\chapter{Harmonischer Oszilator}
\section{Algebraische Lösung des Spektrums von $H$}
\begin{align}
	H &= \frac{P^2}{2 m} + \frac{m}{2} \omega^2 X^2; \text{ mit } \hat{x} \equiv \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^\frac{1}{2} X; ~ \hat{p} \equiv \left( \frac{1}{\hbar m \omega} \right)^2 P
	&= \frac{\hbar \omega}{2} \left( \hat{p}^2 + \hat{x}^2 \right)
\end{align}
mit
\begin{equation}
	[\hat{x}, \hat{p}] = i
\end{equation}
\paragraph{Vernichtungsoperator}
\begin{align}
	\aDs \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} + i \hat{p} \right)\\
	\aCr \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} - i \hat{p} \right)
\end{align}
daraus ergeben sich $\hat{x}$ und $\hat{p}$ als:
\begin{align}
	\hat{x} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aDs + \aCr \right)\\
	\hat{p} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aDs - \aCr \right)
\end{align}

\subparagraph{Kommutator}
\begin{align}
	[\aDs, \aCr] &= \frac{1}{2} [\hat{x} + i \hat{p}, \hat{x} - i \hat{p}]\\
	&= -i[\hat{x}, \hat{p}]\\
	&= \one = 1
\end{align}
eingesetzt in $H$:
\begin{align}
	H &= \frac{\hbar \omega}{2} \left( \hat{p}^2 + \hat{x}^2 \right)\\
	&= \frac{\hbar \omega}{4} \left( -\left( \aCr\aCr - \aDs\aCr - \aDs\aCr + \aDs\aDs \right) + \left( \aDs\aDs + \aDs\aCr + \aCr\aDs + \aCr\aCr \right) \right)\\
	&= \frac{\hbar \omega}{4} \left( 2\aDs\aCr + 2\aCr\aDs \right)\\
	&= \frac{\hbar \omega}{2} \left( 2\aCr\aDs + \one \right)\\
	&= \hbar \omega \left( \aCr\aDs + \frac{\one}{2} \right)
\end{align}

\paragraph{Anzahloperator}
\begin{equation}
	\nOp \equiv \aCr \aDs
\end{equation}

\subparagraph{Kommutatoren}
\begin{align}
	[\nOp, \aDs] &= [\aCr\aDs, \aDs] = [\aCr, \aDs] \aDs = -\aDs\\
	[\nOp, \aCr] &= [\aCr\aDs, \aCr] = \aDs [\aDs, \aDs] = \aCr
\end{align}

