\chapter{Potentialstufen und Potentialtöpfe}
\section{Einschub: Wahrscheinlichkeitsstrom}
\begin{equation}
	\rho(x,t) = \psi(x,t) \psi^*(x,t)
\end{equation}
ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen am Ort x zu messen.

\begin{align}
	\partial_t \rho(x,t) &= \psi^*(x,t)~\partial_t \psi(x,t) + \psi(x,t)~\partial_t \psi^*(x,t)\\
	&= \psi^*(x,t) \left( \frac{1}{i \hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 - V(x)\right) \psi(x,t) \right) +
	\psi^*(x,t) \left( -\frac{1}{i \hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x)\right) \psi(x,t) \right)\\
	&= -\frac{1}{\hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \psi^*(x,t)~\partial_x^2\psi(x,t) + \frac{\hbar^2}{2m} \psi(x,t)~\partial_x^2\psi^*(x,t) \right)\\
	&= \frac{i \hbar}{2m} \partial_x \left( \psi^*~\partial_x \psi - \psi~\partial_x \psi^* \right) \equiv -\partial_x j(x,t)
\end{align}
mit
\begin{equation}
	j(x,t) \equiv \frac{\hbar}{m} \im{\psi^*(x,t)~\partial_x \psi(x,t)}
\end{equation}
der Wahscheinlichkeitsstromdichte (``Kontinuitätsgleichung''; gilt für jede Erhaltungsgröße).
\paragraph*{Beispiel: Ebene Welle}
\begin{align}
	\psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i p_0}{\hbar}x - \omega t}\\
	j(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{\hbar}{m} \im{\frac{i p}{\hbar}}%\\
% 	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{p}{}
\end{align}

\section{Streuung an der Potentialstufe}