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\chapter{Wellenmechanik in Ortsdarstellung: Grundregeln und Beispiel}
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\section{Konkrete Form der Postulate}
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\paragraph*{(P1)} Bei vollst. Kenntnis kann ein 1-dimensionales quantales System zu jedem Zeitpunkt durch eine komplexe Wellenfunktion $\psi(x,t_0)$ (mit $\intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x,t_0)}^2}{x} = 1$) repräsentiert werden.
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\paragraph{(P2)} Die Warscheinlichkeit das System zur Zeit $t_0$
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\begin{itemize}
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\item am Ort $x$ zu messen ist
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\begin{equation}
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\rho(x) = \abs{\psi(x,t_0)}^2
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\end{equation}
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\item mit dem Impuls $p$ zu messen ist
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\begin{equation}
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\rho(p) = \abs{\psi(p,t_0)}^2
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\end{equation}
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mit
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\begin{equation}
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\psi(p,t_0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \intgr{-\infty}{+\infty}{e^{-\frac{i p x}{\hbar}} \psi(x,t_0)}{x}
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\end{equation}
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\end{itemize}
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Konsequenz für die Erwartungswerte
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\begin{align}
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<x>(t_0) &\equiv \intgr{-\infty}{+\infty}{x~\rho(x,t)}{x} = \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi^*(x,t_0) \cdot x \psi(x,t_0)}{x}\\[15pt]
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<p>(t_0) &= \intgr{-\infty}{+\infty}{p~\rho(p,t_0)}{p} = \intgr{-\infty}{+\infty}{\intgr{-\infty}{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^\frac{i p x}{\hbar} \psi^*(x,t_0)}{x}~p~\intgr{-\infty}{+\infty}{e^{-\frac{i x' p}{\hbar}} \psi(x',t_0)}{x'}}{p}\\
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&= \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \intgru{\psi^*(x,t_0) e^\frac{i p x}{\hbar}}{p} \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar} \psi(x,t) (i \hbar \partial_{x'})e^\frac{-i x' p}{\hbar}}}{x'}}{x}
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\end{align}
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