qm1-script/kapI-3.tex

\chapter{Prinzipien der Quantenmechanik Teil 1: Kinematik}
\section{Zustands- und Superpositionspostulat}
\paragraph{(P1)} Bei \underline{vollständiger Kenntinis} eines Quantalen Systems wird dieses durch einen (normalisierten) Vektor $\psi$ im zugehörigen Hilbertraum $\hilbert$ repräsentiert.\\
Mit $\ket{\psi_1}$ und $\ket{\psi_2}$ ist auch die Superposition $\ket{\psi} = c_1 \ket{\psi_1} + c_2 \ket{\psi_2}$ ($c_{1,2} \in \setC$ geeignet normiert) ein möglicher Zustand.
\paragraph{Bemerkung} klassisch: (1) $(q^i, p^i)$ im Phasenraum; (2) $(q^1, p^1) \stackrel{\text{??}}{+} (q^2, p^2)$ ist Unsinn!

\section{Operator-, Mess- und Präparationspostulat}
\paragraph{(P2a)}
Jeder physikalischen Größe $A$ entspricht ein hermitescher Operator $A$.
\paragraph{(P2b)}
Eine Messung der Größe $A$ im Zustand $\ket{\psi_0}$ ergibt \underline{mit Sicherheit} eine der reellen Eigenwerte $a_j$ ($A \ket{a_j} = a_j \ket{a_j}$). Die Wahrscheinlichkeit genau ein $a_n$
zu messen beträgt:
\begin{align}
	\prob{\left. A \widehat{=} a_n \right| \ket{\psi}} &= \abs{\braket{a_n}{\psi_0}}^2 & \text{nicht entartet}\\
	&= \sum_{r=1}^{g(n)} \abs{\braket{n,r}{\psi_0}}^2 & \text{entartet}\\
	&\lboxed{\stackrel{\text{Not.}}{=} p_n}
\end{align}
\begin{align}
	\sum_{n=1}^{N} \prob{} &= \sum_n \abs{\braket{a_n}{\psi_0}}^2\\
	&= \sum_n \braket{\psi_0}{a_n} \braket{a_n}{\psi_0}\\
	&= \sum_n \dirac{\psi_0}{\one}{\psi_0}\\
	&= 1
\end{align}

\paragraph{(P2c)}
Unmittelbar nach der Messung mit Messwert $a_n$ ist das System im Zustand
\begin{align}
	\ket{\psi} &= P_n \ket{\psi_0}\\
	&= \ket{a_n} & \text{(bei Nichtentartung)}\\
	&= \sum_{r=1}^{g(n)} \ket{n,r} \frac{\braket{n,r}{\psi_0}}{\sum_n \abs{\braket{n,r}{\psi_n}}^2}
\end{align}

\paragraph{Bemerkung} vergleiche klassisch: (1) Physikalische Größen sind Phasenraumfunktionen ($\vec{r}, \vec{p}, \vec{l}, H, V$), die immer eindeutige Werte haben. (2) Messung ändert Zustand nicht.

\section{Wichtiger Spezialfall (``Bom'sche Regel'')}
Sei $A$ die Eigenschaft im Zustand $\ket{\chi}$ zu sein, zugehöriger Operator $P_\chi = \ket{\chi}\bra{\chi}$ (Eigenwerte: 1 ... $P_\chi \ket{\chi} = 1 \ket{\chi}$ und 0 ... alle orthogonal).\\
Die Wahrscheinlichkeit ``1'' zu messen im Zustand $\ket{\chi}$:
\begin{equation}
	\prob{\left. P_\chi = 1 \right| \ket{\chi}} = \abs{\braket{\chi}{\psi_0}}^2
\end{equation}

\section{Erwartungswert und Messwert}
\begin{itemize}
	\item Einzelmessung $a_n$ mit Wahrscheinlichkeit $p_n = \abs{\braket{a_n}{\psi}}^2$
	\item Mittelwert vieler Messungen an identisch präparierten System(en)
		\begin{align}
			< A >_\psi &= \sum_{n=1}^N a_n p_n = \sum_{n=1}^N a_n \braket{a_n}{\psi}\braket{\psi}{a_n} = \sum_n \braket{\psi}{a_n} a_n \braket{a_n}{\psi}\\
			&= \dirac{\psi}{A}{\psi}
		\end{align}
		($< A >_\psi$ heißt leider ``Erwartungswert'')\\
		Beispiel: $\ket{\psi} = \ket{x+}$, $\sigma_z$ Messung
		\begin{align}
			< \sigma_z >_\ket{x+} &= (+1) \prob{\left. \sigma_z \cequiv +1 \right| \ket{x+}} + (-1) \prob{\left. \sigma_z \cequiv -1 \right| \ket{x+}}\\
			&= 1 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{2}\\
			&= 0
		\end{align}
\end{itemize}

