\chapter{Rotationsinvarianz in d=3}
\section{Drehimpulsalgebra}
Drehung mit dem Winkel $\phi$ um $\vec{n}$:
\begin{equation}
	\ket{\tilde{\psi}} = D(\phi,\vec{n})\ket{\psi}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	D(\phi,\vec{n}) = 1 - i\frac{\phi}{\hbar} J_{\vec{n}} + O(\phi^2)
\end{equation}
In (\ref{labelTransfRot}) hatten wir die Relation
\begin{equation}
	[J_x,J_y] = i\hbar J_z
\end{equation}
(etc. zyclisch). Diese Vertauschungsrelation bestimmt das Spektrum der $J$-Operatoren vollständig. Wir definieren ein $J^2$ zu:
\begin{equation}
	J^2 = \vec{J}^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2
\end{equation}
und daraus folgt $\forall \alpha = x,y,z$
\begin{equation}
	\left[ J^2, J_\alpha \right] = 0
\end{equation}
also haben $J^2$ und $J_z$ gemeinsame Eigenvektoren.
\begin{align}
	J^2 \ket{\alpha,\beta} &= \alpha \ket{\alpha,\beta}\\
	J_z \ket{\alpha,\beta} &= \beta \ket{\alpha,\beta}
\end{align}
In Anlehnung an Erzeuger und Vernichter definieren wir:
\begin{equation}
	J_\pm \equiv J_x \pm iJ_y
\end{equation}
mit dem Kommutator
\begin{align}
	[J_z, J_\pm] &= [J_z,J_x + iJ_y]\\
	&= i\hbar J_y \pm i(-i\hbar) J_x
	&= \pm \hbar J_\pm
\end{align}
und
\begin{equation}
	[J^2,J_\pm] = 0
\end{equation}
Vergleiche Harmonischen Oszillator:
\begin{equation}
	[\nOp,\aDs] = -\aDs; ~ [\nOp,\aCr] = \aCr
\end{equation}
mit $J_\pm$ ist dann
\begin{align}
	J_z J_+ \ket{\alpha,\beta} &= (J_+ J_z + i\hbar J_+) \ket{\alpha,\beta}\\
	&= (\beta + \hbar) J_+ \ket{\alpha,\beta}\\
	J_z J_- \ket{\alpha,\beta} &= (\beta - \hbar) J_- \ket{\alpha,\beta}
\end{align}
und
\begin{equation}
	J^2 J_+ \ket{\alpha,\beta} = J_+ J^2 \ket{\alpha,\beta} = \alpha J_+ \ket{\alpha,\beta}
\end{equation}
also
\begin{align}
	J_+ \ket{\alpha,\beta} &= c_+(\alpha,\beta) \ket{\alpha,\beta + 1}\\
	J_- \ket{\alpha,\beta} &= c_-(\alpha,\beta) \ket{\alpha,\beta - 1}
\end{align}
$\beta$-Spektrum ist eingeschränkt wegen:
\begin{equation}
	0 \leq \dirac{\alpha,\beta}{J_x^2 + J_y^2}{\alpha,\beta} = \dirac{\alpha,\beta}{J^2-J_z^2}{\alpha,\beta} = (\alpha-\beta)^2 \underbrace{\braket{\alpha,\beta}{\alpha,\beta}}_{\geq 0}
\end{equation}
Also ist $\alpha \geq \beta^2$ und $\exists \beta_\text{max}$ mit
\begin{align}
	J_+ \ket{\alpha,\beta_\text{max}} &= \ket{\zero} & \left| J_- \right.\\
	J_- J_+ \ket{\alpha,\beta_\text{max}} &= 0\\
	\left( J^2 - J_z^2 - \hbar J_z \right) \ket{\alpha,\beta_\text{max}} &= 0\\
	\alpha - \beta_\text{max}^2 \hbar^2 -\beta_\text{max} \hbar &\stackrel{!}{=} 0\\
	\rightarrow \alpha = \beta_\text{max} (\beta_\text{max} + \hbar)
\end{align}
entsprechend:
\begin{align}
	J_- \ket{\alpha,\beta_\text{min}} &= \ket{\zero}\\
	... \rightarrow \alpha &= \beta_\text{min} (\beta_\text{min} - \hbar)
\end{align}
Daraus folgt:
\begin{equation}
	\beta_\text{max}^2 + \beta_\text{max} \hbar = \beta_\text{min}^2 + \beta_\text{min} \hbar
\end{equation}
quadratische Gleichung mit den 2 Lösungen:
\begin{align}
	\beta_\text{max} &= \beta_\text{min} - \hbar &\text{(irrelevant)}\\
	\beta_\text{max} &= -\beta_\text{min}
\end{align}
\begin{align}
	\left( J_+ \right)^k \ket{\alpha,\beta_\text{mix}} &= \const \ket{\alpha,\beta_\text{max}}\\
	\rightarrow \beta_\text{max} &= \beta_\text{min} + \hbar \cdot k
\end{align}
daraus ergibt sich mit $k = 0,1,2,...$:
\begin{equation}
	\boxed{\beta_\text{max} = \frac{\hbar}{2} \cdot k}
\end{equation}
und
\begin{equation}
	\alpha = \beta_\text{max}^2 + \beta_\text{max} \hbar = \hbar^2 \left( \frac{k}{2} + 1 \right) \frac{k}{2}
\end{equation}
Zusammenfassung:
\begin{center}
	\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
