
	A = \Omega \cosb{2 \theta} \\
	B = \Omega \sinb{2 \theta} \\
	E_\pm = \pm \hbar \Omega
\end{math}

\subsection*{a)}
\begin{align}
	\ket{\chi_+}	&= \inlinematrix{\sinb{2 \theta} \\ 1 - \cosb{2 \theta}}	&= \inlinematrix{\cosb{\theta} \\ \sinb{\theta}} \\
	\ket{\chi_-}	&= 															&= \inlinematrix{\sinb{\theta} \\ -\cosb{\theta}}
\end{align}

\subsection*{b)}
\begin{align}
	\i \hbar \diffPs{t} \ket{\psi}	&= H \ket{\psi} \\
	\ket{\dot{\psi}}				&= -\i \Omega \inlinematrix{\cosb{2 \theta} & \sinb{2 \theta} \\ \sinb{2 \theta} & -\cosb{2 \theta}} \ket{\psi} \\
	\ket{\psi(t)}					&= c_1 \cdot e^{\i \Omega t} \ket{\chi+} + c_2 \cdot e^{-\i \Omega t} \ket{\chi-} \\
	\ket{\psi(0)}					&= \inlinematrix{\lambda \\ \mu} \\
	\inlinematrix{c_+(t) \\ c_-(t)}	&= \sbk{\lambda \cosb{\theta} + \mu \sinb{\theta}} \cdot \inlinematrix{\cosb{\theta} \\ \sinb{\theta}} \cdot e^{-\i t} +
										\sbk{\lambda \sinb{\theta} - \mu \cosb{\theta}} \cdot \inlinematrix{\sinb{\theta} \\ -\cosb{\theta}} \cdot e^{\i \Omega t}
\end{align}

\subsection*{c)}
%hier stimmt evtl. was nicht
\begin{align}
	\ket{\psi(0)}					&= \inlinematrix{0 \\ 1} \\
	\abs{\braket{+}{\psi(t)}}^2		&= \sin^2\sbk{\Omega t} \cdot \sin^2\sbk{2 \theta} \\
	\abs{\braket{-}{\psi(t)}}^2		&= \cos^2\sbk{\Omega t} + \sin^2\sbk{\Omega t} \cdot \cos^2\sbk{2 \Omega}
\end{align}


\section{Aufgabe 10: Zerfall eines instabilen Zustandes}
\subsection*{a)}
\begin{align}
	<H>_\psi			&= \dirac{\psi(t)}{H}{\psi(t)} \\
						&= \dirac{\Phi}{e^{\frac{\i H t}{\hbar}} H e^{\frac{-\i H t}{\hbar}}}{\Phi} \\
						&mit [H,e^{H}] = 0 \\
						&= \dirac{\Phi}{H \cdot e^{\frac{\i H t}{\hbar}} \cdot e^{\frac{-\i H t}{\hbar}} \cdot H}{\Phi} %error: 2 Hs wo nur eins?
						&= \dirac{\Phi}{H}{\Phi} \\
	<H^2>_\psi			&= \dirac{\Phi}{H^2}{\Phi} analog \\
	\varianz{H}{\psi}^2	&= \dirac{\Phi}{H^2}{\Phi} - \dirac{\Phi}{H}{\Phi}^2 \\
						&\Rightarrow \text{zeitunabhängig} \\
\end{align}
$p \deq p^2 = p \cdot p = \ket{\Phi} \underbrace{\bra{\Phi} \ket{\Phi}}_{=1} \bra{\Phi} = \ket{\Phi} \bra{\Phi} = p$

