\chapter{Quanten-Kinematik des Spin 1/2 Systems}

\paragraph{Idee} Kombination der Prinzipien und Experimente führt auf $\hilbert$ und die konkreten Formen der Zustände und Operatoren.

\section{Hilbertraum und $\sigma_z$-Darstellung}
\begin{itemize}
	\item immer nur $\pm 1$ als Messwert $\rightarrow$ $\dim(\hilbert) = 2$
	\item wähle als Basis $\set{\ket{1}, \ket{2}} = \set{\ket{z+}, \ket{z-}} = \set{\inlinematrix{1\\ 0}, \inlinematrix{0\\ 1}}$ die Eigenvektoren des zu ``Spin in z-Richtung'', $\sigma_z$, gehörenden Operatoren:
		\begin{align}
			\sigma_z \ket{z+} &= (+1) \ket{z+}\\
			\sigma_z \ket{z-} &= (-1) \ket{z-}
		\end{align}
		zugehörige Bra: $\bra{z+} \cequiv (1, 0)$ und $\bra{z-} \cequiv (0, 1)$
		\begin{equation}
			\sigma_z \cequiv \inlinematrix{1 & 0 \\ 0 & -1}
		\end{equation}
	\item beliebiger Zustand $\psi = c_1 \ket{z+} + c_2 \ket{z-}$ mit normierung $\braket{\psi}{\psi} = 1 \Rightarrow c_1 c_1^* + c_2 c_2^* = 1$
\end{itemize}

\subsection*{Ex. 1}
\begin{figure}[H] \centering
	\includegraphics{pdf/I/04-01-00.pdf}
\end{figure}
\begin{align}
	\prob{\left. \sigma_z \cequiv +1 \right| \ket{\psi_0} = \ket{z+}} &= \abs{\braket{z+}{\psi_0}}^2\\
	&= \abs{\braket{z+}{z+}}^2 = 1\\
	\prob{\left. \sigma_z \cequiv -1 \right| \ket{\psi_0} = \ket{z-}} &= \abs{\braket{z-}{\psi_0}}^2\\
	&= \abs{\braket{z-}{z+}}^2 = 0
\end{align}

\section{Spin-Operatoren}
\paragraph{Frage}
Welcher Operator $\sigma_z$ entspricht der physikalischen Größe Spin in n-Richtung?

\paragraph{Wir wissen}
(1) $\sigma_n \cequiv 2 \times 2$ Matrix, hermitesch, $\inlinematrix{a & b \\ b^* & d}$ (2) mit Eigenwetren $\pm 1$: $\tr \sigma_n = 0$, $\det \sigma_n = 1$
\begin{equation}
	\rightarrow \sigma_n = \inlinematrix{a & b \\ b^* & -a}
\end{equation}
\begin{align}
	\det \sigma_n = -a^2-bb^* &= -1\\
	\rightarrow a^2+bb^* &= 1
\end{align}

\paragraph{Ansatz}
\begin{equation}
	\sigma_n = \inlinematrix{\cos \beta & e^{-i \alpha} \sin \beta \\ e^{i \alpha} \sin \beta & -\cos \beta} \text{ mit } \alpha = \alpha (n), \beta = \beta (n)
\end{equation}
\[
	(\alpha (n=z) = 0; \beta (n=z) = 0)
\]

\paragraph{Eigenvektoren}
\begin{equation}
	\sigma_n \underbrace{{\inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}}}}_{\equiv \ket{n+}} = +1 \inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}} \text{ (Phase ist Konvention)}
\end{equation}

\begin{equation}
	\rightarrow \sigma_n \ket{n+} = \ket{n+}
\end{equation}

\begin{equation}
	\sigma \inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{-i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}} = (-1) \inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{-i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}} \equiv (-1) \ket{n-}
\end{equation}

\paragraph{Form von $\sigma_x$}
\begin{equation}
	\ket{x+} = \inlinematrix{\cos \frac{\beta_x}{2} \\ e^{i \alpha_x} \sin \frac{\beta_x}{2}}
\end{equation}

