%\includegraphics{excs/qm1_blatt02_SS08.pdf}
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\chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 2}
\section{Aufgabe 4: Unitäre Operatoren}
	Es gilt: $U^{-1} = U^\intercal$.
\subsection*{a)}
	Zu zeigen: Der Eigenwert ist von der Form $a_n = e^{\i \alpha_n}$:
	Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$.
	\begin{align}
		U \ket{a}				&= a \cdot \ket{a} \\
		\bra{a} U^\intercal		&= a^\ast \cdot \bra{a} \\
		\braket{a}{a}			&= \dirac{a}{1}{a} \\
								&= \dirac{a}{U^\intercal U}{a}
								&= a^\ast \braket{a}{a} a \\
								&= \abs{a}^2 \cdot \braket{a}{a} \\
								&\Rightarrow \\
		\abs{a}					&= 1 \\
								&\Rightarrow \\
		\abs{e^{\i \alpha_n}}	&= 1
	\end{align}
	
	Zu zeigen: Die Eigenvektoren sind orthogonal:
	Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a_n}$ bzw. $\ket{a_m}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a_n$ bzw. $a_m$.
	\begin{align}
		\braket{a_n}{a_m}		&= \dirac{a_n}{1}{a_m} \\
								&= \dirac{a_n}{U^\intercal U}{a_m} \\
								&= a_n^\ast \braket{a_n}{a_m} a_m \\
								&= e^{-\i \alpha_n} \cdot e^{\i \alpha_m} \cdot \braket{a_n}{a_m} \\
								&= e^{\i ( \alpha_m - \alpha_n)} \braket{a_n}{a_m} \\
								&\Rightarrow \\
		\braket{a_n}{a_m}		&= 0
	\end{align}


\subsection*{b)}
Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s) = e^{-\i s A}$ unitär  \\
\begin{align}
	U(s)	&= e^{\i s A} \\
			&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (-\i s A)^k \\
			&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (\i s A^\intercol)^k  \\
			&= e^{\i s A}
\end{align}

Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s_1 + s_2) = U(s_1) \cdot U(s_2)$.
\begin{align}
	U(s_1 + s_2)	&= e^{-\i (s_1 + s_2) A}\\
					&= e^{-\i s_1 A - \i s_2 A} \\
					&= e^{-\i s_1 A} \cdot e^{-\i s_2 A} \\ 
					&= U(s_1) \cdot U(s_2)
\end{align}



\section{Aufgabe 5: Spur und Determinante}
\subsection*{a)}
	Zu zeigen: $[A,BC]	&= B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C$.
	\begin{align}
		[A,BC]							&= ABC -BCA \\
		B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C	&= B \cdot (AC - CA) + (AB - BA) \cdot C \\
										&= BAC - BCA + ABC - BAC \\
										&= ABC - BCA \\
										&= [A,BC]
	\end{align}
\subsection*{b)}
Zu zeigen: Für endliche Operatoren gilt:
$\tr(AB) = \tr(BA)$

\begin{align}
	\tr(AB)	&= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N a_{ik} b_{ki} \\
			&= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N b_{ik} a_{ki} \\
			&= \tr(BA)
\end{align}

Zu zeigen: Die Spur ist invariant unter zyklischen Vertauschungen:
\begin{align}
	\tr(ABC)	&= \tr(A \cdot (BC)) \\
				&= \tr((BC) \cdot A) \\
				&= \tr(BCA) \\
				&= \tr(B \cdot (CA)) \\
				&= \tr((CA) \cdot B) \\
				&= \tr(CAB)
\end{align}

Zu zeigen: Die Spur ist unabhänging von der Basis:
Sei hierzu $T^{-1}$ die Matrix der neuen Basisverktoren dargestellt in der alten Basis.
Dann ist $T^{-1}AT$ die Basistransformation von der A-Basis in die T-Basis.
\begin{equation}
	\tr(T^{-1}AT) = \tr(T^{-1}TA) = \tr(A)
\end{equation}

\subsection*{c)}
\begin{align}
	\diffT{t}A(t)				&= A(t) \cdot B \\
	\frac{\diffT{t}A(t)}{A(t)}	&= B \\
	\ln(A(t))					&= B \cdot t + c \\
	A(t)						&= e^{Bt+c} \\
								&= A(0) \cdot e^{Bt} \\
								&= A_0 \cdot B \cdot e^{Bt} \\
								&= A_0 \cdot e^{Bt} \cdot B \\
	\diffT{t}A_2(t)				&= B \cdot A_2(t)\\
	A_2(t)						&= e^{Bt} \cdot A_0
\end{align}

\subsection*{d)}
\begin{align}1 + \epsilon \tr(A) + O(\epsilon^2)
	det(1 + \epsilon A)		&= \inlinematrixdet{1+\epsilon A_{11}	& \ldots			& 0+\epsilon A_{1n} \\
												\vdots				& 1+\epsilon A_{ii}	& \vdots \\
												0+\epsilon A_{n1}	& \ldots			& 1+\epsilon A_{nn}
												} \\
							&= \prod_i (1 + \epsilon A_{ii}) + \bigO(\epsilon^2) \\
							&= 1 + \epsilon \sum A_{ii} + \bigO(\epsilon^2)\\
							&= 1 + \epsilon \tr(A) + \bigO(\epsilon^2)
\end{align}

Zu zeigen: $\det(e^A = e^{\tr(A))$
\begin{align}
	g(t)		&= \det(e^{At}) \\
				&\stackrel{tailor}{} \det(1 + At + \bigO(t^2)) \\
				&= 1 + \tr(A) + \bigO(t^2) \\
				&\stackrel{tailor ``rückwärs''}{} e^{\tr(A)t}
\end{align}

\begin{align}
	g(t)	&= \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(e^{A(t+\epsilon)) - det(e^{At})} \\
			&= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \det(e^{A \epsilon}) \\
			&= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(1 + A \epsilon + \bigO(\epsilon^2) - det(1)} \\
			&= g(t) \tr(A) \\
			&\Rightarrow g(t) = e^{\tr(A) \cdot t}
\end{align}


Ist A diagonalisierbar:
\begin{math}
	\det(e^A) = \det(T^{-1} e^A T) = \det(e^\hat{A}) = \prod_i e^{\lambda_i} = e^{\sum_i \lambda_i} = e^{\tr(A)}
\end{math}


\section{Aufgabe 6: Hermitesche Matrizen}
\subsection*{a)}
Es gilt: $M_i^2 = \one$
Sei $\bra{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$
\begin{align}
	M_i \ket{a}		&= a \cdot \bra{a}	&| M_i von links
	M_i^2 \ket{a}	&= M_i a \cdot \bra{a} \\
	\one \ket{a}	&= a^2 \bra{a} \\
					&\Rightarrow a = \pm 1
					
\end{align}

\subsection*{b)}
Für $i \neq j$ folgt mit $M_i M_j + M_j M_i = 2 \krondelta{ij} \one$ : $M_i M_j = - M_j M_i$
Dann gilt:
\begin{align}
	\tr(M_i M_j + M_j M_i)		&= tr(2 \krondelta{ij} \one) \\
	\tr(M_i M_j) + \tr(M_j M_i)	&= tr(\mathbb{0}) \\
	\tr(M_i M_j)				&= -tr(M_j M_i) \\
	\tr(M_i M_j)
\end{align}