\subsection*{b)}
\begin{align}
	p(t)	&= 1 - \frac{\varianz{H}{}^2}{\hbar^2} \cdot t^2 + \bigOb{t^3} \\
			&= \abs{\braket{\psi(t)}{\Phi}}^2 \\
			&= \abs{\braket{\Phi}{\psi(t)}}^2 - \abs{\dirac{\Phi}{e^{-\frac{\i H t}{\hbar}}}{\Phi}}^2	&\left| Taylor \right. \\
			&= \abs{\braket{\Phi}{\Phi} + \dirac{\Phi}{-\frac{\i H t}{\hbar}}{\Phi} + 
				\dirac{\Phi}{\frac{1}{2} \cdot \sbk{-\frac{\i H t}{\hbar}}^2}{\Phi}}^2 + \bigOb{t^3} \\
			&= \abs{1 - \frac{\i t}{\hbar} \dirac{\Phi}{H}{\Phi} - \frac{t^2}{2 \hbar} \dirac{\Phi}{H^2}{\Phi}}^2 \\
			&= \sbk{1 - \frac{\i t}{\hbar} \ssbk{H}_\psi - \frac{t^2}{2 \hbar} \ssbk{H^2}_\psi} \cdot 
				\sbk{1 + \frac{\i t}{\hbar} \ssbk{H}_\psi - \frac{t^2}{2 \hbar} \ssbk{H^2}_\psi} + \bigOb{t^3} \\
			&= 1 - \frac{H}{\hbar} t^2 + \bigOb{t^3}
\end{align}

\subsection*{c)}
\begin{align}
	\diffT{t} \ssbk{0}		&= \frac{\i}{\hbar} \ssbk{[H,0]} + \ssbk{\diffPfrac{0}{t}}
	\abs{\diffTfrac{p}{t}}	&= \abs{\diffT{t} \ssbk{p}} \\
							&= \abs{\frac{\i}{\hbar} \ssbk{[H,p]} + \ssbk{\underbrace{\diffPfrac{p}{t}}_{=0}}} \\
							&= \frac{1}{\hbar} \abs{[H,p]} \\
							&\leq \frac{2}{\hbar} \Delta H \Delta p \\
							&= \frac{2}{\hbar} \Delta H \sqrt{\ssbk{p^2} - \ssbk{p}^2} \\
	\abs{\diffTfrac{p}{t}}	&= \frac{2}{\hbar} \Delta H \sqrt{p (1 - p)}
\end{align}

\begin{align}
	p_0(0)															&= 1 \\
	\diffTfrac{p_0(t)}{t}											&\leq 0 \\
	-\diffTfrac{p_0}{t}												&= \frac{2 \Delta H}{\hbar} \sqrt{p_0(t) (1 - p_0(t))} \\
	\frac{\text{d}p_0}{\sqrt{p_0 (1 - p_0)}}						&= -\frac{2 \Delta H}{\hbar} \text{d}t		&\left| \text{Integral drüber} \right. \\
	\intgr{1}{p_0}{\frac{\text{d}p'_0}{\sqrt{p'_0 (1 - p'_0)}}}{p'}	&= -\frac{2 \Delta H}{\hbar} \intgr{0}{t}{}{t'} \\
	\arcsinb{2 p_0(t) -1}											&= -\frac{2 \Delta H}{\hbar} t + c \\
	p_0(t)															&= \frac{1}{2} \sinb{-\frac{2 \Delta H}{\hbar} t + c} + \frac{1}{2} %fehler bei 1/2?
																	&= \frac{1}{2} \sbk{1 + \cosb{\frac{2 \Delta H}{\hbar} t}} \\
																	&= \cos^2\sbk{\frac{\Delta H}{\hbar} t} \\
																	&\text{fuer} 0 \leq t \leq \frac{\pi \hbar}{2 \Delta H} \text{gilt:}
	p(t)															&\geq \cos^2\sbk{\frac{\Delta H}{\hbar} t}
\end{align}

\subsection*{d)}
$h \ket{n} = E_n \ket{n}$ \\
$w(E) = \sum_n \abs{\braket{n}{\Phi}}^2 \delta\sbk{E - E_n}$
\begin{align}
	c(t)	&= \intgrinf{e^{-\frac{\i E}{\hbar}t} \cdot w(E)}{E} \\
			&= \braket{\Phi}{\psi(t)} \\
			&= \dirac{\Phi}{e^{-\frac{\i H}{\hbar}t}}{\Phi}		&\left| \ket{\Phi} = \sum_n a_n \ket{n} \right. \\
			&= \dirac{\Phi}{\sum_n a_n e^{-\frac{\i E_n}{\hbar}t}}{n} \\
			&= \sum_m a_m^\ast \sum_n e^{-\frac{\i E}{\hbar} t} \braket{m}{n} a_n \\
			\sum_n \abs{a_n}^2 e^{-\frac{\i E_n t}{\hbar}}
\end{align}