\subsection*{Ex. 2a}
\begin{figure}[H] \centering
	\includegraphics{pdf/I/04-02-00.pdf}
\end{figure}
\begin{align}
	\prob{\left. \sigma_x \cequiv +1 \right| \ket{\psi_0} = \ket{z+}} \stackrel{Ex}{=} \frac{1}{2} &=\stackrel{P2b}{=} \abs{\braket{x+}{z+}}^2\\
	&= \abs{(\cos \frac{\beta_x}{2}, e^{-i \alpha_x} \sin \frac{\beta_x}{2}) \inlinematrix{1 \\ 0}}^2\\
	&= \cos^2 \frac{\beta_x}{2}
\end{align}

\begin{equation}
	\rightarrow \beta_x = \frac{\pi}{2}
\end{equation}

\begin{equation}
	\Rightarrow \sigma_x = \inlinematrix{0 & e^{-i \alpha_x} \\ e^{i \alpha_x} & 0}
\end{equation}

\subsection*{Ex. 2b}
analog zu Ex. 2a:
\begin{equation}
	\Rightarrow \sigma_y = \inlinematrix{0 & e^{-i \alpha_y} \\ e^{i \alpha_y} & 0}
\end{equation}

\subsection*{Ex. 2c}
\begin{figure}[H] \centering
	\includegraphics{pdf/I/04-02-01.pdf}
\end{figure}
\begin{align}
	\prob{\left. \sigma \cequiv +1 \right| \ket{x+}} \stackrel{Ex}{=} \frac{1}{2} &\stackrel{P2b}{=} \abs{\braket{y+}{x+}}^2\\
	&= \abs{(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i \alpha_y}) \inlinematrix{\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \alpha_x}}}^2\\
	&= \abs{\frac{1}{2} (1 + e^{i(\alpha_x - \alpha_y)})}^2\\
	&= \frac{1}{4} \abs{1 + \underbrace{e^{i(\alpha_x - \alpha_y)}}_{\stackrel{!}{=}\pm i}}^2
\end{align}

\begin{equation}
	\rightarrow \alpha_x - \alpha_y = \pm \frac{\pi}{2}
\end{equation}
Konvention: $\alpha_x = 0;$ $\alpha_x = \frac{\pi}{2}$

\section*{Zusammenfassung}
% \begin{displaymath}
% 	\begin{array}{lllr}
% 		\sigma_z = \inlinematrix{1 & 0 \\ 0 & -1} & \ket{z+} = \inlinematrix{1 \\ 0} & \ket{z-} = \inlinematrix{0 \\ 1} & \refstepcounter{equation}(\theequation)\\
% 		\sigma_x = \inlinematrix{0 & 1 \\ 1 & 0}  & \ket{x+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ 1} & \ket{x-} = \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ -1}\\
% 		\sigma_y = \inlinematrix{0 & -i \\ i & 0} & \ket{y+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ i} & \ket{y-}= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ -i}
% 	\end{array}
% \end{displaymath}
\begin{align}
		\sigma_z &= \inlinematrix{1 & 0 \\ 0 & -1} & \ket{z+} &= \inlinematrix{1 \\ 0} & \ket{z-} &= \inlinematrix{0 \\ 1}\\
		\sigma_x &= \inlinematrix{0 & 1 \\ 1 & 0}  & \ket{x+} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ 1} & \ket{x-} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ -1}\\
		\sigma_y &= \inlinematrix{0 & -i \\ i & 0} & \ket{y+} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ i} & \ket{y-} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ -i}
\end{align}

\section*{Paulimatrizen}
\begin{equation}
	\sigma_i \sigma_j = \delta_{i,j} + i \sum_k \epsilon_{i,j,k} \sigma_k
\end{equation}

\begin{align}
	\rightarrow \sigma_\alpha^2 &= \one\\
	\sigma_x \sigma_y &= i \sigma_z \text{ etc. cyclisch}\\
	\left[ \sigma_i, \sigma_j \right] &= 2i \epsilon_{i,j,k} \sigma_k
\end{align}

