\chapter{Freie quantale Teilchen}
\section{Ebene Wellen}
$V(x) \equiv 0$:
\begin{equation}
	i \hbar \ket{\psi} = \frac{p^2}{2m} \ket{\psi}
\end{equation}

\paragraph*{stationäre Lösung}
\begin{equation}
	E \ket{\psi} = \frac{\hat{p}^2}{2m} \ket{\psi}
\end{equation}
Lösungen sind Eigenzustände zu $\hat{p}$:
$\hat{p} \ket{p} = p \ket{p}$:
\begin{align}
	H \ket{p} &= \frac{p^2}{2m} \ket{p}\\
	&\equiv E \ket{p}
\end{align}
alle $E > 0$ sind möglich.\\[15pt]
Zustände sind zweifach entartet. Zu $E > 0$ gibt es $\ket{\sqrt{2m E}}$ und $\ket{-\sqrt{2m E}}$ als mögliche Eigenzustände. (Vergleiche klassiche Mechanik: $E$ vorgegeben, dann auch $p = \pm \sqrt{2m E}$ als mögliche Bahnen)

\paragraph*{Lösung in Ortsdarstellung}
\begin{align}
	\braket{x}{\pm \sqrt{2m E}} &= \braket{x}{\pm p}\\
	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\pm \frac{i p x}{\hbar}}\\
	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\pm \frac{i}{\hbar}\sqrt{2m E} \cdot x}\\
	&= \psi_\pm(x)
\end{align}

Sei (für $p > 0$):
\begin{equation}
	\psi(x, t = 0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i p x}{\hbar}}
\end{equation}
dann:
\begin{align}
	\psi(x, t) &= e^{-\frac{i}{\hbar} E \cdot t} \psi(x, 0)\\
	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{i \left( \frac{p}{\hbar} x - \frac{E}{\hbar} t \right) }\\
	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{-i(k x - \omega t)}
\end{align}
$\rightarrow$ rechtslaufende Welle\\[15pt]
Entsprechend für $p = -\sqrt{2m E}$ gilt:
\begin{equation}
	\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{i(-k x - \omega t)}
\end{equation}
$\rightarrow$ linkslaufende Welle

\section{Propagator}
$\ket{\psi(t_0)}$ gegeben als $\psi(x,t_0) = \braket{x}{\psi(t_0)}$. Gesucht: $\ket{\psi(t)}$:
\begin{align}
	\psi(x,t) = \braket{x}{\psi(t)} &= \dirac{x}{e^{-\frac{i}{\hbar} (t - t_0) H}}{\psi(t_0)}\\
	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\dirac{x}{e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{\hat{p}^2}{2m} (t - t_0)}}{p}\bra{p}\psi(t_0)}{p}\\
	&= \intgru{e^{\frac{-i p^2}{\hbar 2m} (t - t_0)} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i p x}{\hbar}} \psi(p, t_0)}{p}\\
	&= \intgru{\intgru{e^{-\frac{i p^2}{2m \hbar} (t - t_0)} \frac{1}{2 \pi \hbar} e^{\frac{i p}{\hbar} (x - x')} \psi(x', t_0)}{x'}}{x}\\
	&= \intgru{\sqrt{\frac{m}{2 \pi \hbar i (t - t_0))}} e^{\frac{i m (x - x')}{2 \hbar (t - t_0)}} \psi(x', 0)}{x'}\\
	&= \intgru{\dirac{x}{U(t, t_0)}{x'}\braket{x'}{\psi(t_0)}}{x'}
\end{align}
$\rightarrow$ Matrixelemente des Zeitentwicklungsoperators in Ortsdarstellung

