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TeX
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\chapter{Potentialstufen und Potentialtöpfe}
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\section{Einschub: Wahrscheinlichkeitsstrom}
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\begin{equation}
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\rho(x,t) = \psi(x,t) \psi^*(x,t)
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\end{equation}
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ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen am Ort x zu messen.
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\begin{align}
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\partial_t \rho(x,t) &= \psi^*(x,t)~\partial_t \psi(x,t) + \psi(x,t)~\partial_t \psi^*(x,t)\\
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&= \psi^*(x,t) \left( \frac{1}{i \hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 - V(x)\right) \psi(x,t) \right) +
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\psi^*(x,t) \left( -\frac{1}{i \hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x)\right) \psi(x,t) \right)\\
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&= -\frac{1}{\hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \psi^*(x,t)~\partial_x^2\psi(x,t) + \frac{\hbar^2}{2m} \psi(x,t)~\partial_x^2\psi^*(x,t) \right)\\
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&= \frac{i \hbar}{2m} \partial_x \left( \psi^*~\partial_x \psi - \psi~\partial_x \psi^* \right) \equiv -\partial_x j(x,t)
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\end{align}
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mit
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\begin{equation}
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j(x,t) \equiv \frac{\hbar}{m} \im{\psi^*(x,t)~\partial_x \psi(x,t)}
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\end{equation}
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der Wahscheinlichkeitsstromdichte (``Kontinuitätsgleichung''; gilt für jede Erhaltungsgröße).
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\paragraph*{Beispiel: Ebene Welle}
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\begin{align}
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\psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i p_0}{\hbar}x - \omega t}\\
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j(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{\hbar}{m} \im{\frac{i p}{\hbar}}%\\
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% &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{p}{}
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\end{align}
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\section{Streuung an der Potentialstufe} |