\chapter{Zusammengesetzte Systeme}
\paragraph*{bisher:}
\begin{itemize}
	\item[I]  ein Spin-1/2 (bzw. ein N-Niveau System)
	\item[II] ein Teilchen entlang einer Dimension
\end{itemize}

\paragraph*{Ziel}
zwei und mehr Teilchen in $d=3$; Ortsfreiheitsgrad und Ort kombinieren

\section{Beispiel: 2 Teilchen in einer Dimension (Teil 1)}
%\begin{figure}[H] \centering
%\includegraphics{pdf/III/00-01-00.pdf}
%\end{figure}
Mit dem Potential
\begin{equation}
	V(x_1, x_2) = V_1(x_1) + V_2(x_2) + V_\text{int}(x_1, x_2)
\end{equation}
auf dem Niveau der Wellenfunktion $\psi(x_1, x_2)$ ist
\begin{equation}
	\rho(x_1, x_2) \equiv \abs{\psi(x_1, x_2)}^2
\end{equation}
die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_1$ und das zweite Teilchen bei $x_2$ zu finden und
\begin{align}
	\rho_1(x_1) &\equiv \intgr{-\infty}{+\infty}{\rho(x_1, x_2)}{x_2}\\
	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x_1, x_2)}^2}{x_2}
\end{align}
die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_2$ zu finden unabhängig davon wo das 2. Teilchen ist.
\begin{itemize}
	\item Normierung
		\begin{equation}
			1 = \intgru{\rho_1(x_1)}{x_1} = \intgru{\intgru{\rho(x_1, x_2)}{x_2}}{x_1}
		\end{equation}
	\item Zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung
		\begin{equation}
			i\hbar \diffPs{t} \psi(x_1, x_2, t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2 m_1} \diffPs{x_1}^2 - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \diffPs{x_2}^2 + V(x_1, x_2) \right) \psi(x_1, x_2, t)
		\end{equation}
\end{itemize}

\section{Hilbertraum als Tensorprodukt}
\subsection{endlich dimensionaler Fall}
\begin{itemize}
	\item System 1: $\hilbert^{(1)}$ mit Basis $\set{\ket{n} \left| n = 1, ..., N \right.}$
	\item System 2: $\hilbert^{(2)}$ mit Basis $\set{\ket{m} \left| m = 1, ..., M \right.}$
\end{itemize}

\paragraph{Beispiel: Benzolring}
\begin{itemize}
	\item System 1:
		\begin{equation}
			\ket{\psi_1} = \sum_{n=1}^6 c_n \ket{n}
		\end{equation}
	\item System 2: (Spin des Elektrons; hier in Z-Richtung)
		\begin{equation}
			\ket{\psi_2} = \sum_{m=1}^M d_m \ket{m} = d_+ \ket{z+} + d_-\ket{z-}
		\end{equation}
\end{itemize}

\paragraph{Gesamtraum}
Der Gesamtraum $\hilbert$ der Dimension $n \cdot m$ sei nun
\begin{equation}
	\hilbert = \left( \hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)} \right)
\end{equation}
mit der Basis
\begin{equation}
	B_\hilbert = \set{\ket{n} \otimes \ket{m} \left| n = 1, ..., N; m = 1, ..., M \right.}
\end{equation}
und im obigen Beispiel: $\set{\ket{1} \otimes \ket{z+}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z+}, \ket{1} \otimes \ket{z-}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z-}}$\\[15pt]
Ein beliebiger Zustand in $\hilbert$ ist dann
\begin{equation}
	\ket{\psi} = \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M d_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m} = \sum_{j=1}^{N \cdot M} a_j \ket{j}
\end{equation}
\underline{Beachte:} nicht jeder $\ket{\psi} \in \hilbert$ lässt sich schreiben als
\begin{equation}
	\ket{\psi} = \underbrace{\ket{\psi_1}}_{\in \hilbert^{(1)}} \otimes \underbrace{\ket{\psi_2}}_{\in \hilbert^{(2)}}
\end{equation}
denn
\begin{align}
	\ket{\psi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z-} \right)\\
	&\neq \ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2} ~ \text{``Verschränkung'' (``entanglement'')}
\end{align}
im Gegensatz zu
\begin{align}
	\ket{\phi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z+} \right)\\
	&= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} + \ket{2} \right) \otimes \ket{z+} \right) ~ \text{``Produktzustand''}
\end{align}
Weiterhin sei das Skalarprodukt wiefolgt definiert:
\begin{align}
	\left( \bra{n'} \otimes \bra{m'} \right) \left( \ket{n} \otimes \ket{m} \right)&= \braket{n'}{n} \braket{m'}{m}\\
	&= \krondelta{n,n'} \krondelta{m,m'}
\end{align}
d.h.
\begin{align}
	\ket{\psi} &= \sum_{n,m} a_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m}\\
	\ket{\phi} &= \sum_{n,m} b_{n',m'} \ket{n'} \otimes \ket{m'}\\[15pt]
	\braket{\phi}{\psi} &= \sum_{n,m} b_{n,m}^* a_{n,m}
\end{align}