\subparagraph*{Spektrum von $\nOp$}
\begin{enumerate}
	\item Sei $\ket{\nu}$ Eigenvektor von $\nOp$ mit Eigenwert $\nu$:
		\begin{equation}
			\nOp \ket{\nu} = \nu \ket{\nu} \text{ mit } \braket{\nu}{\nu} > 0
		\end{equation}
	\item
		\begin{align}
			\nOp \aDs \ket{\nu} &= \aCr \aDs \aDs \ket{\nu}\\
			&= \left( \aDs \aCr - \one \right) \aDs \ket{\nu}\\
			&= \aDs \nOp \ket{\nu} - \aDs \ket{\nu}\\
			&= \aDs \cdot \nu \ket{\nu} - \aDs \ket{\nu}\\
			&= \left(\nu - 1\right) \aDs \ket{\nu}
		\end{align}
		$\rightarrow$ $\aDs\ket{\nu}$ ist Eigenvektor von $\nOp$ zum Eigenwert $\left( \nu - 1 \right)$\\
		\underline{oder}:
		\begin{equation}
			\aDs\ket{\nu} = \zero \text{ (Nullvektor)}
		\end{equation}
	\item
		\begin{equation}
			0 \leq \norm{\aDs \ket{\nu}}^2 = \braket{\nu}{\aCr \aDs \nu} = \nu \underbrace{\braket{\nu}{\nu}}_{\geq 0}
		\end{equation}
		%\begin{figure}[h]
		%\includegraphics{pdf/II/05-01-00.pdf}
		%\end{figure}
		Die obige Ungleichung wäre nach mehrfacher Anwendung von $\aDs \ket{\nu}$ verletzt wenn anfänglich $\nu$ keine ganze positive Zahl ist.
	\item
		\begin{align}
			\nOp \aCr \ket{\nu} &= \aCr \aDs \aCr \ket{\nu}\\
			&= \aCr \left( \aCr \aDs + 1 \right)\ket{\nu}\\
			&= \aCr \left( \nu + 1 \right) \ket{\nu}\\
			&= \left( \nu + 1 \right) \aCr \ket{\nu}
		\end{align}
	\item
		\begin{align}
			0 \leq \norm{\aCr \ket{\nu}}^2 &= \braket{\nu}{\aDs \aCr \nu} = \dirac{\nu}{\aCr \aDs + 1}{\nu}\\
			&= \left( \nu + 1 \right) \aCr \ket{\nu}
		\end{align}
		$\rightarrow$ kein Problem
\end{enumerate}
Daraus ergibt sich das Spektrum von $\nOp$:
\begin{equation}
	\nOp \ket{n} = n \ket{n} \text{ mit } n \in \setZ^+_0
\end{equation}
%\begin{figure}[h]
%\includegraphics{pdf/II/05-01-01.pdf}
%\end{figure}
und das Spektrum von $H$:
\begin{equation}
	H \ket{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \ket{n}
\end{equation}
\begin{enumerate}
	\item nur diskrete Eigenwerte erlaubt: Quantisierung
	\item Grundzustandsenergie (auch Nullzustandsenergie):
		\begin{equation}
			E_0 = \frac{\hbar \omega}{2}
		\end{equation}
	\item Es gilt:
		\begin{equation}
			a \ket{0} = \ket{\zero}
		\end{equation}
	\item klassischer harmonischer Oszilator (mit $m = 1\text{kg}$; $\omega = \frac{1}{\text{sec}}$):
		\begin{align}
			\Delta E &= E_{n+1} - E_n = 10^{-34}\text{J}\\
			E_0 &= \frac{m}{2} \omega^2 x^2 = 1 \text{J}
		\end{align}
\end{enumerate}

