Oliver Groß 2bf6c32cb0
2010-12-13 15:28:16 +01:00

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 \chapter{Mathematische Sprache/Bühne: Hilbert-Raum (endl. Dim.)}  \section{Definition}  \begin{itemize}   \item linerarer Vektorraum $\hilbert$ mit Vektoren $\set{\ket{\phi}, \ket{\psi}}$   \begin{equation}   c_1 \ket{\phi} + c_2 \ket{\psi} = \ket{c_1 \phi + c_2 \psi} \in \hilbert   \end{equation}   \item Inneres (hermitesches) Produkt: $\hilbert \times \hilbert \rightarrow \setC$   \begin{equation}   \ket{\phi}, \ket{\psi} \rightarrow \braket{\phi}{\psi} = \braket{\psi}{\phi}^*   \end{equation}   \begin{enumerate}   \item linear im 2. Argument:   $\braket{\phi}{c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2} = c_1 \braket{\phi}{\psi_1} + c_2 \braket{\phi}{\psi_2}$   \item $\underbrace{\braket{\phi}{\phi}}_{\in \setR} > 0$ falls $\ket{\phi} \neq \ket{0}$   \item antilinear im 1. Argument:   $\braket{c \phi}{\psi} = c^* \braket{\phi}{\psi}$   \end{enumerate}   \item \underline{ortho}normierte Basis $\set{\ket{n}} = \set{\ket{1}, \ket{2}, ... , \ket{N}}$   \begin{equation}   \braket{n}{m} = \delta_{n,m}   \end{equation}   Jeder Vektor kann entwickelt werden   \begin{align}   \ket{\psi} &= \sum^{N}_{n=1}c_n \ket{n} &\left| \bra{m} \right.\\   \braket{m}{\psi} &= \sum^N_{n=1}c_n \braket{m}{n} = c_m\\   \ket{\psi} &= \sum^N_{n=1} \braket{n}{\psi} \ket{n}\\   \text{mit} \ket{\phi} &= \sum^{N}_{n=1}d_n \ket{n}\\   \braket{\phi}{\psi} &= \sum^{N}_{n=1}d_n^* \sum^{N}_{m=1}c_m \braket{n}{m} = \sum^{N}_{n=1}d_n^* c_n   \end{align}   \item Norm   \begin{equation}   \norm{\ket{psi}} \equiv \norm{\phi} \equiv \left( \braket{\phi}{\phi} \right)^\frac{1}{2} = \left( \sum_n c_n^* c_n \right)^\frac{1}{2}   \end{equation}   \item Schwarz'sche Ungleichung   \begin{equation}   \abs{\braket{\chi}{\phi}}^2 \leq \braket{\chi}{\chi}\braket{\phi}{\phi} = \norm{\chi}^2\norm{\phi}^2   \end{equation}   Gleichheit falls $\ket{\chi} = c \ket{\phi}$  \end{itemize}    \section{Lineare Operatoren}  \subsection*{linearer Operator A}  \begin{align}   A \ket{\phi} &= \ket{A \phi}\\   \text{mit} A\left(c_1\ket{\phi_1}+c_2\ket{phi2}\right) &= c_1 \ket{A\phi_1} + c_2 \ket{A\phi_2}  \end{align}    \subsection*{Darstellung'' in Basis}  \begin{align}   \ket{A\psi} &= \sum_n c_n \ket{An} &\left| \bra{m} \right.\\   \braket{m}{A\psi} &= \sum_n c_m \braket{m}{An} \equiv \sum_n c_n A_{m,n}c_n  \end{align}  $A_{m,n}$ ... Matrixelemente''    \subsection*{Adjungierter Operator $A^\dagger$}  definiert durch  \begin{align}   \braket{\phi}{A^\dagger \psi} &\equiv \braket{A \phi}{\psi} = \braket{\psi}{A\phi}*\\   A^\dagger &\equiv \braket{m}{A^\dagger n} = \braket{Am}{n} = \braket{n}{Am}^* = A_{n,m}^*\\   \left(A^\dagger \right)^\dagger &= A  \end{align}  Produkt $(AB)^\dagger$  \begin{align}   \braket{\phi}{(AB)^\dagger \psi} = \braket{(AB)\phi}{\psi} &= \braket{B\phi}{A^\dagger \psi}\\   &= \braket{\phi}{B^\dagger A^\dagger \psi}\\   \Rightarrow (AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger  \end{align}  Definition:  \begin{equation}   \text{$A$ ist hermitesch} \gdw A^\dagger = A \gdw \underbrace{A_{n,m} = A_{m,n}^*}_\text{Diagonale reel!