\subsection{kontinuierlicher Fall}
\begin{itemize}
	\item Teilchen (System) 1: $\ket{\psi_1} \in \hilbert^1$ mit Basis $\set{\ket{x_1}}$, $\set{\ket{p_1}}$ oder $\set{\ket{n_1}}$
	\item Teilchen (System) 2: $\ket{\psi_2} \in \hilbert^2$ mit Basis $\set{\ket{x_2}}$, $\set{\ket{p_2}}$ oder $\set{\ket{n_2}}$
\end{itemize}

\paragraph{Gesamtraum}
\begin{equation}
	\hilbert = \hilbert^1 \otimes \hilbert^2
\end{equation}
mit Basis
\begin{equation}
	B_\hilbert^{(1)} = \set{\ket{x_1} \otimes \ket{x_2} \equiv \ket{x_1, x_2}}
\end{equation}
oder
\begin{equation}
	B_\hilbert^{(2)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{p} \equiv \ket{x, p}}
\end{equation}
oder
\begin{equation}
	B_\hilbert^{(3)} = \set{\ket{p_1} \otimes \ket{p_2} \equiv \ket{p_1, p_2}}
\end{equation}
oder
\begin{equation}
	B_\hilbert^{(4)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{n} \equiv \ket{x, n}}
\end{equation}
mit $\ket{\psi} \in \hilbert$ und $\psi(x_1, x_2) = \braket{x_1, x_2}{\psi}$
\begin{align}
	\ket{\psi}^{(1)} &= \intgru{\intgru{\psi(x_1, x_2) \ket{x_1, x_2}}{x_2}}{x_1}\\
	\ket{\psi}^{(2)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x, p)\ket{x, p}}{p}}{x}\\
	\ket{\psi}^{(4)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\sum_{n=0}^\infty \psi_n(x) \ket{x, n}}{x}
\end{align}

\section{Operatoren}
Im zusammengesetzten Hilbertraum $\hilbert = \hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)}$ sei:
\begin{itemize}
	\item $\hilbert^{(1)}$ mit Operatoren $A^{(1)}$\\ \indent
		(z.B. der Ortsoperator beim Benzolring $A^{(1)} = H$)
	\item $\hilbert^{(2)}$ mit Operatoren $B^{(2)}$\\ \indent
		(z.B. ein Spinoperator: $B^{(2)} = \sigma_x$, $sigma_y$ oder $sigma_z$)
\end{itemize}
Nun besitzt $A^{(1)}$ die Erweiterung in $\hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)}$:
\begin{equation}
	A^{(1)} \rightarrow a^{(1)} \otimes \one^{(2)} \equiv A^{(1) \otimes (2)}
\end{equation}
Die Wirkung der Operatoren auf die Zustände ist allgemein:
\begin{equation}
	\left( A^{(1)} \otimes B^{(2)} \right) \left( \ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2} \right) = \left( A^{(1)} \ket{\psi_1} \right) \otimes \left( B^{(2)} \ket{\psi_2} \right)
\end{equation}
und am Beispiel des Spinoperators beim Benzolring:
\begin{align}
	\sigma_z^{(1) \otimes (2)} \equiv \one^{(1)} \otimes \sigma_z^{(2)} \rightarrow \one^{(1)} \otimes \sigma_z^{(2)} \ket{3, z-} &= \left( \one \ket{3} \right) \otimes (-1)\ket{z-}\\
	&= -\ket{3, z-}
\end{align}
mit der Notation:
\begin{equation}
	\sigma_z \ket{3, z-} = -\ket{3, z-}
\end{equation}
\paragraph{Beispiel} Ein Ringmölekül mit 3 C-Atomen hat als Basis:
\begin{equation}
	\set{\ket{1, z\pm}, \ket{2, z\pm}, \ket{3, z\pm}} = \setCond{\ket{j}}{j = 1, ..., 6}
\end{equation}
Operator $\sigma_z$
\begin{equation}
	\dirac{j'}{\one \otimes \sigma_z}{j} = \inlinematrix{
		1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
		0 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
		0 &  0 &  1 &  0 &  0 &  0 \\
		0 &  0 &  0 & -1 &  0 &  0 \\
		0 &  0 &  0 &  0 &  1 &  0 \\
		0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 \\
	}
\end{equation}