\section*{Allgemeine Form von $\sigma_n$}
\begin{figure}[H] \centering
	\includegraphics{pdf/I/04-05-00.pdf}
\end{figure}
\begin{equation}
	\vec{n} = \inlinematrix{n_x\\ n_y\\ n_z} = \inlinematrix{\sin \theta \cos \phi\\ \sin \theta \sin \phi\\ \cos \theta}
\end{equation}\\
Die Wahrscheinlichkeiten
\begin{equation}
	\prob{\left. \sigma_z \cequiv +1 \right| \ket{n+}} = p_{z+}(n)
\end{equation}
bilden nun die Erwartungswerte:
\begin{align}
	< \sigma_x >_\ket{n+} &= \dirac{n+}{\sigma_x}{n+} \left(= p_{x+}(n) - p_{x-}(n) \right)\\
	< \sigma_y >_\ket{n+} &= \dirac{n+}{\sigma_y}{n+}\\
	< \sigma_z >_\ket{n+} &= \dirac{n+}{\sigma_z}{n+}
\end{align}\\
Fasse die Erwartungswerte zu einem Vektor zusammen:
\begin{equation}
	< \vec(\sigma) >_\ket{n+} = \inlinematrix{< \sigma_x >\\ < \sigma_y >\\ < \sigma_z >}
\end{equation}\\
Es gilt (experimentell oder aus Rotationsinvarianz):
\begin{equation}
	< \vec{\sigma} >_\ket{n+} = \vec{n}
\end{equation}\\
Konkret:
\begin{align}
	\dirac{n+}{\sigma_x}{n+} &= \left( \cos \frac{\beta}{2}, e^{-i \alpha} \sin \frac{\beta}{2} \right) \inlinematrix{0 & 1 \\ 1 & 0} \inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}}\\
	&= \left( e^{i \alpha} + e^{-i \alpha} \right) \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2}\\
	&= 2 \cos \alpha \frac{1}{2} \sin \beta\\
	&= \cos \alpha \sin \beta\\
	&\stackrel{!}{=} \sin \theta \cos \phi\\[15pt]
	\dirac{n+}{\sigma_y}{n+} &= ... = \sin \alpha \sin \beta\\
	&\stackrel{!}{=} \sin \theta \sin \phi\\[15pt]
	\dirac{n+}{\sigma_z}{n+} &= ... = \cos \beta\\
	&\stackrel{!}{=} \cos \theta\\[15pt]
	\rightarrow \beta &= 0\\
	\alpha &= \phi
\end{align}

\subsection*{zu Ex 4}
\begin{figure}[H] \centering
	\includegraphics{pdf/I/04-05-01.pdf}
\end{figure}
In den 2. SG,z:
\begin{align}
	\ket{\psi} &= \left( \ket{x+} \braket{x+}{z+} + \ket{x-} \braket{x-}{z+} \right)\\
	&= \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{1\\ 1} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{1\\ -1} \frac{1}{\sqrt{2}}\\
	&= \inlinematrix{1\\ 0}\\
	&= \ket{z+}
\end{align}
d.h. bei Nichtmessung (von $\sigma_z$) gilt die Superposition der Zustände mit den Wahrscheinlichkeitsamplituden.

\section{Quantenkryptographie}
\paragraph{Ziel} Abhörsichere Versendung von Codes
\paragraph{Situation} Alice (A) sendet Bob (B) eine Nachricht. Eve (E) versucht heimlich abzuhören ohne dass A und B das merken.
\paragraph{Vorgehensweise} Bennett-Bassard Protokoll (binär $1,0 \cequiv \ket{+}, \ket{-}$)
%TODO: darstellung der basiswahl etc.
\begin{itemize}
	\item A wählt für sich zufällig für jedes Bit eine $x$ oder $z$ Basis.
	\item B wählt eine zufällige Basis und misst.
	\item B sendet A seine Basenwahlsequenz öffentlich.
	\item A identifiziert die Bits (genauer: deren Nummer) bei denen sie beide zufällig dieselbe Basis hatten und sendet B öffentlich die Positionen. Beide streichen die anderen Bits.
	\item B sendet A öffentlich Position und Ergebnis einer Untermenge der verbl. Bits.: $(2 \rightarrow 0)$, $(4 \rightarrow 1)$, $(8 \rightarrow 0)$
	\item Alice überprüft die Resultate
		\begin{itemize}
			\item[Fall 1] $100\%$ übereinstimmung $\Rightarrow$ E war nicht dazwischen
			\item[Fall 2] $25\%$ Fehler: E hat abgehört
		\end{itemize}
		Falls E abhört muss sie für jedes Bit eine Basis wählen, zu $50\%$ wählt sie eine andere Basis als A, zu weiteren $50\%$ misst B dann das falsche Bit.
	\item Die restlichen Bits stehen nun als Verschlüsselung zur Verfügung.
\end{itemize}
