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\chapter{Notationen}
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\section{Dirac-Notation}
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In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums V auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket $\ket{v}.$
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Jedem Ket $\ket{v}$ entspricht ein Bra $\bra{v}$, das dem Dualraum $\text{V}^*$ angehört, also eine lineare Abbildung von V in den zugrundeliegenden Körper K bezeichnet. Allerdings kann nicht jedes Bra aus dem algebraischen Dualraum mit einem Ket identifiziert werden. Das Ergebnis der Operation eines Bras $\bra{v}$ auf ein Ket $\ket{w}$ wird $\braket{v}{w}$ geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.
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\subsection*{Eigenschaften}
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$c_1$, $c_2$, $\in \setC$; $c^*$ ist die komplex-konjugierte Zahl zu $c$, $A$, $B$ sind lineare Operatoren
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\subsubsection*{Linearität}
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\equationblock{\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle} \\
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Mit der Addition und skalaren Multiplikation von linearen Funktionalen im Dual-Raum gilt:
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\equationblock{\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle}
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\subsubsection*{Assoziativität}
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Given any expression involving complex numbers, bras, kets, inner products, outer products, and/or linear operators (but not addition), written in bra-ket notation, the parenthetical groupings do not matter (i.e., the [[associative property]] holds). For example:
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$< \psi| (A |\phi>) = (< \psi|A)|\phi>$
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$(A|\psi>)<\phi| = A(|\psi> < \phi|$
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and so forth. The expressions can thus be written, unambiguously, with no parentheses whatsoever. Note that the associative property does ''not'' hold for expressions that include non-linear operators, such as the antilinear time reversal operator in physics.
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\subsubsection*{Adjungierte}
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\begin{itemize}
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\item Die Adjungierte eines Bra ist der entsprechne Ket (und umgekehrt)
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\equationblock{\bra{X^\dagger} = \ket{X}}
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\item Die Adjungierte einer komplexen Zahl ist ihre komplex-konjugierte Zahl
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\equationblock{c^\dagger = c^\ast}
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\item Die Adjungierte einer Adjungierten von X ist X (wobei X alles mögliche sein kann)
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\equationblock{\sbk{X^dagger}^\dagger = X}
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\end{itemize}
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\subsubsection*{Beispiele}
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\begin{itemize}
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\item Kets:
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\equationblock{\left(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle\right)^\dagger = c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|.}
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\item Inner Product (übersetzen)
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\equationblock{< \phi | \psi >^* = < \psi|\phi>}
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\item Matrix-Elemente:
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\equationblock{< \phi| A | \psi >^* = < \psi | A^\dagger |\phi >}
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\equationblock{< \phi| A^\dagger B^\dagger | \psi >^* = < \psi | BA |\phi >}
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\item Outer Product:
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\equationblock{\left((c_1|\phi_1>< \psi_1|) + (c_2|\phi_2><\psi_2|)\right)^\dagger = (c_1^* |\psi_1>< \phi_1|) + (c_2^*|\psi_2><\phi_2|)}
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\end{itemize}
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\chapter{Lineare Algebra}
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\section{Gruppentheorie}
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\subsection{Abbildungen}
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\subsubsection*{Kommutator:}
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\begin{equation} [A,B] = AB - BA \end{equation}
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Der Kommutator von g und h ist genau dann gleich dem neutralen Element, wenn g und h kommutieren. \\
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Sei $a$, $b$ und $c$ Elemente einer assoziativen Algebra und $\lambda$ ein Skalar (Element des Grundkörpers).
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\begin{enumerate}
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\item Alternierend (antisymmetrisch):
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\begin{equation} [a,b]=-[b,a] \end{equation}
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\item Linear:
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\begin{equation} [\lambda a+b,c]=\lambda [a,c] + [b,c] \end{equation}
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\item Jacobi-Identität:
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\begin{equation} [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0 \end{equation}
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\item Leibnizregel(Produktregel):
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\begin{equation} [a,bc] = [a,b]c+b[a,c] \end{equation}
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\end{enumerate}
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Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra $A$ mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra, die teilweise mit $A^-$ bezeichnet wird. \\
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Eigenschaft 4 bedeutet, daß die Abbildung $b\mapsto [a,b]$ eine Derivation ist.
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\subsubsection*{Levi-Civita-Symbol}
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\begin{math}
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\varepsilon_{12\dots n} = 1 \\
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\varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\
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\varepsilon_{ij\dots u\dots u\dots} = 0 \\
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\levicivita{i,j,k} =
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\begin{cases}
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+1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
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-1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
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0, & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}
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\end{cases} \\
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(\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \levicivita{ijk} a_j b_k \\
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\vec{a} \times \vec{b} = \levicivita{ijk} a_j b_k \vec{e_i} = \levicivita{ijk} a_i b_j \vec{e_k} \\
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\det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}
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\end{math}
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\subsubsection*{Kronecker-Delta}
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\equationblock{\krondelta{i,j} = \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}}
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Die $n\times n$-Einheitsmatrix kann als $(\krondelta{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben werden.
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\subsubsection*{Reihenentwicklungen}
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\begin{align}
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\exp(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^n}{n!}} \\
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\sin(x) &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
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\cos(x) &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
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\end{align}
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\section{Fourier-Transformation}
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\hypertarget{trans_ft}{}
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\subsection*{Fourier-Reihe}
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\subsubsection*{Definitionen:}
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\subsubsection*{Eigenschaften:}
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\subsection*{Fourier-Reihe (kontinuierlich):}
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\subsubsection*{Definitionen:}
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\subsubsection*{Eigenschaften:}
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\subsection*{kontinuierliche Fourier-Transformation:}
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Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformation, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen.
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Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet.
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\subsubsection*{Definition:}
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\begin{equation}
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\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \intgrinf{f(t) e^{-\i \omega t}}{t}
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\end{equation}
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Rücktransformation (Fouriersynthese)
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\begin{equation}
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\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \intgrinf{F(\omega) e^{\i \omega t}}{\omega}
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\end{equation}
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Hierbei ist $F(\omega)$ das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Frequenz $\omega$ aus den reelle Zahlen angibt.
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\subsubsection*{Eigenschaften:}
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\section{Lineare Algebra}
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\subsection{Operatoren}
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\subsubsection*{hermitesche Operatoren}
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\subsubsection*{unitäre Operatoren}
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\subsection*{Matrizen-Operationen}
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\subsubsection*{Spur}
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\subsubsection*{Determinatante}
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\subsubsection*{Inversion}
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\hypertarget{fs_linalg_mtrx_inv}{}
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\begin{math}
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A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}
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\end{math}
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