\chapter{Allgemeine Konsequenzen aus der SG für N-Niveau Systeme}
\section{Zeitentwicklungsoperator}
SG: 
\begin{equation}
	i \hbar \sigma_t \ket{\psi} = H(t) \ket{\psi(t)}
\end{equation}
Lösung durch
\begin{align}
	\ket{\psi(t)} &= U(t, t_0) \ket{\psi(t)} &\left| i \hbar \sigma_t \right.
\end{align}

\begin{align}
	\rightarrow i \hbar \sigma_t U(t, t_0) \ket{\psi(t_0)} &= H(t) \ket{\psi(t)}\\
	&= H(t) U(t, t_0) \ket{\psi(t_0)}
\end{align}
\begin{equation}
	\rightarrow \boxed{ i \hbar \sigma_t =  H(t) U(t, t_0)}
\end{equation}
mit $U(t_0, t_0) = \one$
\begin{align}
	i \hbar \sigma_t U^\dagger(t, t_0) &= U^\dagger(t, t_0) H(t)\\
	\sigma_t \left( U^\dagger U \right) &= \frac{i}{\hbar} \left( U^\dagger H U - U^\dagger H U \right)\\
	&= 0
\end{align}

\begin{equation}
	U^\dagger U = \one \Rightarrow U \text{ unitär} \Rightarrow \text{Norm bleibt erhalten}
\end{equation}

\begin{equation}
	\norm{\psi(t)} = \norm{\psi(t_0)}
\end{equation}

Man unterscheidet 3 Fälle für den Hamiltonoperator:
\begin{enumerate}
	\item $H$ zeitunabhängig $H(t) = H$:\\
		$\Box$ gelöst durch
		\begin{equation}
			U(t, t_0) = e^{-\frac{i}{\hbar} (t-t_0) H}
		\end{equation}
		Beispiel: konst. Magnetfeld
		\begin{equation}
			H = \hbar \omega \vec{\sigma} \cdot \vec{n}
		\end{equation}
		bzw.
		\begin{align}
			H &= \hbar \frac{\omega}{2} \sigma_z\\
			U(t, t_0) &= e^{-\frac{i \omega}{2} (t - t_0) \sigma_z}
		\end{align}
	\item $H$ zeitabhängig aber $[H(t_1), H(t_2)] = 0$:\\
		Beispiel:
		\begin{align}
			H(t) &= -\mu B_z(t)
			U(t, t_0) &= e^{-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t') dt'}
		\end{align}
	\item $H$ zeitabhängig mit $[H(t_1), H(t_2)] \neq 0$\\
		keine explizite Lösung (siehe QM II)
\end{enumerate}

\section{Stationäre Zustände}
$H$ sei zeitabhängig.\\
Eigenvektoren (mit $n = 0, ..., N-1$)
\begin{equation}
	H \ket{n} = E_n \ket{n}
\end{equation}
$\ket{0}$ sei Grundzustand (o.B.d.A. $E_0 = 0$)

Sei $\ket{\psi(t_0)} = \ket{n}$
\begin{align}
	\ket{\psi(t)} &= U(t, t_0) \ket{n}\\
	&= e^{-\frac{i}{\hbar} (t - t_0) H} \ket{n}\\
	&= e^{-\frac{i}{\hbar} (t - t_0) E_n} \ket{n}\\
	&= e^{-i \omega_n (t - t_0)} \text{ mit } \omega_n \equiv \frac{E_n}{\hbar}
\end{align}

\begin{itemize}
	\item Diese Zustände nehmen unter der Dynamik eine Zeitabhängige Phase an.
	\item Die Wahrscheinlichkeit des Systems zur Zeit $t$ im Zustand $\ket{\chi}$ zu mussen, ist
		\begin{align}
			\probb{P_\chi = 1}{\ket{\psi(t)}} &= \abs{\braket{\chi}{\psi(t)}}^2\\
			&= \abs{\dirac{\chi}{e^{-i \omega_n (t - t_0)}}{n}}^2\\
			&= \abs{\braket{\chi}{n}}
		\end{align}
\end{itemize}

Beispiel:
\begin{align}
	H &= \frac{\hbar \omega_z}{2} \sigma_z\\
	\ket{\psi(t_0)} &= \ket{z+}\\
	\ket{\chi} &= \ket{x+}
\end{align}