\section{Heisenberg'sche Unschärferelation}
\paragraph{Definition} Sei $(\Delta A)_\psi^2$ ``Dispersion'' oder Streuung mit
\begin{equation}
	(\Delta A)_\psi^2 \equiv \sum_n p_n (a_n - < A >_\psi)^2
\end{equation}
.

\begin{align}
	(\Delta A)_\psi^2 &= \sum_n p_n (a_n - < A >_\psi)^2\\
	&= \sum_n \braket{\psi}{n} \braket{n}{\psi} (\underbrace{a_n^2}_{\boxed{1}} - \underbrace{2 a_n < A >_\psi}_{\boxed{2}} + < A >_\psi^2)\\
	\boxed{1} &= \sum_n \braket{\psi}{n} a_n^2 \braket{n}{\psi}\\
	&= \dirac{\psi}{A^2}{\psi} &\text{denn: } A^2 = \sum_n \ket{n} a_n^2 \bra{n}\\
	\boxed{2} &= -2 < A >_\psi < A >_\psi\\[10pt]
	\rightarrow (\Delta A)_\psi^2 &= < A^2 >_\psi - < A >_\psi^2
\end{align}

\begin{equation}
	(\Delta A)_{\psi_0}^2 = 0 \gdw \ket{\psi} \text{ ist Eigenzustand (-vektor) von A.}
\end{equation}

\paragraph{Satz} Seien $A$, $B$ physikalische Größen, d.h. hermitesche Operatoren mit $[A,B] = iC$, dann gilt für die Streuung d.h. ``Unschärfe'' der $A$ und $B$ messwerte:
\begin{equation}
	(\Delta A)_{\psi_0} \cdot (\Delta B)_{\psi_0} \leq \frac{1}{2} \abs{< C >_{\psi_0}}
\end{equation}

\subparagraph*{Beweis}
\begin{itemize}
	\item $C$ hermitesch:
		\begin{align}
			[A,B]^\dagger &= (AB)^\dagger - (BA)^\dagger\\
			&= B^\dagger A^\dagger - A^\dagger B^\dagger\\
			&\stackrel{A, B\text{ herm.}}{=} BA - AB\\
			&= [B,A] = -[A,B]
		\end{align}
		
		\begin{equation}
			\rightarrow C^\dagger = (-i [A,B])^\dagger = -i [A,B] = C
		\end{equation}
	\item Seien $A_0 \equiv A - < A >_{\psi_0} \one$ und $B_0 \equiv B - < B >_{\psi_0} \one$.
		\begin{align}
			\rightarrow [A_0, B_0] &= iC\\
			\text{und } (\Delta A)_{\psi_0}^2 &= < A_0^2 >\\
			(\Delta B)_{\psi_0}^2 &= < B_0^2 >
		\end{align}
		
		\begin{align}
			0 \leq \norm{(A_0 + i \lambda B_0) \psi_0}^2 &=_{\forall \lambda \in \setR} \braket{\psi_0}{(A_0 - i \lambda B_0)(A_0 + i \lambda B_0) \psi_0} & \\
			&= \norm{A_0 \psi_0}^2 + \lambda^2 \norm{B_0 \psi_0}^2 + i \lambda \left( \dirac{\psi_0}{A_0 B_0}{\psi_0} - \dirac{\psi_0}{B_0 A_0}{\psi_0} \right)
		\end{align}
		
		\begin{align}
			\rightarrow 0 &\leq \norm{A_0 \psi_0}^2 \lambda^2 \norm{B_0 \psi_0}^2 - \lambda < C >_{\psi_0}\\
			\rightarrow < C >_{\psi_0}^2 &\leq 4 < A_0^2 >_{\psi_0} < B_0^2 >_{\psi_0}
		\end{align}
\end{itemize}
\begin{flushright}
	$\square$
\end{flushright}

\paragraph{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item Messung nicht kommutierender Größen können nicht beide beliebig scharf sein.
	\item Falls $\ket{\psi_0}$ Eigenzustand von $A$ ($\rightarrow (\Delta A)_{\psi_0}^2$)
		\begin{equation}
			\rightarrow < C >_{\psi_0} \stackrel{!}{=} 0
		\end{equation}
		
		Beispiel (Spin $\frac{1}{2}$):
		\begin{align}
			&A \cequiv \sigma_z, B \cequiv \sigma_x\\
			\rightarrow &C = 2\sigma_y \text{ mit } \ket{\psi_0} = \ket{z+}\\
			\rightarrow &< \sigma_y >_\ket{z+} = 0
		\end{align}

\end{itemize}