\subsection*{Analogie: Diffusion}
Sei $c(x, t)$ die Dichte der blauen Tinte.
%\begin{figure}[h]
%\includegraphics{8-001.pdf}
%\caption{$c(x,t_0)$}
%\end{figure}
Diffusionsgleichung:
\begin{equation}
	\partial_t c(x, t) = D \partial_x^2 c(x, t)
\end{equation}
Lösung:
\begin{equation}
	c(x, t) = \intgru{\frac{1}{\sqrt{D t 4 \pi}} c(x',t_0)}{x'}
\end{equation}
QM:
\begin{align}
	i\hbar \partial_t \psi(x,t) &= -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 \psi(x,t)\\
	\partial_t \psi(x,t) &= i \frac{\hbar}{2m} \partial_x^2 \psi(x,t)
\end{align}
\section{Gauss'sches Wellenpacket}
%\begin{figure}[h]
%\includegraphics{8-002.pdf}
%\caption{$\abs{\psi^2(x)}$ lokalisiert um die Null mit Breite $~\Delta$}
%\end{figure}
\begin{equation}
	\psi(x',0) = \frac{1}{(\pi \Delta^2)^{\frac{1}{4}}}
\end{equation}
\begin{itemize}
	\item Die Wahrscheinlichkeit Teilchen am Ort $x'$ zu messen sei
		\begin{equation}
			\rho(x') \equiv \abs{\psi(x',0)}^2
		\end{equation}
		.
	\item Die Wahrscheinlichkeit Teilchen mit Impuls $p$ zu messen sei
		\begin{equation}
			\rho(p) \equiv \abs{\psi(p,0)}^2
		\end{equation}
		.
\end{itemize}
\begin{align}
	\psi(p,0) \equiv \braket{p}{\psi(0)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\braket{p}{x'} \braket{x'}{\psi(0)}}{x'}\\
	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\frac{e^\frac{-i p x'}{\hbar}}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{1}{\left(\pi \Delta^2\right)^\frac{1}{4}} e^\frac{i p_0 x'}{\hbar} e^\frac{-{x'}^2}{2 \Delta^2}}{x'}\\
	&= \frac{\Delta^\frac{1}{2}}{\pi^\frac{1}{4} \hbar^\frac{1}{2}} e^\frac{-(p - p_0)^2 \Delta^2}{2 \hbar}
\end{align}
Also ergibt sich für $\rho(p)$
\begin{equation}
	\rho(p) = \frac{\Delta}{\pi^\frac{1}{2} \hbar} e^\frac{-(p - p_0)^2}{\hbar^2 \Delta^{-2}}
\end{equation}
%\begin{figure}[h]
%\includegraphics{8-002.pdf}
%\caption{$\abs{\psi^2(x)}$ lokalisiert um die Null mit Breite $~\Delta$}
%\end{figure}
\paragraph*{Dispersion, Unschärfe}
\begin{align}
	(\Delta x)_\ket{\psi(0)} &= \sqrt{<x^2> - <x>^2} = \sqrt{\dirac{\psi(0)}{\hat{x}^2}{\psi(0)}}\\
	&= \frac{\Delta}{\sqrt{2}}\\[15pt]
	(\Delta p)_\ket{\psi(0)} &= \sqrt{<p^2> - <p>^2} = ...\\
	&= \frac{\hbar}{\sqrt{2} \Delta}
\end{align}
Heisenberg:
\begin{equation}
	(\Delta x)_\ket{\psi(0)} (\Delta p)_\ket{\psi(0)} \geq \frac{1}{2}\dirac{\psi_0}{[x,p]}{\psi_0} = \frac{\hbar}{2}
\end{equation}
für Gauss'sches Wellenpacket ist Gleichheit erreicht.
\paragraph*{Dynamik}
\begin{align}
	\psi(x,t) &= \intgr{-\infty}{+infty}{U(x,t; x',t_0)}{x'} &\left| t_0 = 0; ~ U(x,t; x',t_0) = \dirac{x}{U(t,t_0}{x'} \right.\\
	&= \left( \sqrt{\pi} \left( \Delta + \frac{i \hbar t}{m \Delta} \right) \right)^{-\frac{1}{2}} e^\frac{-\left(x - \frac{p_0 t}{m} \right)^2}{2 \Delta^2 \left( 1 + i \hbar \frac{t}{m \Delta^2} \right)} e^{\frac{i p_0}{\hbar} \left( x - \frac{p_0 t}{m} \right)}
\end{align}
\begin{equation}
	\rho(x,t) = \abs{\psi(x,t)}^2
\end{equation}
%\begin{figure}[h]
%\includegraphics{8-002.pdf}
%\caption{$\abs{\psi^2(x)}$ lokalisiert um die Null mit Breite $~\Delta$}
%\end{figure}
\begin{equation}
	\Delta(t) = \Delta^{(0)} \sqrt{1 + \frac{\hbar^2 t^2}{m^2 \Delta^4}}
\end{equation}

\paragraph{Fazit}
\begin{enumerate}
	\item \begin{equation}
			<x>(t) = p_0 \frac{t}{m} = <p>(t) \frac{t}{m} \text{ und } <p>(t) = p_0
		\end{equation}
		Mittelwerte verhalten sich klassisch (Ehrenfest!).
	\item \begin{equation}
			(\Delta x)(t) = \frac{\Delta}{\sqrt{2}} \left( 1 + \frac{\hbar^2 t^2}{m^2 \Delta^4} \right)^\frac{1}{2}
		\end{equation}
		Breite im Ort läuft auseinander. Sie ändert sich sinifikant auf der Zeitskala:
		\begin{equation}
			t^* = \frac{m}{\hbar} \Delta
		\end{equation}
		Beispiel makroskopisch:
		\begin{align}
			m &=0,1kg; ~ \Delta = 10^{-3}m; ~ \hbar = 10^{-23}Js\\[15pt]
			t^* &= \frac{10^{-1} 10^{-6}}{10^{-34}}s = 10^{27}s
		\end{align}
		Elektron:
		\begin{align}
			m_e &= 10^{-30}kg; ~ \Delta = 10^{-10}m; ~ \hbar = 10^{-23}Js\\[15pt]
			t^* &= \frac{10^{-30} 10^{-20}}{10^{-34}}s = 10^{-16}s
		\end{align}
	\item Impulse verbreitern sich analog.
\end{enumerate}