\paragraph*{Matrixelemente der Erzeuger- und Vernichter-Operatoren}
\begin{align}
	\aCr \ket{n} &= c_n \ket{n+1} ~ \left( \ket{n} \text{ seien normiert} \right)\\[15pt]
	\rightarrow \abs{c_n}^2 &= \dirac{n}{\aDs \aCr}{n}\\
	&= \dirac{n}{\aCr\aDs + 1}{n}\\
	&= (n + 1) \underbrace{\braket{n}{n}}_{1}\\[15pt]
	\rightarrow c_n &= \sqrt{n + 1} \text{ (Phase absichtlich 1 gesetzt)}
\end{align}
daraus ergibt sich
\begin{equation}
	\aCr \ket{n} = \sqrt{n + 1} \ket{n + 1} \label{eqn03}
\end{equation}
insbesondere
\begin{align}
	\aCr \ket{0} &= 1 \ket{1} \Rightarrow \ket{1} = \aCr \ket{0}\\
	\aCr \ket{1} &= \sqrt{2} \ket{2} \Rightarrow \ket{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \aCr \ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1}} \aCr \aCr \ket{0}
\end{align}
und analog zu \ref{eqn03} gilt:
\begin{equation}
	\aDs \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n - 1}
\end{equation}
Man erhält nun aus dem Obigen die allgemeine Form für $\ket{n}$:
\begin{equation}
	\boxed{\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \left( \aCr \right)^n \ket{0}}
\end{equation}
Die Matrixelemente von $\aCr$ sind dann:
\begin{align}
	\dirac{n'}{\aCr}{n} &= \sqrt{n + 1} \braket{n'}{n + 1}\\
	&= \sqrt{n + 1} \krondelta{n', n + 1}
\end{align}
und ebenso die Matrixelemente von $a = \left( \aCr \right)^\dagger$:
\begin{align}
	\dirac{n'}{\aDs}{n} &= \dirac{n}{\aCr}{n}\\
	&= \sqrt{n} \krondelta{n, n + 1}
\end{align}
als Matrix:
\begin{align}
	\aDs &= \inlinematrix{
		0      & \sqrt{1} & 0        & 0        & 0      & \cdots \\
		0      & 0        & \sqrt{2} & 0        & 0      & \cdots \\
		0      & 0        & 0        & \sqrt{3} & 0      & \cdots \\
		0      & 0        & 0        & 0        & \ddots &        \\
		\vdots & \vdots   & \vdots   & \vdots   &        &
	}\\
	\aCr &= \inlinematrix{
		0        & 0        & 0        & 0      & \cdots \\
		\sqrt{1} & 0        & 0        & 0      & \cdots \\
		0        & \sqrt{2} & 0        & 0      & \cdots \\
		0        & 0        & \sqrt{3} & 0      & \cdots \\
		0        & 0        & 0        & \ddots &        \\
		\vdots   & \vdots   & \vdots   &        &
	}\\
	\aDs\aCr &= \inlinematrix{
		1      & 0      & 0      & 0      & \cdots \\
		0      & 2      & 0      & 0      & \cdots \\
		0      & 0      & 3      & 0      & \cdots \\
		0      & 0      & 0      & \ddots &        \\
		\vdots & \vdots & \vdots &        &
	}\\
	\aCr\aDs &= \inlinematrix{
		0      & 0      & 0      & 0      & 0      & \cdots \\
		0      & 1      & 0      & 0      & 0      & \cdots \\
		0      & 0      & 2      & 0      & 0      & \cdots \\
		0      & 0      & 0      & 3      & 0      & \cdots \\
		0      & 0      & 0      & 0      & \ddots &        \\
		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots &        &
	}
\end{align}
\begin{equation}
	\left( \left[\aDs, \aCr \right] = \right) \aDs\aCr - \aCr\aDs = 1
\end{equation}
\begin{align}
	\hat{x} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{
		0        & \sqrt{1} & 0        & 0        & 0      & \cdots \\
		\sqrt{1} & 0        & \sqrt{2} & 0        & 0      & \cdots \\
		0        & \sqrt{2} & 0        & \sqrt{3} & 0      & \cdots \\
		0        & 0        & \sqrt{3} & 0        & \ddots &        \\
		0        & 0        & 0        & \ddots   & \ddots &        \\
		\vdots   & \vdots   & \vdots   &          &        & 
	}\\
	\hat{p} &= \frac{i}{\sqrt{2}} \inlinematrix{
		0        & -\sqrt{1} & 0         & 0         & 0      & \cdots \\
		\sqrt{1} & 0         & -\sqrt{2} & 0         & 0      & \cdots \\
		0        & \sqrt{2}  & 0         & -\sqrt{3} & 0      & \cdots \\
		0        & 0         & \sqrt{3}  & 0         & \ddots &        \\
		0        & 0         & 0         & \ddots    & \ddots &        \\
		\vdots   & \vdots    & \vdots    &           &        & 
	}\\
\end{align}
\begin{align}
	\left[ \hat{x}, \hat{p} \right] &= i \one\\[15pt]
	\tr\left[ \hat{x}, \hat{p} \right] &= \tr\left( i \one \right)\\
	\tr\left( \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} \right) &= \tr\left( i \one \right)\\
	0 &= i \infty \text{ (falls Spur zyklisch $\leftarrow$ gilt nur für endliche Räume)}
\end{align}

\section{Wellenfunktion im Ortsaum}
Gesucht:
\begin{align}
	\phi_n(x) &= \braket{x}{n}\\
	\phi_0(x) &= \braket{x}{0}
\end{align}
Wir wissen:
\begin{equation}
	\aDs \ket{0} = \zero
\end{equation}
daraus ergibt sich
\begin{align}
	\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} + i\hat{p} \right) \ket{0} &= \zero &\left| \bra{x} \right.\\
	\dirac{x}{\hat{x} + i\hat{p}}{0} &= 0\\
	\left(x + i(-i) \diffPs{x}\right) \phi_0(x) &= 0 &\left(\text{denn: } \dirac{x}{\hat{p}}{\psi} = -i \hbar \diffPs{x} \psi(x) \right)\\
	\rightarrow \left(x + \diffPs{x} \right) \phi_0(x) &= 0\\
	\phi_0(x) &= c \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}
\end{align}
Normierung:
\begin{equation}
	\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_0(x) \phi_0^*(x)}{x} \stackrel{!}{=} 1 ~ \rightarrow ~ c = \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}}
\end{equation}
%\begin{figure}[h]
%\includegraphics{pdf/II/05-02-00.pdf}
%\end{figure}
\paragraph*{Angeregte Zustände}
\begin{align}
	\ket{1} &= \aCr \ket{0} &\left| \bra{x} \right.\\[15pt]
	\phi_0(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) \phi_0(x)\\
	&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} e^{-\frac{x^2}{2}}\\
	&= \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{1}{4}} x e^{-\frac{x^2}{2}}\\[15pt]
	\phi_2(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{1}{4}} x e^{-\frac{x^2}{2}} \right)\\
	&= \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} \left( 2x^2 - 1 \right) e^{-\frac{x^2}{2}}
\end{align}
allgemein:
\begin{align}
	\ket{n} &= \frac{\left( \aCr \right)^n}{\sqrt{n!}} \ket{0} &\left| \bra{x} \right.\\
	\phi_n(x) &= \frac{1}{\sqrt{n!}} \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^n}} \left( x - \diffPs{x} \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}}
\end{align}
$Q_n$ ist symmetrisch für $n = 2k$, antisymmetrisch für $n = 2k + 1$ und hat $n$ Nullstellen.