\subsection*{e)}
\begin{align}
	w(E)	&= \frac{\Gamma}{2 \pi} \cdot \frac{1}{\sbk{E - E_n}^2 + \hbar^2 \frac{\Gamma^2}{4}} \\
	c(t)	&= \frac{\Gamma \hbar}{2 \pi} \intgrinf{\frac{e^{\frac{\i E}{\hbar}t}}{\sbk{E - E_n}^2 + \hbar^2 \frac{\Gamma^2}{4}}}{E} \\
			& \text{mit} Z = \frac{2 \sbk{E - E_n}}{\hbar \Gamma} \\
			&= \frac{1}{\pi} \intgrinf{\frac{e{-\frac{\i}{\hbar}t \sbk{\frac{\hbar \Gamma Z}{2} + E_0}}}{1 + Z^2}}{Z} \\
			&= e^{-\frac{\i E_0}{\hbar}t} \frac{1}{\pi} \intgrinf{\frac{e^{-\frac{\i \Gamma}{2} + Z}}{1 + Z^2}}{Z} \\
			&\text{Residuensatz} \\
			&= e^{-\frac{\i E_0}{\hbar}t} \frac{1}{\pi} \cdot - 2 \pi \i e^{-\frac{\Gamma}{2}t} \frac{1}{-2 \i} \\
			&= e^{-\frac{\i E_0}{\hbar}t} \cdot e^{-\frac{\Gamma}{2}t} \\
p(t)		&= e^{-\Gamma t}
\end{align}

\subsection*{f)}
\begin{align}
	\probb{H \cequiv E_n}{\ket{\psi(t)}}	&= \abs{\braket{n}{\Phi}}^2 \\
	w(E)									&= \sum_n \abs{\braket{n}{\Phi}}^2 \delta\sbk{E - E_n} \\
\end{align}
(13) Gilt, da diese Def. vom Erwartungswert von $w(E)$ sind (Teile davon) %HÄ?
\begin{align}
	\ssbk{H^\alpha}	&= \frac{\Gamma \hbar}{2 \pi} \intgrinf{\frac{E^\alpha}{\sbk{E - E_0}^2 + \hbar^2 \frac{\Gamma^2}{4}}}{E} \\
					&= \frac{2}{\pi \hbar \Gamma} \intgrinf{\frac{E^\alpha}{1 + \sbk{\frac{2 \sbk{E - E_0}}{\hbar \Gamma}}^2}}{E} \\
					& \text{mit} Z = \frac{2 \sbk{E - E_n}}{\hbar \Gamma} \\ \\
					&= \frac{1}{\pi} \intgrinf{\frac{\sbk{\frac{\hbar \Gamma Z}{2} + E_0}^\alpha}{\sbk{1 + Z^2}}}{Z} \\
\end{align}
Für $\alpha = 1$
\begin{align}
	\ssbk{H}		&= \frac{1}{\pi} \intgrinf{\frac{\sbk{\frac{\hbar \Gamma Z}{2} + E_0}}{\sbk{1 + Z^2}}}{Z} \\
					&= \intgrinf{\frac{\hbar \Gamma Z}{2 \sbk{1 + Z^2}}}{Z} + \underbrace{\frac{E_0}{\hbar} \underbrace{\intgrinf{\frac{1}{1 + Z^2}}{Z}}_{=\pi}}_{E_0}
\end{align}
Für $\alpha = 2$
\begin{align}
	\ssbk{H^2}	&\approx \intgrinf{\frac{Z^2}{1 + Z^2}}{Z}
\end{align}

$\ssbk{H^2}$ ist aber nicht definiert \\
$\Rightarrow$ Unschärfe nicht definiert \\
$\Rightarrow$ Annahme endl. Unschärfe falsch