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TeX
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\chapter{Allgemeine Konsequenzen aus der SG für N-Niveau Systeme}
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\section{Zeitentwicklungsoperator}
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SG:
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\begin{equation}
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i \hbar \sigma_t \ket{\psi} = H(t) \ket{\psi(t)}
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\end{equation}
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Lösung durch
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\begin{align}
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\ket{\psi(t)} &= U(t, t_0) \ket{\psi(t)} &\left| i \hbar \sigma_t \right.
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\end{align}
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\begin{align}
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\rightarrow i \hbar \sigma_t U(t, t_0) \ket{\psi(t_0)} &= H(t) \ket{\psi(t)}\\
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&= H(t) U(t, t_0) \ket{\psi(t_0)}
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\end{align}
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\begin{equation}
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\rightarrow \boxed{ i \hbar \sigma_t = H(t) U(t, t_0)}
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\end{equation}
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mit $U(t_0, t_0) = \one$
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\begin{align}
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i \hbar \sigma_t U^\dagger(t, t_0) &= U^\dagger(t, t_0) H(t)\\
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\sigma_t \left( U^\dagger U \right) &= \frac{i}{\hbar} \left( U^\dagger H U - U^\dagger H U \right)\\
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&= 0
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\end{align}
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\begin{equation}
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U^\dagger U = \one \Rightarrow U \text{ unitär} \Rightarrow \text{Norm bleibt erhalten}
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\end{equation}
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\begin{equation}
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\norm{\psi(t)} = \norm{\psi(t_0)}
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\end{equation}
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Man unterscheidet 3 Fälle für den Hamiltonoperator:
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\begin{enumerate}
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\item $H$ zeitunabhängig $H(t) = H$:\\
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$\Box$ gelöst durch
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\begin{equation}
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U(t, t_0) = e^{-\frac{i}{\hbar} (t-t_0) H}
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\end{equation}
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Beispiel: konst. Magnetfeld
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\begin{equation}
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H = \hbar \omega \vec{\sigma} \cdot \vec{n}
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\end{equation}
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bzw.
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\begin{align}
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H &= \hbar \frac{\omega}{2} \sigma_z\\
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U(t, t_0) &= e^{-\frac{i \omega}{2} (t - t_0) \sigma_z}
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\end{align}
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\item $H$ zeitabhängig aber $[H(t_1), H(t_2)] = 0$:\\
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Beispiel:
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\begin{align}
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H(t) &= -\mu B_z(t)
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U(t, t_0) &= e^{-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t') dt'}
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\end{align}
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\item $H$ zeitabhängig mit $[H(t_1), H(t_2)] \neq 0$\\
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keine explizite Lösung (siehe QM II)
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\end{enumerate}
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\section{Stationäre Zustände}
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$H$ sei zeitabhängig.\\
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Eigenvektoren (mit $n = 0, ..., N-1$)
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\begin{equation}
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H \ket{n} = E_n \ket{n}
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\end{equation}
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$\ket{0}$ sei Grundzustand (o.B.d.A. $E_0 = 0$)
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Sei $\ket{\psi(t_0)} = \ket{n}$
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\begin{align}
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\ket{\psi(t)} &= U(t, t_0) \ket{n}\\
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&= e^{-\frac{i}{\hbar} (t - t_0) H} \ket{n}\\
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&= e^{-\frac{i}{\hbar} (t - t_0) E_n} \ket{n}\\
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&= e^{-i \omega_n (t - t_0)} \text{ mit } \omega_n \equiv \frac{E_n}{\hbar}
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\end{align}
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\begin{itemize}
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\item Diese Zustände nehmen unter der Dynamik eine Zeitabhängige Phase an.