Zeitentwicklung eines allgemeinen Zustands:
\begin{align}
	\ket{\psi(t_0)} &= \sum_{n=0}^{N-1} c_n(t_0) \ket{n}\\[10pt]
	\rightarrow \ket{\psi(t)} &= U(t, t_0) \ket{\psi(t_0)}\\
	&= e^{-\frac{i}{\hbar} (t - t_0) H} \sum_{n=0}^{N-1} c_n(t_0) \ket{n}\\
	&= \sum_{n=0}^{N-1} e^{-\frac{i}{\hbar} (t - t_0) E_n} c_n(t_0) \ket{n}\\
	&= \sum_{n=0}^{N-1} c_n(t) \ket{n}
\end{align}

\section{Zeitentwicklung des Erwartungswerts: Ehrenfest-Theorem}
Sei $A$ eine physikalische Größe (evtl. $A(t)$)
\begin{equation}
	<A(t)>_{\psi(t)} = \dirac{\psi(t)}{A(t)}{\psi(t)}
\end{equation}
Es ist
\begin{equation}
	\diffT{t} \ket{\psi(t)} = \frac{1}{i \hbar} H(t) \ket{\psi(t)}
\end{equation}
und
\begin{equation}
	\diffT{t} \bra{\psi(t)} = -\frac{1}{i \hbar} \bra{\psi(t)} H(t)
\end{equation}
.
\begin{align}
	\diffT{t} <A(t)>_{\psi(t)} &= \diffT{t} \dirac{\psi(t)}{A(t)}{\psi(t)}\\
	&= \dirac{\psi(t)}{A(t) \left| \frac{1}{i \hbar} H(t) \right.}{\psi(t)} - \frac{1}{i \hbar} \dirac{\psi(t)}{H(t)|A(t)}{\psi(t)}\\ &~~+ \dirac{\psi(t)}{\diffP{t}A(t)}{\psi(t)}\\
	&= \frac{1}{\hbar} \dirac{\psi(t)}{[H, A]}{\psi(t)} + \dirac{\psi(t)}{\diffPs{t} A}{\psi(t)}\\
	&= \frac{i}{\hbar} <[H, A]>_{\psi(t)} + <\diffPs{t}A(t)>_{\psi(t)}\\
	&~~\text{(Ehrenfest-Theorem)}
\end{align}

\paragraph*{Konsequenz}
\begin{itemize}
	\item $[H,H] = 0 \rightarrow \diffT{t} <H> = <\diffPs{t} H>$\\
		falls $H$ zeitunabhängig $\rightarrow \diffT{t}<H> = 0$\\[15pt]
		$\rightarrow$ $H$ entspricht Energie.
	\item falls $A$ zeitunabhängig und $[A, H] = 0$\\[15pt]
		$\rightarrow$ Erwartungswert von $A$ zeitunabhängig\\
		$\rightarrow$ ``A ist eine Konstante der Bewegung''\\[15pt]
		dann auch $\diffT{t} <f(A)> = 0$\\
		$\rightarrow \probb{A \cequiv a_n}{\psi(t)} = \text{konst.}$!
	\item vgl. K.M.
		\begin{equation}
			\diffT{t}f(p, q, t) = \lbrace f,H \rbrace + \diffPfrac{f}{t}
		\end{equation}
\end{itemize}

\section{Schrödinger- VS Heisenberg-Bild}
bisher: Operatoren und Zustände zeitabhängig $\rightarrow$ ``S.-Bild''

\paragraph*{Heisenberg-Bild}
\begin{align}
	<A>_\ket{\psi}(t) &= \dirac{\psi(t)}{A}{\psi(t)}\\
	&= \dirac{\psi(0)}{e^{\frac{i}{\hbar}H(t)} A e^{\frac{-i}{\hbar}H(t)}}{\psi(0)}\\
	&= \dirac{\psi_H}{A_H(t)}{\psi_H}
\end{align}
$\rightarrow$ Zustand zeitunabhängig und Opeator zeitabhängig\\
Übergang von S.-Bild zu H.-Bild durch unitäre Transformation:
\begin{align}
	\ket{\psi_H} &= \underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}H(t)}}_{U^\dagger(t,0)} \ket{\psi(t)}\\
	A_H(t) &= U^\dagger(t,0) A(t) U(t,0)\\
	i\hbar \diffT{t} A_H(t) &= [A_H, H] + i \hbar \left( \diffPfrac{A}{t} \right)_H
\end{align}