		$\frac{k}{2}$ & $\beta_\text{max}$ & $\alpha$              & $\ket{\alpha,\beta_\text{max}}$  & Anzahl $\ket{\alpha,\beta}$ \\ \hline
		$0$           & $0$                & $0$                   & $\ket{0,0}$                      & $1$                         \\ \hline
		$\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}\hbar$ & $\frac{3}{4}\hbar^2$  & $\ket{\frac{3}{4},\frac{1}{2}}$  & $2$                         \\ \hline
		$1$           & $\hbar$            & $2\hbar^2$            & $\ket{2,1}$                      & $3$                         \\ \hline
		$\frac{3}{2}$ & $\frac{3}{2}\hbar$ & $\frac{15}{4}\hbar^2$ & $\ket{\frac{15}{4},\frac{3}{2}}$ & $4$
	\end{tabular}
\end{center}
Wir finden halbzahlige Eigenwerte für $J_z$. Aber: in (\ref{labelRotSym2D}) hatten wir gesehen:
\begin{equation}
	J_3 = XP_Y - YP_X
\end{equation}
hat Eigenwerte $m \hbar= (0,\pm 1, \pm 1, ...) \hbar$.\\
Mit der Notation $j \equiv \frac{k}{2}$
\begin{align}
	\alpha &= \hbar^2 j (j + 1)\\
	\beta &= \hbar m
\end{align}
und
\begin{align}
	J^2 \ket{j,m} &= \hbar^2 j (j+1) \ket{j,m} & \left(j = \frac{0,1,2,3,...}{2}\right)\\
	J_z \ket{j,m} &= \hbar m \ket{j,m} & \left(m = -j, -j+1, ..., j\right)
\end{align}
Matrixelemente:
\begin{align}
	J_\pm \ket{j,m} &= c_+(j,m) \ket{j,m \pm 1}\\
	\bra{j,m} J_\mp &= c_+^*(j,m) \bra{j,m \pm 1}\\[15pt]
	\dirac{j,m}{J_- J_+}{j,m} &= \abs{c_+(j,m)}^2 \underbrace{\braket{j,m+1}{j,m+1}}_1\\
	\dirac{j,m}{J^2 - J_z^2 - \hbar J_z}{j,m} &= \abs{c_+(j,m)}^2\\
	\rightarrow \hbar^2 \left( j (j+1) - m^2 - m \right) &= \abs{c_+(j,m)}^2\\
	\rightarrow c_+ &= \hbar \sqrt{j (j+1) - m^2 - m}\\
	&= \sqrt{(j + m + 1)(j - m)}
\end{align}
genauso
\begin{equation}
	c_- = \hbar \sqrt{(j - m + 1)(j + m)}
\end{equation}
Matrixelemente von $J_x$ und $J_y$:
\begin{align}
	\dirac{j',m'}{J_x}{j,m} &= \braket{j',m'}{\frac{J_+ + J_-}{2} - j,m}\\
	&= \krondelta{j',j} \left\lbrace \krondelta{m',m+1} c_+(j,m) + \krondelta{m'-1,m} c_-(j,m) \right\rbrace
\end{align}
\definecolor{lgray}{gray}{0.9}
\newcommand{\graycell}{\cellcolor{lgray}}
\begin{itemize}
	\item für $J^2 / \hbar^2$
		\begin{center}
			\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
				$j',m' \backslash j,m$       & $(0,0)$       & $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $(1,1)$       & $(1,0)$       & $(1,-1)$      \\ \hline\hline
				$(0,0)$                      & $0$ \graycell & $0$                         & $0$                          & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$  & $0$           & $\frac{3}{4}$ \graycell     & $0$           \graycell      & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $0$           & $0$           \graycell     & $\frac{3}{4}$ \graycell      & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(1,1)$                      & $0$           & $0$                         & $0$                          & $2$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
				$(1,0)$                      & $0$           & $0$                         & $0$                          & $0$ \graycell & $2$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
				$(1,-1)$                     & $0$           & $0$                         & $0$                          & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $2$ \graycell \\
			\end{tabular}
		\end{center}
	\item für $J_z / \hbar$
		\begin{center}
			\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
				$j',m' \backslash j,m$       & $(0,0)$       & $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $(1,1)$       & $(1,0)$       & $(1,-1)$      \\ \hline\hline
