Daniel Bahrdt 3d47ce3f8e
2008-07-24 20:55:21 +02:00

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 \includegraphics{excs/qm1_blatt05_SS08.pdf}  \pagebreak    \chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 5}  \section{Aufgabe 11: Spin-1-Teilchen im konstanten Magnetfeld}  \subsection*{a)}  \begin{align}   H &= - \gamma \mtrx{B} \mtrx{\mtrx{S}} \\   &= \gamma \hbar \mtrx{B} \mtrx{\Sigma_z} \\   \ket{\psi(t)} &= c_+ \inlinematrix{1 \\ 0 \\ 0} \cdot e^{\i \gamma \mtrx{B} t} + c_0 \inlinematrix{0 \\ 1 \\ 0} +   c_- \inlinematrix{0 \\ 0 \\ 1} \cdot e^{-\i \gamma \mtrx{B} t} \\   &\deq \frac{1}{2} \inlinematrix{1 \\ \sqrt{2} \\ 1} \\   &= \inlinematrix{\frac{1}{2} \cdot e^{\i \gamma \mtrx{B} t} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot e^{-\i \gamma \mtrx{B} t}} \\   \probb{\Sigma_z \cequiv 1}{\psi(t)} &= \abs{\braket{Z_1}{\psi(t)}}^2 \\   &= \inlinematrix{1 \\ 0 \\ 0} \cdot \inlinematrix{\frac{1}{2} \cdot e^{\i \gamma \mtrx{B} t}   \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot e^{-\i \gamma \mtrx{B} t}}   &= \abs{\frac{1}{2} e^{\i \gamma \mtrx{B} t}}^2 \\   &= \frac{1}{4} \\   \probb{\Sigma_z \cequiv 0}{\psi(t)} &= \frac{1}{2} \\   \probb{\Sigma_z \cequiv -1}{\psi(t)} &= \frac{1}{4} \\   \probb{\Sigma_x \cequiv +1}{\psi(t)} &= \abs{\braket{x+}{\psi(t)}}^2 \\   &= \abs{\frac{1}{2} \inlinematrix{1 \\ \sqrt{2} \\ 1} \cdot \inlinematrix{\frac{1}{2} \cdot e^{\i \gamma \mtrx{B} t} \\   \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot e^{-\i \gamma \mtrx{B} t}}}^2 \\   &= \frac{1}{4} \sbk{1 + e^{\i \gamma \mtrx{B}} + e^{-\i \gamma \mtrx{B} t}}^2 \\   &= \frac{1}{4} \sbk{1 + \cosb{\gamma \mtrx{B} t}}^2  \end{align}  $\Rightarrow$  \begin{align}   \probb{\Sigma_x \cequiv +1}{\psi(t)} &= \frac{1}{2} \sin^2\sbk{\gamma \mtrx{B} t} \\ %da stimmt wat net   \probb{\Sigma_y \cequiv +1}{\psi(t)} &= \frac{1}{4} \sbk{1 - \cosb{\gamma \mtrx{B} t}}^2  \end{align}    \subsection*{b)}  \begin{align}   \ssbk{\Sigma_z}_\ket{\psi(t)} &= \dirac{\psi(t)}{\Sigma_z}{\psi(t)} \\   &= 0 \\   \ssbk{\Sigma_x}_\ket{\psi(t)} &= \cosb{\gamma \mtrx{B} t} \\   \ssbk{\Sigma_y}_\ket{\psi(t)} &= -\sinb{\gamma \mtrx{B} t} \\   \diffT{t} \ssbk{\mtrx{\Sigma}} &= \gamma \ssbk{\mtrx{\Sigma}} \times \mtrx{B} \\   \diffT{t} \inlinematrix{\cosb{\gamma \mtrx{B} t} \\ -\sinb{\gamma \mtrx{B} t} \\ 0} &= \gamma \inlinematrix{\ssbk{\Sigma_y} \mtrx{B} \\ \ssbk{\Sigma_x} \mtrx{B} \\ 0} \\   \inlinematrix{-\gamma \mtrx{B} \sinb{\gamma \mtrx{B} t} \\ -\gamma \mtrx{B} \cosb{\gamma \mtrx{B} t} \\ 0} &= \gamma \inlinematrix{\ssbk{\Sigma_y} \mtrx{B} \\ \ssbk{\Sigma_x} \mtrx{B} \\ 0}  \end{align}    \subsection*{c)}  \begin{align}   \frac{\i}{\hbar} \ssbk{\sqbk{H, \mtrx{Sigma}}} &= -\i \gamma \ssbk{\sqbk{\mtrx{B} \cdot \mtrx{\Sigma}, \mtrx{\Sigma}}} \\   A_i &= \i \gamma \ssbk{B_j \Sigma_j \Sigma_i - \Sigma_i \Sigma_j B_j} \\   &= -\i \gamma B_j \ssbk{\sqbk{\Sigma_j, \Sigma_j}} \\   &= -\i \gamma B_j \ssbk{\i \levicivita{jik} \Sigma_k} \\   &= \gamma B_j \levicivita{jik} \ssbk{\Sigma_k} \\   &= \gamma \sbk{\ssbk{\mtrx{\Sigma}} \times \mtrx{B}} \\   &= \diffT{t} \ssbk{\Sigma_i} \\   &= -\gamma \levicivita{ijk} B_j \ssbk{\Sigma_k} \\   &= \gamma \levicivita{ikj} \ssbk{\Sigma_k} B_j \\   &= \gamma \levicivita{ijk} \ssbk{\Sigma_j} B_k \\   \diffT{t} l &= \left\{l,H\right\}  \end{align}    \section{Aufgabe 12: Das Ethen-Molekül}  $H = \inlinematrix{a & b \\ c & d}$  $\Rightarrow$  \begin{align}   \inlinematrix{a \\ c} &= \inlinematrix{E_0 \\ -A} \\   \inlinematrix{b \\ d} &= \inlinematrix{-A \\ E} \\   H &= \inlinematrix{E_0 & -A \\ -A & E}  \end{align}  Die Eigenwerte und Eigenvektoren von $H$ sind:  \begin{align}   \lambda_1 &= E_0 + A \\   \vec{\lambda_1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{1 \\ -1} \\   \lambda_2 &= E_0 - A \\   \vec{\lambda_2} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{1 \\ 1}  \end{align}  Die Gesamtenergie beträgt dann:  \equationblock{E\sbk{\ket{G}} = 2 E_0 - 2 A}  Hierbei ist A die Delokalisierungsenergie (Kopplungskoeffizienten?)    \section{Aufgabe 13: Das Benzol-Molekül}  \subsection*{a)}  $H \ket{\Phi_1} = \sum \ket{\Phi_n} - A \ket{\Phi_{n-1}} - A \ket{\Phi_{n+1}}$  Kopplung besteht immer mit den benachbarten Atomen. Daher ist (1,6) bzw. (6,1) belegt (Kopplung von 6 mit 1)  \subsection*{b)}  $R = \inlinematrix{1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1}$  $\sqbk{H,R} = 0$  \begin{align}   H &= a \cdot \one + b \mtrx{R} + c \mtrx{R^\dagger} \\   H &= E_0 \one - A \mtrx{R} - A \mtrx{R^\dagger}  \end{align}  Symmetrien bekannt:  $R^6 = \one$  $\Rightarrow$  $R^6 \ket{\Phi} = 1 \ket{\Phi}$  $R \ket{\Phi} = \underbrace{e^{\i \frac{2 \pi s}{6}}}_{\text{Eigenwerte}} \ket{\Phi}$ mit $s = 0 \ldots 5$    \subsection*{c)}  \begin{align}   \ket{\chi_s} &= \frac{1}{\sqrt{6}} \sum_{n=0}^5 e^{\i n \delta_s} \ket{\Phi_n} \\   \detb{\mtrx{R} - \sbk{\lambda_s \one}} &\Rightarrow \\   e^{\i \delta_s} x_1 &= -x2 \\   e^{\i \delta_s} x2 &= -x3 \\   \vdots \\  \end{align}  Die Eigenvektoren lauten dann:  \equationblock{\frac{1}{\sqrt{6}} \inlinematrix{1 \\ -e^{\i \delta_s} \\ e^{2 \i \delta_s} \\ -e^{3 \i \delta_s} \\ \vdots }}    \subsection*{d)}  \begin{align}   H \ket{\chi_s} &= E_0 \one \ket{\chi_s} - A \mtrx{R} \ket{\chi_s} - A \mtrx{R^\dagger} \ket{\chi_s} \\   &= E_0 \ket{\chi_s} - A \lambda_s \ket{\chi_s} - A \lambda_3^\ast \ket{x_3} \\   &= E_0 - 2 A \re{\lambda_s \ket{\chi_s}} \\   &= E_0 - 2 A \cosb{\delta_s} \\   &= E_s  \end{align}  Die Gesamtenergie beträgt dann:  \equationblock{E_ges = 6 E_0 - 8 A}  $E_{Kekule} = 3 \sbk{E_{Ethen}} = 6 E_0 - 6 A$ (Pauli-Prinzip)