}  \end{equation}    \section{Dirac-Notation}  \begin{align}   \ket{A\phi} &= A \ket{\phi}\\   \bra{A^\dagger \psi} &\stackrel{\text{DN}}{\equiv} \bra{\psi A}\\   \braket{\psi}{A \phi} &= \braket{A^\dagger \psi}{\phi} \stackrel{\text{DN}}{=} \braket{\psi A}{\phi} \equiv \dirac{\psi}{A}{\phi}  \end{align}  Merke: Operatoren wirken entweder normal nach rechts oder adjungiert nach links.\\[10pt]  Jedem Vektor $\ket{\phi}$ (ket'') wird ein dualer Vektor $\bra{\phi}$ (bra'') zugeordnet.\\  \begin{tabular}[2]{c|c}   ket & bra \\ \hline   $\ket{\phi}$ & $\bra{\phi}$ \\   $\ket{c_1 \phi}$ & $c_1^* \bra{\phi}$  \end{tabular}    \subsection*{Darstellung als Spalten- und Zeilenvektoren}  \begin{align}   \set{\ket{1}, ..., \ket{N}} &\cequiv \set{\inlinematrix{1 \\ 0 \\ : \\ 0}, \inlinematrix{0 \\ 1 \\ : \\ 0}, ..., \inlinematrix{0 \\ : \\ 0 \\ 1}}\\   \ket{\phi} &\cequiv \inlinematrix{c_1 \\ : \\ c_N}\\   \bra{\phi} = \sum_n d_n^* \bra{n} &\cequiv (d_1^*, ..., d_N^*)  \end{align}  \begin{equation}   \braket{\phi}{\psi} = \sum_n d_n^* c_n  \end{equation}    \subsection*{Operator $A$}  \begin{align}   A \ket{\phi} &= \sum_n c_n A \ket{n}\\   \braket{\phi}{A \psi} &= \sum_{n, m} d_m A_{m,n} c_n\\   &= (d_1^*, ..., d_N^*) \inlinematrix{A_{1,1} & \cdots & A_{1,N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{N,1} & \cdots & A_{N,N}} \inlinematrix{c_1 \\ : \\ c_N}  \end{align}  Natürlich ist auch  \begin{equation}   AB \neq BA  \end{equation}  .    \section{Projektionsoperatoren}  Seien $\hilbert_1$ und $\hilbert_2$ orthogonale Unterräume von $\hilbert$.  Jeder ket $\ket{\phi}$ kann ein geuteig zerlegt werden:  \begin{equation}   \ket{\psi} = \ket{\psi_1} + \ket{\psi_2}  \end{equation}    \subsection*{Definition}  \begin{equation}   P_1\ket{\psi} \equiv \ket{\psi_1}  \end{equation}  \begin{itemize}   \item $P_1$ linear $\checkmark$   \item $P_1$ hermitesch   \begin{align}   \braket{\phi}{P_1^\dagger \psi} &= \braket{P_1 \phi}{ \psi}\\   &= \braket{\psi}{P_1 \phi}^* = \braket{\psi}{\phi_1}^*\\   &= \braket{\phi_1}{\psi} = \braket{\phi}{\psi_1}\\   &= \braket{\phi}{P_1 \psi} \checkmark   \end{align}  \end{itemize}    \subsection*{Projektion auf einen Basisvektor $\ket{n}$}  \begin{equation}   P_n = \ket{n}\bra{n}  \end{equation}  denn  \begin{align}   P_n \ket{\psi} &= \ket{n}\braket{n}{\psi}   &= c_n \ket{n}  \end{align}    \subsection*{Zerlegung der $\one$}  \begin{equation}   \one = \sum_n \ket{n}\bra{n}  \end{equation}  denn  \begin{align}   \one \ket{\psi} = \ket{\psi} &= \sum_n \ket{n} \braket{n}{\psi}\\   &= \sum_n \ket{n} c_n  \end{align}    Als Matrix:  \begin{align}   P_n &= \ket{n}\bra{n} \cequiv \inlinematrix{0\\ :\\ 1\\ :\\ 0} (0, .., 1, .., 0)\\   \one &= \sum_n P_n = \inlinematrix{1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 1}  \end{align}    \section{Unitäre Operatoren}  \subsection*{Definition}  \begin{equation}   \text{$U$ unitär} \gdw UU^\dagger = U^\dagger U = \one \gdw U^\dagger = U^{-1}  \end{equation}    \subsection*{Satz}  \begin{equation}   \text{$U$ unitär} \gdw \norm{U \phi} = \norm{\phi}  \end{equation}  \paragraph{Beweis:}  \begin{align}   \norm{\phi + c \chi}^2 &= \braket{\phi + c \chi}{\phi + c \chi} = \braket{\phi}{\phi} + 2 \re{c \braket{\phi}{\chi}} + cc^* \braket{\chi}{\chi} \\   \norm{U (\phi + c \chi)}^2 &= \braket{U \phi}{U \phi} + 2 \re{c \braket{U \phi}{U \chi}} + cc^* \braket{U \chi}{U \chi}  \end{align}    \paragraph{$\Leftarrow$'':}  \begin{align}   \re{c \braket{\phi}{\chi}} &= \re{c \braket{U \phi}{U \chi}}\\   c = 1 \re{\braket{\phi}{\chi}} &= \re{\braket{U \phi}{U \chi}}\\   c = i \im{\braket{\phi}{\chi}} &= \im{\braket{U \phi}{U \chi}}\\   \rightarrow \braket{\phi}{\chi} &= \braket{U \phi}{U \chi}\\   &= \dirac{\phi}{U^\dagger U}{\chi}  \end{align}  mit $U^\dagger U = \one$    \paragraph{$\Rightarrow$'':}  \begin{equation}   \norm{U \phi}^2 = \braket{U \phi}{U \phi} = \dirac{\phi}{U^\dagger U}{\phi} = \braket{\phi}{\phi} = \norm{\phi}^2  \end{equation}    \paragraph{Bemerkung:}  Unitäre Operatoren vermitteln Basiswechsel:\\  gegeben $\set{\ket{n}}$, definiere  \begin{equation}   \set{\ket{n'}} \equiv \set{U \ket{n}}  \end{equation}  denn:  \begin{align}   \braket{m'}{n'} &= \braket{Um}{Un} = \dirac{m}{U^\dagger U}{n} = \braket{m}{n}\\   &= \delta_{m,n}  \end{align}  \begin{enumerate}   \item $\ket{\psi} = \sum_n c_n \ket{n} = \sum_{n'} c_{n'} \ket{n'}$\\   mit $c_{n'} = \braket{n'}{\psi} = \braket{Un}{\psi}$   \item Matrixelemente $A'_{m,n} \equiv \dirac{m'}{A}{n'} = \sum_{k,l} U_{m,k}^\dagger A_{k,l} U_{l,m}$  \end{enumerate}    \section{Spektralzerlegung von hermitschen Operatoren}  \subsection*{Satz}  \begin{align}   \text{A hermitesch} \Rightarrow &\text{(1) Eigenwerte $a_n$ sind reell}\\   &\text{(2) Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthognal}  \end{align}  \paragraph{Beweis}  \begin{equation}   A \ket{a_n} = a_n \ket{a_n}  \end{equation}  \subparagraph{zu (1)}  \begin{align}   A \ket{a_n} &= a_n \ket{a_n} &\left| \bra{a_n} \right.\\   \braket{a_n A}{a_n} &= a_n \braket{a_n}{a_n}  \end{align}  \begin{align}   \braket{a_n A}{a_n} &= \braket{a_n (a_n)}{a_n} = a_n^* \braket{a_n}{a_n}  \end{align}  \begin{math}   \Rightarrow a_n = a_n^* \text{ \QED}  \end{math}  \subparagraph{zu (2)}  \begin{align}   A \ket{a_m} &= a_m \ket{a_n}\\   A \ket{a_m} &= a_m \ket{a_m}  \end{align}  \begin{align}   \dirac{a_n}{A}{a_m} &= a_m \braket{a_n}{a_m}\\   &= a_n \braket{a_n}{a_m}  \end{align}  \begin{math}   a_m \neq a_n \Rightarrow \braket{a_n}{a_m} = 0 \text{ \QED}  \end{math}    \subsection*{Zwei Fälle}  \begin{enumerate}   \item alle $a_n$ unterschiedlich   $\rightarrow \set{\ket{a_n}}$ bildet Basis   \item nicht alle $a_n$ unterschiedlich   Dann gibt es immer eine untäre Transformation $U$ mit   \begin{equation}   U^{-1}AU = \inlinematrix{a_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_N}   \end{equation}   $\rightarrow$ orthogonle Basis konstruiert.  \end{enumerate}    Sei $g(n)$ die Entartung von Eigenwert $a_n$. Im Unterraum gibt es also $g(n)$ Eigenvektoren:    $\ket{n,r}$ mit $r=1, ..., g(n)$  \begin{equation}   A \ket{n,r} = a_n \ket{n,r}  \end{equation}    \paragraph{Projektion auf diesen Unterraum}  \begin{equation}   P_n = \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\bra{n,r}  \end{equation}  \begin{equation}   \sum_n P_n = \sum_n \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\bra{n,r} = \one  \end{equation}    \begin{align}   A \ket{\psi} = A \one \ket{\psi} &= A \sum_n \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\braket{n,r}{\psi}\\   &= \sum_n a_n \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\braket{n,r}{\psi}  \end{align}  \begin{align}   A &= \sum_n a_n \sum_{r=1}^{g(n)}\ket{n,r}\bra{n,r}\\   &= \sum_n a_n \ket{n}\bra{n} = \sum_n a_n \ket{a_n}\bra{a_n} & \text{(nicht entartet)}  \end{align}    \section{Vollständiger Satz kommutierender Operatoren}  \subsection*{Definition}  \begin{equation}   \text{$A,B$ kommutieren} \gdw AB -BA = [A,B] = 0  \end{equation}    \subsection*{Satz}  \begin{equation}   \text{$A$, $B$ hermitesch und $[A,B] = 0$} \Rightarrow \text{es existiert eine gemeinsame Eigenbasis}  \end{equation}    \paragraph{Beweis}  \begin{align}   A \ket{n,r} &= a_n \ket{n,r} & B_\rightarrow\\   BA \ket{n,r} &= a_n B \ket{n,r}\\   A (B \ket{n,r}) &= a_n (B \ket{n,r})  \end{align}  $\rightarrow$ $B \ket{n,r}$ liegt im Untrraum zu $a_n$  \begin{description}   \item[Fall (1)] $a_n$ nicht entartet ($\ket{n,r} \equiv \ket{n}$)   \begin{equation}   B \ket{n} = b_n \ket{n}   \end{equation}   \item[Fall (2)] $a_n$ entartet   \begin{equation}   \bra{n,s} \cdot B \cdot \ket{n,r} = B_{s,r}^{(n)}   \end{equation}   \begin{equation}   B \cequiv \inlinematrix{\boxed{B^{(1)}} & & 0 \\ & \boxed{B^{(2)}} & & \\ & & \boxed{B^{(3)}} & \\ 0 & & & \boxed{B^{(4)}}} \rightarrow \text{kann diagonalisiert werden in jedem Kästchen}   \end{equation}   Falls $B^{(n)}$ entartet, gibt es einen dritten Opertor $C$ mit $[A,C] = [B,C] = 0$.  \end{description}    \subsection*{Definition}  Das Ensemble $set{A^1, ..., A^M}$ wechselseitig kommutierender Operatoren, deren Eigenwerte $(a_{n_1}^1, ..., a_{n_N}^M)$ mit zugehörigen Eigenvektoren $\set{\ket{a_{n_1}^1, ..., a_{n_N}^M}}$ mit  \begin{equation}   A^k \ket{a_{n_1}^1, ..., a_{n_N}^M} = a_{n_k}^k \ket{a_{n_1}^1, ..., a_{n_N}^M}  \end{equation}  eine eindeutige Basis definieren einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren (VSKO, CSCO).    \section{Operatorfunktionen}  Sei $A$ Operator, definiere $f(A)$  \begin{enumerate}   \item über die Potenzreihe   \begin{equation}   f(A) = \sum_{n=0}^{\inf} \frac{1}{n!} f^{(n)}(n) A^n   \end{equation}   $\lboxed{\text{Bsp: } e^A = \sum_{n=0}^{\inf} \frac{1}{n!} A^n}$   \item für hermitesche   \begin{align}   f(A) &= \sum_{n=1}^N f(a_n) \ket{a_n}\bra{a_n} & \text{(nicht entartet)}\\   &= \sum_n \sum_{r=1}^{g(n)} f(a_n) \ket{n,r}\bra{n,r}   \end{align}   beachte: $e^A \cdot e^B \neq e^{A+B}$  \end{enumerate}