\paragraph*{Erwartungswerte}
\begin{align}
	< \hat{x} >_\ket{n} &= \dirac{n}{\hat{x}}{n}\\
	&= \frac{1}{\sqrt{2}} \dirac{n}{\aCr + \aDs}{n}\\
	&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bra{n} \left( \sqrt{n + 1} \ket{n + 1} + \sqrt{n} \ket{n - 1}\right)\\
	&= 0\\[15pt]
	< \hat{p} >_\ket{n} &= 0
\end{align}
Wegen Ehrenfest:
\begin{align}
	\diffT{t}< \hat{x} >(t) &= < \hat{p} >(t) \frac{1}{m}\\[15pt]
	\diffT{t}< \hat{p} >(t) &= -\left< \diffTfrac{V(x)}{x} \right>\\
	&= -m \omega < \hat{x} >(t)
\end{align}

\paragraph{Grundzustand} Varianz:
\begin{align}
	\varianz{x}{\ket{0}}^2 &\equiv \dirac{0}{(x - <x>)^2}{0} &\left(<x> = 0\right)\\
	&= \dirac{0}{x^2}{0}\\
	&= \dirac{0}{\frac{1}{2} \left( \aCr + \aDs \right)^2}{0}\\
	&= \frac{1}{2} \dirac{0}{\left( \aCr\ \right)^2 + \aCr\aDs + \aDs\aCr + \left( \aDs \right)^2}{0}\\
	&= \frac{1}{2} \dirac{0}{\aDs\aCr}{0}\\
	&= \frac{1}{2} \dirac{0}{\aDs}{1}\\
	&= \frac{1}{2} \braket{0}{0}\\
	&= \frac{1}{2}\\[15pt]
	\varianz{p}{\ket{0}}^2 &= \frac{1}{2} ~ \text{(genauso wie oben)}\\[15pt]
	\varianz{x}{\ket{0}}\varianz{p}{\ket{0}} &= \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \abs{\dirac{0}{[x, p]}{0}} = \frac{1}{2}
\end{align}

\section{Darstellung durch Hermitepolynome}
\paragraph*{Definition} Sei $H_n(x)$ ein Hermitepolynom definiert durch:
\begin{align}
	\phi_n &\equiv \sqrt{\frac{1}{2^n n! \sqrt{n}}} e^{-\frac{x^2}{2}} H_n(x)\\[15pt]
	\rightarrow H_n(x) &= e^\frac{x^2}{2} \left( \sqrt{2} \aCr \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}}\\
	&= e^{(x^2)} \underbrace{e^{-\frac{x^2}{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) e^\frac{x^2}{2}}_{(-1)^n \diffPfrac{^n}{x^n}} e^{(-x^2)}\\
	&= (-1)^n e^{(x^2)} \left( \diffP{x} \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}}
\end{align}
Beispiele:
\begin{equation}
	H_0(x) = 1; ~ H_1(x) = 2x; ~ H_2(x) = 4x^2 - 2
\end{equation}