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\item Die Wahrscheinlichkeit des Systems zur Zeit $t$ im Zustand $\ket{\chi}$ zu mussen, ist
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\begin{align}
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\probb{P_\chi = 1}{\ket{\psi(t)}} &= \abs{\braket{\chi}{\psi(t)}}^2\\
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&= \abs{\dirac{\chi}{e^{-i \omega_n (t - t_0)}}{n}}^2\\
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&= \abs{\braket{\chi}{n}}
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\end{align}
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\end{itemize}
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Beispiel:
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\begin{align}
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H &= \frac{\hbar \omega_z}{2} \sigma_z\\
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\ket{\psi(t_0)} &= \ket{z+}\\
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\ket{\chi} &= \ket{x+}
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\end{align}
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Zeitentwicklung eines allgemeinen Zustands:
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\begin{align}
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\ket{\psi(t_0)} &= \sum_{n=0}^{N-1} c_n(t_0) \ket{n}\\[10pt]
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\rightarrow \ket{\psi(t)} &= U(t, t_0) \ket{\psi(t_0)}\\
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&= e^{-\frac{i}{\hbar} (t - t_0) H} \sum_{n=0}^{N-1} c_n(t_0) \ket{n}\\
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&= \sum_{n=0}^{N-1} e^{-\frac{i}{\hbar} (t - t_0) E_n} c_n(t_0) \ket{n}\\
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&= \sum_{n=0}^{N-1} c_n(t) \ket{n}
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\end{align}
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\section{Zeitentwicklung des Erwartungswerts: Ehrenfest-Theorem}
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Sei $A$ eine physikalische Größe (evtl. $A(t)$)
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\begin{equation}
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<A(t)>_{\psi(t)} = \dirac{\psi(t)}{A(t)}{\psi(t)}
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\end{equation}
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Es ist
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\begin{equation}
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\diffT{t} \ket{\psi(t)} = \frac{1}{i \hbar} H(t) \ket{\psi(t)}
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\end{equation}
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und
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\begin{equation}
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\diffT{t} \bra{\psi(t)} = -\frac{1}{i \hbar} \bra{\psi(t)} H(t)
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\end{equation}
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.
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\begin{align}
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\diffT{t} <A(t)>_{\psi(t)} &= \diffT{t} \dirac{\psi(t)}{A(t)}{\psi(t)}\\
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&= \dirac{\psi(t)}{A(t) \left| \frac{1}{i \hbar} H(t) \right.}{\psi(t)} - \frac{1}{i \hbar} \dirac{\psi(t)}{H(t)|A(t)}{\psi(t)}\\ &~~+ \dirac{\psi(t)}{\diffP{t}A(t)}{\psi(t)}\\
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&= \frac{1}{\hbar} \dirac{\psi(t)}{[H, A]}{\psi(t)} + \dirac{\psi(t)}{\diffPs{t} A}{\psi(t)}\\
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&= \frac{i}{\hbar} <[H, A]>_{\psi(t)} + <\diffPs{t}A(t)>_{\psi(t)}\\
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&~~\text{(Ehrenfest-Theorem)}
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\end{align}
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\paragraph*{Konsequenz}
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\begin{itemize}
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\item $[H,H] = 0 \rightarrow \diffT{t} <H> = <\diffPs{t} H>$\\
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falls $H$ zeitunabhängig $\rightarrow \diffT{t}<H> = 0$\\[15pt]
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$\rightarrow$ $H$ entspricht Energie.
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\item falls $A$ zeitunabhängig und $[A, H] = 0$\\[15pt]
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$\rightarrow$ Erwartungswert von $A$ zeitunabhängig\\
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$\rightarrow$ ``A ist eine Konstante der Bewegung''\\[15pt]
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dann auch $\diffT{t} <f(A)> = 0$\\
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$\rightarrow \probb{A \cequiv a_n}{\psi(t)} = \text{konst.}$!
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\item vgl. K.M.
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\begin{equation}
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\diffT{t}f(p, q, t) = \lbrace f,H \rbrace + \diffPfrac{f}{t}
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\end{equation}
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\end{itemize}
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\section{Schrödinger- VS Heisenberg-Bild}
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bisher: Operatoren und Zustände zeitabhängig $\rightarrow$ ``S.-Bild''
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\paragraph*{Heisenberg-Bild}
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\begin{align}
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<A>_\ket{\psi}(t) &= \dirac{\psi(t)}{A}{\psi(t)}\\
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&= \dirac{\psi(0)}{e^{\frac{i}{\hbar}H(t)} A e^{\frac{-i}{\hbar}H(t)}}{\psi(0)}\\
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&= \dirac{\psi_H}{A_H(t)}{\psi_H}
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\end{align}
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$\rightarrow$ Zustand zeitunabhängig und Opeator zeitabhängig\\
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Übergang von S.-Bild zu H.-Bild durch unitäre Transformation:
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\begin{align}
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\ket{\psi_H} &= \underbrace{e^{\frac{i}{\hbar}H(t)}}_{U^\dagger(t,0)} \ket{\psi(t)}\\
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A_H(t) &= U^\dagger(t,0) A(t) U(t,0)\\
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i\hbar \diffT{t} A_H(t) &= [A_H, H] + i \hbar \left( \diffPfrac{A}{t} \right)_H
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\end{align}
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