\section{Beispiel: 2 Teilchen in einer Dimension (Teil 2)}
Zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung:
\begin{align}
	i \hbar \diffPs{t} \ket{\psi} &= H \ket{\psi}
	&= \frac{\hat{p}_1^2}{2m_1} + \frac{\hat{p}_2^2}{2m_2} V(\hat{x}_1, \hat{x}_2) \ket{\psi}
\end{align}

\paragraph{Fall 1} $H$ ist separabel:
\begin{align}
	V(x_1, x_2) &= V_1(x_1) + V_2(x_2)\\
	\rightarrow H = H^{(1)} + H^{(2)}
\end{align}
Durch den Ansatz
\begin{equation}
	\ket{\psi(t)} = e^{-\frac{i}{\hbar} t E} \ket{\phi}
\end{equation}
und
\begin{equation}
	\left( H^{(1)} + H^{(2)} \right) \ket{\phi} = E \ket{\phi}
\end{equation}
mit dem stationären Zustand
\begin{equation}
	\ket{\phi} \equiv \ket{E_{i,j}} = \ket{E^{(1)}_i} \otimes \ket{E^{(2)}_j} = \ket{E^{(1)}_i, E^{(2)}_j}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	H^{(1)} \ket{E^{(1)}_i} = E^{(1)}_i \ket{E^{(1)}_i}
\end{equation}
erhält man die vollständige Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung:
\begin{equation}
	\ket{\psi(t)} = \sum_{i,j} c_{i,j}(0) e^{-\frac{i}{\hbar} \left( E^{(1)}_i + E^{(2)}_j \right) t} \ket{E^{(1)}_i, E^{(2)}_j}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	c_{i,j}(0) = \braket{E^{(1)}_i, E^{(2)}_j}{\psi(t_0)}
\end{equation}

\paragraph{Fall 2} $H$ ist nicht separabel: Man erhält eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.
\paragraph{Fall 3} Es liegt kein äußere Potential an: $V = V(x_1 - x_2)$: neue Koordinaten
\begin{align}
	x_{CM} &\equiv \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\\
	p_{CM} &\equiv p_1 + p_2\\
	x \equiv x_1 - x_2\\
	p \equiv \mu \left( \frac{p_1}{m_1} + \frac{p_2}{m_2} \right)\\
\end{align}
mit
\begin{equation}
	\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}
\end{equation}
Für den Kommutator ergibt sich nun:
\begin{equation}
	[x_{CM}, p_{CM}] = [x, p] = [x_1, p_1] = [x_2, p_2] = i\hbar
\end{equation}
und für den Hamiltonoperator:
\begin{align}
	H &= \frac{p_1^2}{2m_1} \frac{p_2^2}{2m_2} + V(x_1 - x_2)\\
	&= \underbrace{\frac{p_{CM}^2}{2 (m_1 + m_2)}}_\text{separabel} + \underbrace{\frac{p^2}{2\mu} + V(x)}_{H_\text{rel}}\\[15pt]
	&= H_{CM} + H_\text{rel}
\end{align}
Beispiel:
\begin{equation}
	V(x) = \frac{\mu}{2} \omega^2 x^2
\end{equation}
\subparagraph{Anmerkung} Aus dem Oberen erhält man eine schöne Basis im Produktraum: $\set{\ket{p_{CM}}, n}$