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2008-07-17 16:58:53 +02:00

158 lines
5.0 KiB
TeX

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\chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 2}
\section{Aufgabe 4: Unitäre Operatoren}
Es gilt: $U^{-1} = U^\intercal$.
\subsection*{a)}
Zu zeigen: Der Eigenwert ist von der Form $a_n = e^{\i \alpha_n}$:
Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$.
\begin{align}
U \ket{a} &= a \cdot \ket{a} \\
\bra{a} U^\intercal &= a^\ast \cdot \bra{a} \\
\braket{a}{a} &= \dirac{a}{1}{a} \\
&= \dirac{a}{U^\intercal U}{a}
&= a^\ast \braket{a}{a} a \\
&= \abs{a}^2 \cdot \braket{a}{a} \\
&\Rightarrow \\
\abs{a} &= 1 \\
&\Rightarrow \\
\abs{e^{\i \alpha_n}} &= 1
\end{align}
Zu zeigen: Die Eigenvektoren sind orthogonal:
Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a_n}$ bzw. $\ket{a_m}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a_n$ bzw. $a_m$.
\begin{align}
\braket{a_n}{a_m} &= \dirac{a_n}{1}{a_m} \\
&= \dirac{a_n}{U^\intercal U}{a_m} \\
&= a_n^\ast \braket{a_n}{a_m} a_m \\
&= e^{-\i \alpha_n} \cdot e^{\i \alpha_m} \cdot \braket{a_n}{a_m} \\
&= e^{\i ( \alpha_m - \alpha_n)} \braket{a_n}{a_m} \\
\end{align}
Da dies für alle Eigenvektoren gelten muss, also auch für Eigenvektoren, für die $e^{\i ( \alpha_m - \alpha_n)} \neq 1$, folgt:
$\braket{a_n}{a_m} = 0$
\subsection*{b)}
Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s) = e^{-\i s A}$ unitär
\begin{align}
U(s) &= e^{\i s A} \\
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot \sbk{-\i s A}^k \\
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot \sbk{\i s A^{\intercal}}^k \\
&= e^{\i s A}
\end{align}
Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s_1 + s_2) = U(s_1) \cdot U(s_2)$.
\begin{align}
U(s_1 + s_2) &= e^{-\i (s_1 + s_2) A}\\
&= e^{-\i s_1 A - \i s_2 A} \\
&= e^{-\i s_1 A} \cdot e^{-\i s_2 A} \\
&= U(s_1) \cdot U(s_2)
\end{align}
\section{Aufgabe 5: Spur und Determinante}
\subsection*{a)}
Zu zeigen: $[A,BC] = B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C$.
\begin{align}
[A,BC] &= ABC -BCA \\
B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C &= B \cdot (AC - CA) + (AB - BA) \cdot C \\
&= BAC - BCA + ABC - BAC \\
&= ABC - BCA \\
&= [A,BC]
\end{align}
\subsection*{b)}
Zu zeigen: Für endliche Operatoren gilt:
$\tr(AB) = \tr(BA)$
\begin{align}
\tr(AB) &= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N a_{ik} b_{ki} \\
&= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N b_{ik} a_{ki} \\
&= \tr(BA)
\end{align}
Zu zeigen: Die Spur ist invariant unter zyklischen Vertauschungen:
\begin{align}
\tr(ABC) &= \tr(A \cdot (BC)) \\
&= \tr((BC) \cdot A) \\
&= \tr(BCA) \\
&= \tr(B \cdot (CA)) \\
&= \tr((CA) \cdot B) \\
&= \tr(CAB)
\end{align}
Zu zeigen: Die Spur ist unabhänging von der Basis:
Sei hierzu $T^{-1}$ die Matrix der neuen Basisverktoren dargestellt in der alten Basis.
Dann ist $T^{-1}AT$ die Basistransformation von der A-Basis in die T-Basis.
\begin{equation}
\tr(T^{-1}AT) = \tr(T^{-1}TA) = \tr(A)
\end{equation}
\subsection*{c)}
\begin{align}
\diffT{t}A(t) &= A(t) \cdot B \\
\frac{\diffT{t}A(t)}{A(t)} &= B \\
\ln(A(t)) &= B \cdot t + c \\
A(t) &= e^{Bt+c} \\
&= A(0) \cdot e^{Bt} \\
&= A_0 \cdot B \cdot e^{Bt} \\
&= A_0 \cdot e^{Bt} \cdot B \\
\diffT{t}A_2(t) &= B \cdot A_2(t)\\
A_2(t) &= e^{Bt} \cdot A_0
\end{align}
\subsection*{d)}
\begin{align}1 + \epsilon \tr(A) + O(\epsilon^2)
det(1 + \epsilon A) &= \inlinematrixdet{1+\epsilon A_{11} & \ldots & 0+\epsilon A_{1n} \\
\vdots & 1+\epsilon A_{ii} & \vdots \\
0+\epsilon A_{n1} & \ldots & 1+\epsilon A_{nn}
} \\
&= \prod_i (1 + \epsilon A_{ii}) + \bigO(\epsilon^2) \\
&= 1 + \epsilon \sum A_{ii} + \bigO(\epsilon^2)\\
&= 1 + \epsilon \tr(A) + \bigO(\epsilon^2)
\end{align}
Zu zeigen: $\detb{e^A} = e^{\tr(A)}$
\begin{align}
g(t) &= \detb{e^{At}} && \left| \text{Tailor} \right. \\
&= \detb{1 + At + \bigO(t^2)} &\\
&= 1 + \tr(A) + \bigO(t^2) && \left| \text{tailor ``rückwärs''} \right.\\
&= e^{\tr(A)t} &
\end{align}
\begin{align}
g(t) &= \lim_{\epsilon \rightarrow \infty} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\detb{e^{A(t+\epsilon)}} - \detb{e^{At}}} \\
&= g(t) \lim_{\epsilon \rightarrow \infty} \frac{1}{\epsilon} \detb{e^{A \epsilon}} \\
&= g(t) \lim_{\epsilon \rightarrow \infty} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(1 + A \epsilon + \bigO(\epsilon^2) - det(1)} \\
&= g(t) \tr(A) \\
&\Rightarrow g(t) = e^{\tr(A) \cdot t}
\end{align}
Ist A diagonalisierbar:
\section{Aufgabe 6: Hermitesche Matrizen}
\subsection*{a)}
Es gilt: $M_i^2 = \one$
Sei $\bra{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$
\begin{align}
M_i \ket{a} &= a \cdot \bra{a} &| M_i von links
M_i^2 \ket{a} &= M_i a \cdot \bra{a} \\
\one \ket{a} &= a^2 \bra{a} \\
&\Rightarrow a = \pm 1
\end{align}
\subsection*{b)}
Für $i \neq j$ folgt mit $M_i M_j + M_j M_i = 2 \krondelta{ij} \one$ : $M_i M_j = - M_j M_i$
Dann gilt:
\begin{align}
\tr(M_i M_j + M_j M_i) &= tr(2 \krondelta{ij} \one) \\
\tr(M_i M_j) + \tr(M_j M_i) &= tr(\mathbb{0}) \\
\tr(M_i M_j) &= -tr(M_j M_i) \\
\tr(M_i M_j)
\end{align}