\subparagraph*{Eigenschaften}
\begin{enumerate}
	\item Orthogonalität
		\begin{equation}
			\intgr{-\infty}{+\infty}{H_n(x) H_m(x) e^{(-x^2)}}{x} = \sqrt{\pi} 2^n n!
		\end{equation}
		denn:
		\begin{equation}
			\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_n^*(x)\phi_m(x)}{x} = \krondelta{n,m}
		\end{equation}
	\item Vollständigkeit
		\begin{equation}
			\sum_{n = 0}^{\infty} \phi_n(x)\phi_n(x') = \delta(x - x')
		\end{equation}
	\item DGL:
		\begin{equation}
			\left( \diffPs{x}^2 - 2x \diffPs{x} + 2n \right) H_n(x) = 0
		\end{equation}
	\item Erzeugende Funktion
		\begin{equation}
			\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} H_n(x) = e^{-t^2 + 2 t x}
		\end{equation}
\end{enumerate}

\section{Spektrum von $H$ aus der DGL}
Die stationäre Schrödingergleichung ist wiefolgt:
\begin{equation}
	\left( \frac{-\hbar^2}{2m} \diffPs{X}^2 + \frac{m}{2} X^2 \right) \Phi(X) = E \Phi(X)
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	x = \frac{X}{X_0}; ~ p = P \cdot X_0; ~ X_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega_0}}
\end{equation}
Also ergibt sich:
\begin{equation}
	\rightarrow \left( \right) \phi(x) = \varepsilon \phi(x)
\end{equation}
Wir suchen normierbare Lösungen $\left(\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi^2(x)}{x} < \infty\right)$ für $x \rightarrow \pm \infty$. Wir verwenden den Ansatz
\begin{equation}
	\phi(x) \tilde e^{-\alpha x^m}
\end{equation}
und erhalten
\begin{equation}
	-\frac{1}{2} \left( (-\alpha m) (-\alpha (m - 1)) \alpha x^{m - 2}  + \alpha^2 m^2 x^{2(m - 1)}\right) + \frac{1}{2}x^2 = 0
\end{equation}
für $x \rightarrow \infty$:
\begin{equation}
	\phi(x) \rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}}
\end{equation}
neuer Ansatz:
\begin{equation}
	\phi(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot u(x)
\end{equation}
eingesetzt in die statische Schrödingergleichung:
\begin{align}
	-\frac{1}{2} \diffPs{x}^2(u) + \diffPs{x}(u) \cdot x + \frac{1}{2} u x^2 &= \varepsilon u ~ \text{(exakt)}\\
	\diffPs{x}^2(u) - 2x \diffPs{x}(u) + (2\varepsilon - 1) u &= 0
\end{align}
mit dem Ansatz
\begin{equation}
	u(x) = \sum_{n = 0}^\infty b_n x^n
\end{equation}
ergibt sich
\begin{align}
	\sum_{n=2}^\infty b_n n(n-1) x^{n-2} - 2x\sum_{n=1}^\infty b_n n x^{n-1} + (2 \varepsilon - 1) \sum_{n = 0}^\infty b^n x^n &= 0\\
	\sum_{n=0}^\infty b_{n+2} (n+2)(n+1) x^n + \sum_{n=0}^\infty b_n \left[ (2\varepsilon - 1) - 2n \right] x^n &= 0
\end{align}
und damit
\begin{equation}
	b_{n+2} = \frac{2n - (2\varepsilon - 1)}{(n+2)(n+1)} b_n
\end{equation}
Scheinbar lässt sich für alle $\varepsilon$ eine Lösung für gegebene $b_0, b_1$ finden.\\
\underline{Aber:} Die Lösung muss normierbar sein.

\begin{equation}
	\frac{b_{n+2}}{b_n} \rightarrow \frac{2}{n} ~ \text{für} ~ n \rightarrow \infty
\end{equation}
Mit
\begin{equation}
	e^{\left( x^2 \right)} = \sum_k \frac{1}{k!} x^{2k} = \sum_n \frac{1}{\left(\frac{n}{2}\right)!} x^n
\end{equation}
für $b_n$ erhält man
\begin{equation}
	\frac{b_{n+2}}{b_n} = \frac{\left(\frac{n}{2}\right)!}{\left(\frac{n+2}{2}\right)!} = \frac{2}{n+2} \rightarrow \frac{2}{n}
\end{equation}
\underline{Also:} Rekursion muss abbrechen, d.h. $b_{\tilde{n}} = 0$ für irgendein $\tilde{n}$.
\begin{align}
	2n - (2\varepsilon - 1) &= 0\\
	\rightarrow \varepsilon &= n + \frac{1}{2}
\end{align}
(Quantisierung und Eigenfunktionen wir vorhin!)