				$(0,0)$                      & $0$ \graycell & $0$                         & $0$                          & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$  & $0$           & $\frac{1}{2}$ \graycell     & $0$            \graycell     & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $0$           & $0$           \graycell     & $-\frac{1}{2}$ \graycell     & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(1,1)$                      & $0$           & $0$                         & $0$                          & $1$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
				$(1,0)$                      & $0$           & $0$                         & $0$                          & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
				$(1,-1)$                     & $0$           & $0$                         & $0$                          & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $1$ \graycell \\
			\end{tabular}
		\end{center}
	\item für $J_x / \hbar$
		\begin{center}
			\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
				$j',m' \backslash j,m$       & $(0,0)$       & $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $(1,1)$       & $(1,0)$       & $(1,-1)$      \\ \hline\hline
				$(0,0)$                      & $0$ \graycell & $0$                         & $0$                          & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$  & $0$           & $0$           \graycell     & $\frac{1}{2}$ \graycell      & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $0$           & $\frac{1}{2}$ \graycell     & $0$           \graycell      & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(1,1)$                      & $0$           & $0$                         & $0$                          & $1$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
				$(1,0)$                      & $0$           & $0$                         & $0$                          & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
				$(1,-1)$                     & $0$           & $0$                         & $0$                          & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $1$ \graycell \\
			\end{tabular}
		\end{center}
	\item für $J_y / \hbar$
		\begin{center}
			\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
				$j',m' \backslash j,m$       & $(0,0)$       & $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $(1,1)$       & $(1,0)$       & $(1,-1)$      \\ \hline\hline
				$(0,0)$                      & $0$ \graycell & $0$                         & $0$                          & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$  & $0$           & $0$           \graycell     & $-\frac{i}{2}$ \graycell     & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $0$           & $\frac{i}{2}$ \graycell     & $0$            \graycell     & $0$           & $0$           & $0$           \\ \hline
				$(1,1)$                      & $0$           & $0$                         & $0$                          & $1$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
				$(1,0)$                      & $0$           & $0$                         & $0$                          & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
				$(1,-1)$                     & $0$           & $0$                         & $0$                          & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $1$ \graycell \\
			\end{tabular}
		\end{center}
\end{itemize}
Erkennbar ist hier jeweils eine Blockstruktur!