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\chapter{Wellenmechanik in Ortsdarstellung: Grundregeln und Beispiel}
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\section{Konkrete Form der Postulate}
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\paragraph*{(P1)} Bei vollst. Kenntnis kann ein 1-dimensionales quantales System zu jedem Zeitpunkt durch eine komplexe Wellenfunktion $\psi(x,t_0)$ (mit $\intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x,t_0)}^2}{x} = 1$) repräsentiert werden.
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\paragraph{(P2)} Die Warscheinlichkeit das System zur Zeit $t_0$
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\begin{itemize}
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\item am Ort $x$ zu messen ist
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\begin{equation}
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\rho(x) = \abs{\psi(x,t_0)}^2
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\end{equation}
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\item mit dem Impuls $p$ zu messen ist
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\begin{equation}
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\rho(p) = \abs{\psi(p,t_0)}^2
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\end{equation}
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mit
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\begin{equation}
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\psi(p,t_0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \intgr{-\infty}{+\infty}{e^{-\frac{i p x}{\hbar}} \psi(x,t_0)}{x}
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\end{equation}
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\end{itemize}
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Konsequenz für die Erwartungswerte:
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\begin{align}
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<x>(t_0) &\equiv \intgr{-\infty}{+\infty}{x~\rho(x,t)}{x}\\
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&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi^*(x,t_0) \cdot x \psi(x,t_0)}{x}\\[15pt]
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<p>(t_0) &= \intgr{-\infty}{+\infty}{p~\rho(p,t_0)}{p}\\
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&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\intgr{-\infty}{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^\frac{i p x}{\hbar} \psi^*(x,t_0)}{x}~p~\intgr{-\infty}{+\infty}{e^{-\frac{i x' p}{\hbar}} \psi(x',t_0)}{x'}}{p}\\
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&= \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \intgru{\psi^*(x,t_0) e^\frac{i p x}{\hbar}}{p} \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \psi(x,t) (i \hbar \partial_{x'})e^\frac{-i x' p}{\hbar}}{x'}}{x}\\
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&= \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar} \intgru{\intgru{\psi^*(x,t_0) e^\frac{i p x}{\hbar} e^\frac{-i p x'}{\hbar} (-i \hbar) \partial_{x'} \psi(x',t0)}{x'}}{p}}}{x}\\
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&= \intgru{\psi^*(x,t_0) (-i \hbar~\partial_x) \psi(x,t_0)}{x}
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\end{align}
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\paragraph{(P3)} Die Dynamik folgt der Schrödinger Gleichung
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\begin{equation}
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i \hbar \partial_t \psi(x,t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x) \right) \psi(x,t)
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\end{equation}
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Für stationäre Zustände gilt (Ansatz $\psi(x,t) = e^{-\frac{i}{\hbar} E t} \phi(x)$)
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\begin{equation}
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\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x)
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\end{equation}
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Die möglichen $E$-Werte sind die Eigenwerte des $H$-Operators. Diese Form der Postulate kann aud den allgemeinen Postulaten (I - 3.) hergeleitet werden unter den Zusatzannahmen:
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\begin{enumerate}
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\item \begin{equation}
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\diffT{t}<x>(t) = <p>(t) m^{-1}
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\end{equation}
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\item H-Operator ist durch das Analogon zur klassischen Hamiltonfunktion gegeben
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\end{enumerate}
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